2021届贵州省盘州市高三理数上学期第一次模拟考试试卷及答案

这是一份2021届贵州省盘州市高三理数上学期第一次模拟考试试卷及答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高三理数上学期第一次模拟考试试卷
一、单项选择题
1.集合 和 ，假设 ，那么 〔    〕
A. 0                                           B. -1                                           C. 1                                           D. 2
2.在复平面内， 为原点，四边形 是复平面内的平行四边形，且 ， ， 三点对应的复数分别为 ， ， ，假设 ， ，那么 〔    〕
A.                                   B.                                   C.                                   D. 
3.2021年1月17日，国家统计局发布了2021年全国居民人均消费支出及其构成的情况，并绘制了如图的饼图.根据饼图判断，以下说法不正确的选项是〔    〕

A.   2021年居民在“生活用品及效劳〞上人均消费支出的占比为6%
B. 2021年居民人均消费支出为21350元
C. 2021年居民在“教育文化娱乐〞上人均消费支出小于这8项人均消费支出的平均数
D. 2021年居民在“教育文化娱乐〞、“生活用品及效劳〞、“衣着〞上的人均消费支出之和大于在“食品烟酒〞上的人均消费支出
4.平面 ， 满足 ， ，过平面 和 外的一点 作直线 ，那么“ 〞是“ 〞的〔    〕
A. 充分不必要条件             B. 必要不充分条件             C. 充要条件             D. 既不充分也不必要条件
5.定义在 上的奇函数 在 上单调递减假设 ，那么满足 的 的取值范围是〔    〕
A.                 B.                 C.                 D. 
6.数列 满足 ， ，设 ，那么数列 的前6项和为〔    〕
A. 127                                       B. 255                                       C. 31                                       D. 63
7.双曲线 的右焦点为 ，假设 到直线 的距离为 ，那么 的离心率为〔    〕
A. 2                                        B.                                         C.                                         D. 
8.面直角坐标系 中，角 的顶点为 ，始边为 轴非负半轴，假设点 是角 终边上的一点，那么角 的值是〔    〕
A.               B. ，               C. ，               D. ，
9.抛物线 的焦点为 ，设 和 是 上的两点，且 是线段 的中点，假设 ，那么 到 轴的距离的最小值是〔    〕
A. 2                                           B. 4                                           C. 6                                           D. 8
10.两个非零向量 ， 的夹角为120°，且满足 ，那么 与 的夹角的大小为〔    〕
A. 30°                                      B. 60°                                      C. 90°                                      D. 150°
11.函数 ，假设函数 的图象与 的图象有3个交点，那么 的取值范围是〔    〕
A.                               B.                               C.                               D. 
12.在数学中，假设干有关联的曲线经过叠加或组合可以形成一些形状优美、寓意美好的曲线，如图的“心形〞曲线 恰好就是曲线 和曲线 组合而成的，那么曲线 所围成的“心形〞区域的面积等于〔 〕

A.                                       B.                                       C.                                       D. 
二、填空题
13.假设实数 ， 满足不等式组 那么 的最大值是________.
14.小明在一个专用的邮票箱中，收藏了北京2022年冬奥会桔祥物“冰墩墩〞和冬残奥会吉样物“雪容融〞纪念邮票一套2枚，北京2021年奥运会纪念邮票一套5枚.现从这7枚邮票中随机抽取3枚，恰好有“冰墩墩〞图案和“雪容融〞图案这2枚的概率为________.

15.“垛积术〞在我国古代早期主要用于天文历法，后来用于求高阶等差级数的和.元代数学家朱世杰在沈括〔北宋时期数学家〕、杨辉〔南宋时期数学家〕研究成果的根底上，在?四元玉鉴?中利用了“三角垛〞求一系列重要的高阶等差级数的和.例如，欲求数列 ， ， ，…， ， 的和，可设计一个正立的 行三角数阵，即正三角形 的区域中所有数的分布规律为：第1行为1个 ，第2行为2个 ，第3行为3个 ，…，第 行为 个1；再选一个数列 〔其前 项和〕，可设计一个倒立的 行三角数阵，即正三角形 的区域中所有数的分布规律为：第1行为 个 ，第2行为 个 ，第3行为 个 ，…，第 行为1个1.这两个三角数阵就组成一个 行 列的菱形数阵.假设 ，那么运用垛积术，求得数列 ， ， ，…， ， 的和为________.

16.在四棱锥 中，侧面 底面 ，底面 为矩形， ， ， ，那么异面直线 与 所成角的大小为________；四棱锥 外接球的外表积为________.
三、解答题
17.在 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 .

〔1〕求 ；
〔2〕 ， ，延长 至 ，使得 ，求 .
18.如图，圆锥的顶点为 ， 是底面圆 的直径， 是圆 上异于 、 的一点， 是 的中点，平面 平面 ， .

〔1〕求证： ；
〔2〕假设 与 所成的角为60°，求 与平面 所成角的正弦值.
19.某花店为了拓展业务范围，根据一些公司在店庆，开业等活动中的需要，推行了“发财树〞和“元宝树〞的出租业务.为了调查“发财树〞和“元宝树〞这两种树的出租情况，现随机抽取了这两种树各20盆，分别统计了每种树在4天中的出租天数和出租盆数〔假设出租“发财树〞与“元宝树〞互不影响〕，并绘制成如下的条形图：

以这4天中的频率作为概率，解答以下问题：
〔1〕估计该花店一盆“发财树〞和一盆“元宝树〞在这4天中合计出租天数恰好为3天的概率；
〔2〕如果一盆“发财树〞和一盆“元宝树〞每天出租所获得的利润都为40元，那么，对于该花店“发财树和“元宝树〞，哪一种出租平均获利较多？并说明你的理由.
20.椭圆 的离心率为 ，短轴的下端点 的坐标为 .
〔1〕求椭圆 的方程；
〔2〕设 ， 是椭圆 上异于 且不关于 轴对称的两点， ， 的中点为 ，求证：点 在定直线上运动.
21.函数 .
〔1〕当 时，求 的极值；
〔2〕是否存在实数 ，使得当 时， 恒成立？假设存在，求出 的取值范图；假设不存在，请说明理由.
22.第三届中国国际进口博览会的建筑主体为“四叶草〞造型，“四叶草〞是绿色的有生命力的象征，其优美的曲线与江南地区海派文化的优雅唯美气质相应和，表达了中国对未来经济持续开展、人民生活富裕的美好向往；“四叶草〞作为世界通用的桔祥图形，四瓣叶子分别寓意着“至爱、健康、荣誉、富裕〞，整体带有桔祥、和谐的意义如图，在极坐标系 中，方程 表示的图形为“四叶草〞对应的曲线 .

〔1〕设直线 与 交于异于 的两点 ， ，求 、 两点的极坐标；
〔2〕设 、 是 上异于 的两点，求 的最大值.
23.函数 .
〔1〕求不等式 的解集；
〔2〕假设存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由题意 ，得 ，且 ，所以 ，且 ，解得 ， ，那么 .
故答案为：C.

【分析】由题意 ，得 ，且 ，代入集合A,B，求出a,b，即可求出答案。
2.【解析】【解答】根据复数的几何意义，
如图， ,

又四边形OABC为平行四边形
所以 ，所以 ，
故答案为：C.

【分析】根据复数加法的几何意义，即可得出答案。
3.【解析】【解答】解：因为 ，所以A正确，不符合题意；
2021年居民人均消费支出为 元，那么B正确，不符合题意；
8项人均消费支出的平均为 ，而 ，那么C正确，不符合题意；
因为 ，所以D错误，符合题意.
故答案为：D

【分析】结合饼图，对选项逐个进行分析，即可得出答案。
4.【解析】【解答】当 时，过 作平面 ，那么 ，结合 ，得 ，从而 ；
当 时，在 内作直线 ，结合 ，得 ，所以 ，
又 ， ，所以 .
故答案为：C.

【分析】 直接利用命题的充分性和必要性的证明和线面垂直的条件的应用求出结果.
5.【解析】【解答】解：根据奇函数的性质，得 在 上单调递减，且 ；由 ，得 ，即 ，所以 ，解得 ，
故答案为：A.

【分析】根据奇函数的性质，得 在 上单调递减，且 ， 由 ，得 ， 即可得出满足  的  的取值范围。
6.【解析】【解答】由 及 ，得 ，又 ，所以数列 是等比数列，于是前6项和为 ，
故答案为：D.

【分析】由 及 ，得 得数列 是等比数列，再根据等比数列的前n项和公式，即可得出答案。
7.【解析】【解答】 到直线 的距离为 ，
由题意知 ，解得 ，
即 ，又双曲线的离心率 ，
，
故答案为：C.

【分析】 求出右焦点  到渐近线   的距离，即可求出双曲线离心率.
8.【解析】【解答】由 ， ，
所以点 在第一象限，
又 ，
所以 ， ，
故答案为：B

【分析】 由正切函数的定义可得， 结合正切的两角和公式，即可得解.
9.【解析】【解答】作 轴，垂足为 ，那么 .
当且仅当 过 点时等号成立，所以 到 轴的距离的最小值为2.

故答案为：A.

【分析】作 轴，垂足为 ，那么 ， 再由抛物线的性质即可得出答案。
10.【解析】【解答】解：不妨设 ， ，所以 ，所以 ， ，所以 ，从而 ，
故答案为：A.

【分析】根据题意，由向量数量积的计算公式可得， 进而求出   与  的夹角的大小 。
11.【解析】【解答】如图，

当 时，二者有1个交点；由 ，得 ，即曲线 在点 处的切线的斜率为 ，当 时，二者假设有2个交点，必须 ，解得 ，
故答案为：C.

【分析】 根据f (x) 的性质和单调性作出f (x) 图象，根据交点个数得出g (x) 在特殊点处的函数值的范围，从而得出a的范围.
12.【解析】【解答】解法一：设 ，线段 的中点为 ，
因为曲线 关于点 对称，
所以可将曲线 与 轴、
轴围成的区域割补为直角三角形 的区域，
于是曲线 与 轴、
轴围成的区域的面积就是直角三角形 的面积，
即 ；根据对称性，
可得曲线 与 轴围成的区域的面积为 .
解法二：曲线 与 轴围成的区域的面积为：
.
由此，曲线 所围成的“心形〞区域的面积等于 .

故答案为：B.

【分析】解法一：设 ，线段 的中点为 ，曲线 与 轴、轴围成的区域的面积就是直角三角形 的面积，即可求出曲线  所围成的“心形〞区域的面积；
解法二：利用定积分求出曲线 所围成的“心形〞区域的面积。
二、填空题
13.【解析】【解答】如图，画出可行域，当直线 经过点 时， 最大，所以当 ， 时， .

故答案为：2

【分析】 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x-y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可.
14.【解析】【解答】 ，
故答案为：

【分析】利用古典概率的计算公式即可得出答案。
15.【解析】【解答】在两个正三角形形成的菱形区域中，第1行为 个 ，第2行为 个 ，第3行为 个 …，第 行为 个1，那么所有数的和为 ，所以 .
故答案为： .

【分析】在两个正三角形形成的菱形区域中，第1行为 个 ，第2行为 个 ，第3行为 个 …，第 行为 个1，那么所有数的和为 ， 进而求出 数列   ，    ，    ， …，   ，   的和 。
16.【解析】【解答】由侧面 底面 ， 为矩形， ，得 侧面 ，即 ，
所以异面直线 与 所成角的大小为90°；
令 ，矩形 中，O为AC中点，取 的中点 ，连OH，PH，PO，而 ，那么 是 的外心，如图：

OH//CD，那么 侧面 ， ，从而 ，
又 ，那么 为四棱锥 外接球的球心，
所以四棱锥 外接球的外表积为 .
故答案为： ；

【分析】由侧面 底面 ， 为矩形， ，得 侧面 ，即 ，即可求出 异面直线  与  所成角的大小 ；令 ，矩形 中，O为AC中点，取 的中点 ，连OH，PH，PO，而 ，那么 是 的外心，又 ，那么 为四棱锥 外接球的球心，根据球的外表积公式即可得出。
三、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕 由结合正弦定理及同角根本关系进行化简即可求解；
〔2〕 由正弦定理，得 ，   ，  ，再由余弦定理，得 的长。
18.【解析】【分析】〔1〕由   是  的中位线， 得   ，根据线面平行的判定定理可得  平面   ，再根据线面平行的性质定理可得  ；
〔2〕以  为原点，分别以  ，  为  、  轴的正方向，建立空间直角坐标系  ，利用向量法求出   与平面  所成角的正弦值 。
19.【解析】【分析】〔1〕根据独立事件概率公式可得这4天中合计出租天数恰好为3天的概率；
〔2〕 设  为“1盆发财树〞出租的天数，那么  的分布列 ， 设  为“1盆元宝树〞出租的天数，那么  的分布列 ，求出数学期望，进而得出该花店“发财树和“元宝树〞，哪一种出租平均获利较多。
20.【解析】【分析】〔1〕运用椭圆的离心率公式和短轴的概念,结合a，b, c的关系，解得a=2，b=1，可得椭圆方程；
〔2〕 假设  轴，不符合题意；假设  与  轴不垂直，设 设   ，  ，直线  的方程为  ， 代入  并整理，得   ， 由韦达定理得 ， 设  的中点  ，那么  ，得  ，由  ，得  ，求出 ，可证得结论。
21.【解析】【分析】〔1〕求得f (x) 的导数，由导数大于0可得增区间，导数小于0，可得减区间，进而得到f(x)的极值；
〔2〕 假设存在这样的实数a ，将原不等式转化为二次不等式恒成立问题解法，分 ，  ， ，三种情况解不等式，可得所求满足条件的a的取值范围 .
22.【解析】【分析】〔1〕把   和  代入   可得   、  两点的极坐标 ；
〔2〕 设   ，  ， 当  时，   ， 根据  的对称性， 又   ， 且当  在  的反向延长线上时取等号，求出   的最大值.
23.【解析】【分析】 (1)由零点分区间和绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；
(2)由题意可得存在 ， 成立  ， 设 ，求得最大值，可得所求实数  的取值范围 .