四川省天府名校2021届高三上学期12月诊断性考试 文科数学(含答案)
展开
绝密★启用前2021届天府名校12月高三诊断性考试文科数学第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，，则（ ）．A．0 B． C． D．2．设复数，则的共轭复数在复平面内所对应的点位于（ ）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知向量，，当与垂直时，实数（ ）．A．2 B．1 C． D．4．设实数，满足约束条件，则的最大值为（ ）．A． B．1 C． D．5．在中，，，分别为角，，的对边，若，，，则的周长为（ ）．A．20 B．30 C．40 D．256．一个三角形的三边长分别为6，8，10，圆为其内切圆，现向该三角形内随机投掷一个点，则此点落入内切圆内的概率为（ ）．A． B． C． D．7．已知函数，则不等式的解集为（ ）．A． B． C． D．8．已知正数，满足，则取得最小值时的值为（ ）．A． B． C． D．9．已知直线和函数的图象相交，，为两个相邻的交点，若，则（ ）．A．2 B．2或6 C．3或5 D．3 10．设为双曲线的焦点，过作倾斜角为60的直线与该抛物线交于，两点，且，为坐标原点，则的面积为（ ）．A． B． C． D．11．已知函数，若有5个零点，则这五个零点之和的取值范围是（ ）．A． B． C． D．12．在直四棱柱中，底面四边形为菱形，，，，为中点，平面过点且与平面垂直，，则被此直四棱柱截得的截面面积为（ ）．A．1 B．2 C．4 D．6第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：13．定义在上的函数，满足，，则______． 14．古人为避雷和便于雨水下泄，常将屋顶设计成圆锥形状，多见于我国东南沿海地带，经测算某圆锥屋顶的轴截面为一个斜边长约为20米的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积约为______ 平方米．15．已知直线的倾斜角为，与圆相切，切点在第二象限，则______．16．设为双曲线的右焦点，过点且和轴垂直的直线交双曲线的两条渐近线于点，（、分别在第一、四象限），且与双曲线在第一象限的交点为，若，则双曲线的离心率为______．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列满足，．（1）求证：数列为等比数列，并求；（2）设的前项之和为，，求数列的前项之和．18．在三棱锥中，，，．（1）求证：平面平面；（2）若为棱上的一点，且满足，求三棱锥的体积．19．某班主任对本班40名同学每天参加课外活动的时间进行了详细统计，并绘制成频率分布直方图，其中，，，，在纵轴上对应的高度分别为，，，，．如下图所示：（1）求实数的值以及参加课外活动时间在中的人数；（2）用区间中点值近似代替该区间每一名学生的每天参加活动的时间，求这40名同学平均每天参加课外活动的时间；（3）从每天参加活动不少于50分钟的人（含男生甲）中任选3人，求其中的男生甲被选中的概率．20．已知椭圆的离心率为，为右焦点，上一点满足垂直于轴，．（1）求椭圆的方程；（2）设斜率为2的直线交椭圆于，两点，且直线不过原点，求面积的最大值．21．已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若在上恒成立，求的最小正整数值．22．选修4-4：坐标系与参数方程．在平面直角坐标系中，圆的方程为，直线经过点，且倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出圆的极坐标方程和直线的参数方程；（2）设直线交圆于，两点，求．23．选修4-5：不等式选讲已知．（1）解不等式；（2）设函数的最小值为，，若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围． 参考答案1．D【解析】由题知，集合，因此．故选D．2．B【解析】因为，所以的共轭复数为，在复平面内所对应的点为，位于第二象限．故选B．3．D【解析】由题知，，欲使与垂直，则，解得．故选D．4．C【解析】作出不等式组表示的可行域如图：的几何意义是可行域内的一点与点的连线斜率，从图上可以看出，点为最优解，因此的最大值为．故选C．5．A【解析】根据余弦定理，得，所以，则的周长为20．故选A．6．A【解析】依题意，此三角形为一个直角三角形，设圆的半径为，则，设此点落入内切圆内为事件，则．故选A．7．A【解析】由，得，因为，定义域为，所以为奇函数，由，知为增函数，则等价于，即，解得．故选A．8．B【解析】依题意得，，由，得．因此，当且仅当，即时取等号，结合，知，．故选B．9．B【解析】将代入到中，得，或，，因为，因此或，解得或6．故选B．10．A【解析】由题得，直线的方程为，与抛物线方程联立，得，设，，则，，由，得，解得，此时直线的方程为，抛物线的方程为，联立解得，，因此，因此原点到直线的距离等于，所以．故选A．11．C【解析】作出函数的图象，则的零点即为直线与函数的交点的橫坐标，欲使有5个零点，则，设此五个零点依次为，，，，，由和的对称性可知，，而，因此5个零点之和的取值范围是．故选C．12．C【解析】分别取，，的中点，，，连接，，，，．由四边形为菱形，知，再根据三角形的中位线定理，知，所以，又因为，因此．又，平面，平面，故平面，又平面，则平面平面．则为矩形．由，，故截面面积为4．故选C．13．1【解析】依题意知，因此是以3为周期的周期函数，所以．14．【解析】依题意，圆锥的底面半径为10米，母线长为米，于是其侧面积为（平方米）．15．【解析】由题知，圆心到直线的距离等于，因此，因为切点在第二象限，所以，即，根据同角三角函数之间的关系知，，，则．16．【解析】设，则由题得，，，由于是直线和双曲线的交点，因此，故，，由于，因此可以得到，化简得，又，得，，则离心率．17．【解析】解：（1）因为，所以，
因为，所以数列是以2为首项，3为公比的等比数列，
因此，故．（2）依题意，，因此，故， ①， ②①－②，得，．因此，．18．【解析】（1）取的中点，连接和，因为，因此，由，，得，又因为，，所以为直角三角形，又为的中点，因此，在中，由于，所以，因为，平面，平面，所以平面．又因为平面，所以平面平面．（2）依题意知，因此点到平面的距离等于点到平面距离的．由（1）知，到平面的距离，因此到平面的距离等于．又的面积为，所以．19．【解析】解：（1）因为所有小矩形面积之和等于1，所以，解得，由于参加课外活动时间在内的频率等于，因此参加课外活动时间在中的人数为人．（2）依题意，参加课外活动时间在，，，，中的人数分别为5人，8人，15人，7人，5人，因此这40名同学平均每天参加课外活动的时间为：（分钟）．（3）设每天参加活动不少于50分钟的5人分别为，，，，甲，从中任选3人，可能的情况有：，，甲，，甲，甲，，甲，甲，甲，共10种，设“其中的男生甲被选中”为事件，则事件包括的情况有：甲，甲，甲，甲，甲，甲，共6种，因此事件发生的概率为．20．【解析】设椭圆的焦距为，依题意得，由，知点坐标为，代入到椭圆方程中得，结合，可以解得，，故椭圆的方程为．（2）设直线的方程为，，，将代入到椭圆方程中，得，由得，，，根据弦长公式，得，设到直线的距离为，则根据点到直线的距离公式得．因此，的面积为，当且仅当时等号成立．所以当时，面积的最大值为1．21．【解析】（1）由题得，函数的定义域为，，当时，由于在上恒为负数，此时在上单调递减．当时，令，得，令，得．此时，在上单调递减，在上单调递增．综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．（2）依题意，在上恒成立．令，则，令，则，令，由于，因此在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值．根据恒为负数，知亦恒为负数，因此在上为减函数．而，知，可知在区间上必存在，使得函数满足，且在上单调递增，在上单调递减．由于，而，故，由，因此，，所以，因此的最小正整数值为1．22．【解析】（1）将，，代入到圆的方程中，得圆的极坐标方程为，而直线的参数方程为（为参数）．（参数方程不唯一）（2）将直线的参数方程代入到圆的直角坐标方程中得，化简得．，所以方程有两个根，分别记为，，，，则，所以．23．【解析】，（1）当时，所解不等式可化为，解得，再结合条件知，此时不等式无解；当时，所解不等式可化为，解得，再结合条件知，此时不等式的解集为；当时，所解不等式可化为，解得，再结合条件知，此时不等式的解集为．综上所述，原不等式的解集为．（2）因为时，，单调递减；时，，单调递减；时，，单调递增，且是一条连续不间断的曲线．因此函数的最小值为．于是实数，从而，因为存在实数，使不等式成立，所以，由于，当且仅当时等号成立，由，得．于是实数的取值范围是．
