2021届四川省天府名校高三理数5月诊断性考试试卷及答案

这是一份2021届四川省天府名校高三理数5月诊断性考试试卷及答案，共10页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三理数5月诊断性考试试卷
一、单项选择题
1.集合 ， ，那么 〔    〕
A. 或                  B.                  C.                  D. 
2.设i为虚数单位，那么 〔    〕
A.                                      B.                                      C.                                      D. 
3.阅读下面的程序，那么程序表示的函数为〔    〕

A.         B.         C.         D. 
x的函数 有以下命题：
①对 ， 都是非奇非偶函数；② ，使 是偶函数；
③ ，使 是奇函数；④对 ， 都是偶函数．
其中正确结论的序号是〔    〕
A. ①②                                     B. ②③                                     C. ③④                                     D. ①④
5.角 得顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点 ， ，且 那么 的值等于〔    〕
A. -1                                     B.                                      C.                                      D. 
6.在 的展开式中 的系数为〔    〕
A. 168                                       B. 84                                       C. -42                                       D. -84
7.与双曲线 有共同的渐近线，且经过点 的双曲线方程为〔    〕
A.                     B.                     C.                     D. 
8.函数 及 ，那么 及 的图象可能为〔    〕
A.                                 B. 
C.                               D. 
9.在5道题中有3道理科试题和2道文科试题．如果不放回地依次抽2道题，那么第一次和第二次都抽到理科题的概率是〔    〕
A.                                          B.                                          C.                                          D. 
10.在 中，内角A ， B ， C的对边分别为a ， b ， c ， 假设 ， ， ，那么c的值等于〔    〕
A.                                       B.                                       C.                                       D. 
11.圆 的圆心到经过点 的直线l的距离为 ，那么直线 的方程为〔    〕
A. 或
B. 或
C. 或
D. 或
12.一种药在病人血液中的量保持在不低于1500mg，才有疗效；而低于500mg，病人就危险．现给某病人的静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，那么再向这种病人的血液补充这种药物的时间范围是〔    〕
A.              B.              C.              D. 
二、填空题
13.设向量 ， ，且 ，那么实数n的值是________.
AB ， CD是过抛物线 焦点F且互相垂直的两弦，那么 的值为________.
15.切x轴于点A、对称轴平行于y轴的抛物线和曲线 交于点B，并且两曲线在B点的切线相互垂直，A、B两点的横坐标分别为1、2，k和c是正的常数，那么k的值为________．
16.某种冰淇淋是用球形塑料壳包装的，有80g装和200g装的两种规格，假设冰淇淋售价=〔冰淇凌本钱+包装本钱〕×〔1+利润率〕，并且包装本钱与球形外壳外表积成正比．80g装冰淇淋售价是1.50元，其中冰淇淋本钱为每克1分，利润率为25%，那么在利润率不变的情况下，200g装冰淇淋售价是________元．〔参考数据： 〕
三、解答题
17.数列 的前n项和为 ，且 .
〔1〕求数列 的通项公式 ；
〔2〕假设 ，求n.
18.成都市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱.为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了成都市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如表所示〔单位：吨)：

“厨余垃圾〞箱
“可回收物〞箱
“其他垃圾〞箱
厨余垃圾
500
50
50
可回收物
30
240
30
其他垃圾
20
20
60
〔1〕试估计厨余垃圾投放正确的概率：
〔2〕试估计生活垃圾投放错误的概率；
〔3〕假设厨余垃圾在“厨余垃圾〞箱、“可回收物〞箱、“其他垃圾〞箱的投放量分别为a ， b ， c ， 其中 ， .当数据a ， b ， c的方差 最大时，写出a ， b ， c的值(结论不要求证明〕，并求此时 的值.
注： ，其中 为数据 ， ， ， 的平均数.
19.如图，在三棱锥 中， 为直角三角形， ， 是边长为4的等边三角形， ，二面角 的大小为 ，点M为PA的中点．

〔1〕请你判断平面PAB垂直于平面ABC吗？假设垂直，请证明；假设不垂直，请说明理由；
〔2〕求CM与平面PBC所成角的正弦值．
20.函数 .
〔1〕求函数 的单调区间和极值；
〔2〕画出函数 的大致图象，并说明理由；
〔3〕求函数 的零点的个数.
21.中心在原点，焦点为 ， 的椭圆经过点 .
〔1〕求椭圆方程；
〔2〕假设M是椭圆上任意一点， 交椭圆于点A ， 交椭圆于点B ， 求 的值.
22.在直角坐标系 中，点 为坐标原点，直线 的直角坐标方程为 ，直线 与x轴交于点M ， 抛物线C的参数方程为 〔 为参数〕.
〔1〕以点O为极点，以 轴正半轴为极轴，求直线 的极坐标方程及点M的极坐标；
〔2〕设直线 与抛物线C相交于E ， F两点，假设 ，求抛物线C的准线方程.
23.函数 ， .
〔1〕假设不等式 对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围；
〔2〕假设不等式 恒成立，求实数x的取值范围.

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由题意 或 ， 或 ，
所以 或 ．
故答案为：A．

【分析】 求出A, B中不等式的解集确定出集合A, B,再求出A与B的交集即可.
2.【解析】【解答】
故答案为：B.

【分析】 利用复数的除法运算法那么以及乘法运算法那么进行化简求解即可.
3.【解析】【解答】由程序知，当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
故 ，
故答案为：D

【分析】 分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知:该程序的作用是计算并输出分段函数的函数值.
4.【解析】【解答】当 时，
此时 ，那么 为奇函数，故①, ④不正确，③ 正确.
当 时，
此时 ，那么 为偶函数，故②正确.
故答案为：B

【分析】 直接利用三角函数的性质，奇偶性的应用和存在性问题和恒成立问题的应用判断①、②、③、④的结论.
5.【解析】【解答】 ， ，
由题意 ，所以 ＝ ．
故答案为：C．

【分析】 由利用二倍角的余弦公式，同角三角函数根本关系式以及任意角的三角函数的定义即可求解.
6.【解析】【解答】展开式通项公式为 ，
令 ， ，
所以 的系数为 ．
故答案为：D．

【分析】 利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为3得 的系数.
7.【解析】【解答】设与双曲线 共渐近线的方程为： ；
，所求双曲线经过点 ，那么 ；
所以，所求双曲线方程为 ，整理得 .
故答案为：B.

【分析】 依题意，设双曲线的方程为， 将点的坐标代入可求 ， 即可得出求双曲线方程。
8.【解析】【解答】当 时， 单调递减， 单调递减，所以 单调递增且定义域为 ，此时 与y轴的截距在 上，排除C.
当 时， 单调递减， 单调递增，所以 单调递减且定义域为 ，此时 与y轴的截距在 上.
∴当 时， 单调递增；当 时， 单调递减，故只有B符合要求.
故答案为：B.

【分析】 根据f (x)的单调性以及过定点确定a, b的取值范围，结合直线斜率和截距是否一致进行判断即可.
9.【解析】【解答】设A事件为第一次抽到理科试题，B事件为第二次抽到理科试题，
所以第一次和第二次都抽到理科题的概率是 .
故答案为：D.

【分析】根据独立事件乘法求概率，即可得出答案。
10.【解析】【解答】 ，
∴ ，又 ，那么 ，
∴ ， ，又 ，故 ，
∴ .
故答案为：A.

【分析】由利用余弦定理可得，又 ， 解得a，b的值，进而根据余弦定理即可求解 c的值 。
11.【解析】【解答】当直线l的斜率存在时，设经过点 的直线l的方程为 ，即 ，
所以圆 的圆心 到直线l的距离为 ，解得： 或 ，
所以直线l的方程为 或
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为 ，此时圆心 到直线的距离为3，不满足题意；
综上，直线l的方程为 或 .
故答案为：B

【分析】 由圆的方程求得圆心坐标，分析可知所求直线斜率存在，设直线方程，由点到直线的距离公式列式求直线的斜率，那么直线方程可求.
12.【解析】【解答】设t小时保有量为ymg，那么 ，
由 ， ， ，
所以 ．
故答案为：A．

【分析】 先设未知数，再根据题意列出不等式，整理得指数不等式，再利用指数函数的单调性、指对关系，、换底公式和对数的运算性质，以及条件进行求解.
二、填空题
13.【解析】【解答】由 ， ， ，那么有 ，解得 .
故答案为：2.

【分析】 根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得， 解可得n的值，即可得答案.
14.【解析】【解答】由题设，直线 、 的斜率一定存在，
设 为 ， ， ，联立抛物线方程，可得 且 ，
∴ ， ，而 ， ，
∴ ，
由 ，设 为 ， ， ，联立抛物线，可得 ，同理有 ， ，
∴ ，
综上， .
故答案为： .

【分析】 由题意可知，由题设，直线 、 的斜率一定存在，设 为 ， ， ，与抛物线方程联立，由韦达定理可得 ， ， 进而求出 ，设 为 ，所以代入即可求出结果.
15.【解析】【解答】因为A点的横坐标为1，
所以 ，可设抛物线方程为 ，即 ，
的定义域为 ，
因为抛物线和曲线 交于点B，B点的横坐标为2，
所以 ，即 ，
因为 ，所以 ， ， ，
那么 ， ，
因为两曲线在B点的切线相互垂直，所以 ，
联立 ，整理得 ，
解得 或 〔舍去〕， ，
故答案为：1.

【分析】 设抛物线方程为,即，由抛物线和曲线 交于点B，B点的横坐标为2，可得， 再求出两函数在x = 2处的导数，由乘积等于-1可得， 联立即可求得k值.
16.【解析】【解答】设80g装冰淇淋的包装本钱为 元，那么 ， ，
设80g装和200g装的两种冰淇淋的半径分别为 ，比重为 ，那么
， ，所以 ，即 ，
设200g装冰淇淋的包装本钱为s元，
，解得 ，
所以200g装冰淇淋的售价为 ．
故答案为：3.42．

【分析】 先求出80g装冰淇淋的包装本钱，然后根据包装本钱与球形外壳外表积成正比，求出200g装冰淇淋的包装本钱，从而可求出所求.
三、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕运用数列的递推式，化简变形可得所求数列  的通项公式  ；
〔2〕利用等比数列前n项和公式即可求出n。
18.【解析】【分析】 (1)厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾〞箱500吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率;
(2) 设生活垃圾投放错误为事件A，那么事件  表示生活垃圾投放正确，先求出生活垃圾投放正确的概率，即可求生活垃圾投放错误的概率；
(3)计算方差可得 ， 因此 当  ，  时  取得最大值。
 
19.【解析】【分析】〔1〕由DE//BC,∠ACB= 90°，可得DE⊥AC,由△PAC是边长为4的等边三角形，可得PD⊥AC,从而可得  平面  ，由线面垂直的性质定理可得AC⊥PE，由   ,可PE⊥ED，由此可得PE⊥平面ABC，即可证明平面PAB⊥平面ABC ;
〔2〕 以点C为原点，CA，CB分别为x，y轴，过点C且与PE平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系 ，得出   ，    ，   ，求出平面PBC的一个法向量，由此求出 CM与平面PBC所成角的正弦值 。
20.【解析】【分析】〔1〕对函数求导，由导数的正负，可得函数的单调区间，从而可求函数的极值；
〔2〕由可得，与一次函数相比，指数函数  增长更快， 进行作图即可；
〔3〕利用函数与方程之间的关系转化为两个图像交点个数的问题，利用数形结合进行求解，即可得出 函数  的零点的个数.
21.【解析】【分析】 (1)由椭圆定义结合两点间的距离公式求得a，进一步求解b，那么椭圆方程可求；
(2) 法一：以左焦点为极点，  为极轴建立极坐标系，那么椭圆的极坐标方程为  (  为离心率且  )， 设  ，  ， 即可求  ， ，进而得出  的值 ；
法二：设M，A，  在左准线  上的射影分别为  ，  ，Q， 利用相似比求出  ，  ，进而得出  的值 。
22.【解析】【分析】〔1〕直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
〔2〕利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果。
23.【解析】【分析】 (1)作出h(x)= f(x+ 1)+ f(x + 4)的图.象，求得h(x)min =6,依题意得|m-1|≤6解之即可;
(2)利用绝对值不等式可求得h(x)= |2x- 1|+|2x+ 5|≤10,通过分类讨论去掉绝对值符号，即可求得 实数x的取值范围。