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2021届山东省临沂市高三数学一模试卷及答案
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这是一份2021届山东省临沂市高三数学一模试卷及答案，共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
高三数学一模试卷
一、单项选择题
1.全集 ，那么集合 〔 〕
A. B. C. D.
2.如图，假设向量 对应的复数为 ，且 ，那么 〔 〕
A. B. C. D.
3.设a，b，c，d为实数，那么“a＞b，c＞d〞是“a+c＞b+d〞的〔 〕
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.某学校组建了演讲，舞蹈､航模､合唱，机器人五个社团，全校 名学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委从这 名学生中随机选取局部学生进行调查，并将调查结果绘制了如下不完整的两个统计图：
那么选取的学生中参加机器人社团的学生数为〔 〕
A. 50 B. 75 C. 100 D. 125
5. 是圆 上的两个动点， 为线段 的中点，那么 〔 〕
A. B. C. D.
6.北京2022年冬奥会桔祥物“冰墩墩〞和冬残奥会桔祥物“雪容融〞一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个桔祥物安装在学校的体育广场，假设小明和小李必须安装同一个桔祥物，且每个桔祥物都至少由两名志愿者安装，那么不同的安装方案种数为〔 〕
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
7.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子〞的美誉，用其名字命名的“高斯函数〞：设 用 表示不超过 的最大整数，那么 称为高斯函数，也称取整函数，例如： . ，那么函数 的值域为〔 〕
A. B. C. D.
8.双曲线的光学性质为①：如图，从双曲线右焦点 发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯〞，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯〞的轴截面是双曲线一局部，如图②，其方程为 为其左､右焦点，假设从右焦点 发出的光线经双曲线上的点 和点 反射后，满足 ，那么该双曲线的离心率为〔 〕
A. B. C. D.
二、多项选择题
9.以下结论正确的选项是〔 〕
A. 命题“ 〞的否认是“ 〞
B. 回归模型为 ，那么样本点 的残差为-1
C. 假设幂函数的图象过点 ，那么该函数的单调递增区间为
D. 的展开式中各项的二项式系数之和为32，那么此展开式中 项的系数为-80
10.数列 的前 项和为 ,那么以下说法正确的选项是〔 〕
A. 假设 那么 是等差数列
B. 假设 那么 是等比数列
C. 假设 是等差数列，那么
D. 假设 是等比数列，且 那么
11.函数 ，以下结论正确的选项是〔 〕
A. 在区间 上单调递增
B. 的图象关于点 成中心对称
C. 将 的图象向左平移 个单位后与 的图象重合
D. 假设 那么
12.为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了?诵经典，获新知?的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图 ，球的体积为 ，托盘由边长为 的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图 .那么以下结论正确的选项是〔 〕
A. 经过三个顶点 的球的截面圆的面积为
B. 异面直线 与 所成的角的余弦值为
C. 直线 与平面 所成的角为
D. 球离球托底面 的最小距离为
三、填空题
13.假设函数 满足：〔1〕对于任意实数 ，当 时，都有 ；〔2〕 ，那么 ________.(答案不唯一，写出满足这些条件的一个函数即可)
14.曲线 在 处的切线的倾斜角为 ，那么 ________.
15.蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美､和谐的音乐，蟋蟀鸣叫的频率 (每分钟鸣叫的次数)与气温 (单位： )存在着较强的线性相关关系.某地研究人员根据当地的气温和蟋蟀鸣叫的频率得到了如下数据：
21
22
23
24
25
26
27
(次数/分钟)
24
28
31
39
43
47
54
利用上表中的数据求得回归直线方程为 ，假设利用该方程知，当该地的气温为 时，蟋蟀每分钟鸣叫次数的预报值为68，那么 的值为________.
16.椭圆 的左､右焦点分别为 ，点 在椭圆上，且 ， ， ，那么 的标准方程为________；假设过点 的直线 与椭圆 交于 两点，且点 关于点 对称，那么 的方程为________.
四、解答题
17.在圆内接四边形 中， 求 面积的最大值.
18.在① ，② ，③ ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.
正项数列 的前 项和为 ，满足___________.
〔1〕求 ；
〔2〕假设 ，求数列 的前 项和 .
19.党中央，国务院高度重视新冠病毒核酸检测工作，中央应对新型冠状病毒感染肺炎疫情工作领导小组会议作出部署，要求尽力扩大核酸检测范围，着力提升检测能力.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为 .现有 例疑似病例，分别对其取样､检测，既可以逐个化验，也可以将假设干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，那么化验结果呈阳性.假设混合样本呈阳性，那么需将该组中备用的样本再逐个化验；假设混合样本呈阴性，那么判定该组各个样本均为阴性，无需再化验.现有以下三种方案：方案一：4个样本逐个化验；方案二：4个样本混合在一起化验；方案三：4个样本均分为两组，分别混合在一起化验.在新冠肺炎爆发初期，由于检测能力缺乏，化验次数的期望值越小，那么方案越“优〞.
〔1〕假设 ，按方案一，求 例疑似病例中恰有2例呈阳性的概率；
〔2〕假设 ，现将该4例疑似病例样本进行化验，试比较以上三个方案中哪个最“优〞，并说明理由.
20.如图，四棱锥 中，四边形 是等腰梯形， .
〔1〕证明：平面 平面 ；
〔2〕过 的平面交 于点 假设平面 把四棱锥 分成体积相等的两局部，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
21.如图，抛物线 的焦点为 四边形 为正方形，点 在抛物线 上，过焦点 的直线 交抛物线 于 两点，交直线 于点 .
〔1〕假设 为线段 的中点，求直线 的斜率；
〔2〕假设正方形 的边长为 ，直线 ， ， 的斜率分别为 ， ， ，那么是否存在实数 ，使得 ？假设存在，求出 ；假设不存在，请说明理由.
22.函数 .
〔1〕判断 的单调性，并求 的最值；
〔2〕用 表示 的最大值.记函数 ，讨论 的零点个数.
答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】 ，
所以
故答案为：C
【分析】 根据并集，补集的定义进行求解即可．
2.【解析】【解答】由题意，设 ，那么 ，解得 ，即 ，
所以 ．
故答案为：D．
【分析】 根据图形可设z=-1+bi，b＞0，利用复数的模可求出b，从而求出z的共轭复数，最后利用复数的除法法那么进行运算即可．
3.【解析】【解答】根据不等式的可加性可得 成立；
反之不成立，例如取 ， ， ， ，满足 ，但是 不成立，
∴ 是 的充分不必要条件.
故答案为：A．
【分析】 “a>b ， c>d〞⇒“a+c>b+d〞，反之不成立。例如取c=5 ， d=1 ， a=2 ， b=3 ．
4.【解析】【解答】由题意，本次调查的人数为 人，
其中合唱比赛所占的比例为 ，
所以机器人所占的比例为 ，
所以选取的学生中参加机器人社团的学生数为 人.
故答案为：B.
【分析】 由条形统计图得共抽到50名同学演讲，由扇形统计图片得抽到的学生中演讲同学占10%，从而求出一共抽取的学生数为500人，再求出抽到的学生中合唱学生占40%，由此能求出选取的学生中参加机器人社团的学生数．
5.【解析】【解答】解： 是圆 上的两个动点，
，
又 ，
即 ,
即 ，
即 ，
，
是线段 的中点，
，
.
故答案为：C.
【分析】 根据向量的运算几何意义用表， 用向量数量积性质求解．
6.【解析】【解答】由题意可知应将志愿者分为三人组和两人组，
当三人组中包含小明和小李时，安装方案有 种；
当三人组中不包含小明和小李时，安装方案有 种，共计有 种，
故答案为：A.
【分析】 根据题意，分2种情况讨论：①小明和小李两个人安装同一个桔祥物，②小明和小李和另外一人安装同一个桔祥物，由加法原理计算可得答案．
7.【解析】【解答】 ，
当 时， ，那么 ，故 ，故 ；
但 时， ，那么 ，故 ， ；
综上所述，函数 的值域为 .
故答案为：C.
【分析】 利用常数别离法将原函数解析式化为， 然后分析函数的值域，再根据高斯函数的含义确定 的值。
8.【解析】【解答】易知 共线， 共线，如图，设 ， ，
那么 ，
由 得， ，又 ，
所以 ， ，那么 ，
所以 ，
由 得 ，因为 ，故解得 ，
那么 ，
在 中， ，即 ，所以 ．
故答案为：C．
【分析】 设 ， ，由 得， ， 可得 ， 再由双曲线的定义，求得， 结合勾股定理和双曲线的离心率公式，计算可得所求值．
二、多项选择题
9.【解析】【解答】对于选项A：命题“ 〞的否认是“ 〞；应选项A正确；
对于选项B：当 时， ，所以样本点 的残差为 ，应选项B正确；
对于选项C：设幂函数 可得 ，解得 ，所以 ，那么该函数的单调递增区间为 ，应选项C不正确；
对于选项D：由题意可得 ，可得 ，所以 展开式通项为
，令 可得 ，
所以此展开式中 项的系数 ，应选项D不正确，
故答案为：AB.
【分析】 直接利用命题的否认，回归直线方程，幂函数的定义，二项式定理中展开式的应用，组合数的应用判断A、B、C、D的结论．
10.【解析】【解答】对于A选项，假设 ，当 时， ， 不满足 ，故A错误；
对于B选项，假设 ，那么 ，由于 满足 ，所以 是等比数列，故B正确；
对于C选项，假设 是等差数列，那么 ，故C正确.
对于D选项，当 时， ，故当 时不等式不等式，故 不成立，所以D错误.
故答案为：BC
【分析】 对于选项A，由题设求得数列的前3项即可判断其正误；对于选项B，先利用求得数列的通项公式，再利用等比数列的定义判断其正误即可；利用等差数列的前n项和公式与性质可判断选项C的正误；对于选项D，可用当 时求得的 与 判断其正误．
11.【解析】【解答】 ，
时， ，此时 递增，A正确；
，B错误；
将 的图象向左平移 个单位后得解析式 ，C正确；
易知函数周期为 ，因此当 那么 ，D正确．
故答案为：ACD．
【分析】 先利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质分别检验各选项即可判断．
12.【解析】【解答】根据图形的形成，知 三点在底面 上的射影分别是 三边中点 ，如图， 与 全等且所在面平行，截面圆就是 的外接圆与 的外接圆相同．
由题意 的边长为1，其外接圆半径为 ，圆面积为 ，A错；
由上面讨论知 与 平行且相等，而 与 平行且相等，因此 与 平行且相等，从而 是平行四边形， ，所以 是异面直线 与 所成的角〔或其补角〕．由， ， ， ，
，B正确；
由平面 与平面 垂直知 在平面 内的射影是 ，所以 为直线 与平面 所成的角，此角大小 ，C正确．
由上面讨论知 ，设 是球心，球半径为 ，由 得 ，那么 是正四面体，棱长为1，设 是 的中心，那么 平面 ，又 平面 ，所以 ， ，那么 ，又 ．
所以球离球托底面 的最小距离为 ，D正确．
故答案为：BCD．
【分析】 A求出截面面积判断；B平移直线求成角余弦值判断；C求直线与平面成角判断；D求出最小距离判断．
三、填空题
13.【解析】【解答】解：对于任意实数 ， ，当 时，都有 ，说明该函数在 上单调递增，
又对数函数满足运算性质： ，
故可选一个递增的对数函数： ．
故答案为： ．
【分析】 根据题意，结合对数函数的性质分析可得答案．
14.【解析】【解答】
那么
故答案为：
【分析】 求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数，可得tanα，进一步求得α，再由三角函数的诱导公式求解 。
15.【解析】【解答】由题得 ，
，
所以 ①，又 ②，
联立①②解方程组得 .
故答案为：5
【分析】 先求得样本中心点为， 再把样本中心点和〔30，68〕均代入线性回归方程，解方程组即可．
16.【解析】【解答】记椭圆的半焦距为 ，
根据椭圆的定义可得， ，那么 ，
又 ，那么 ，所以 ，
那么 ；所以 ，因此椭圆 的方程为 ；
设 ， ，因为点 关于点 对称，所以 ；
由题意可得 ，两式作差可得 ，
那么 ，
所以直线 的方程为 ，即2x-3y+6=0.
故答案为： ；2x-3y+6=0.
【分析】 利用椭圆的定义即可求出a的值，再利用勾股定理即可求出c，由此即可求解；设出点A，B的坐标，代入椭圆方程，利用点差法以及中点坐标公式求出直线l的斜率，由此即可求解．
四、解答题
17.【解析】【分析】 由圆内接四边形的性质可得 ， 在△ABC中，利用正弦定理得， 再在△ACD中，结合余弦定理和根本不等式推出AD•CD≤24，最后由 ，即可得解．
18.【解析】【分析】 〔1〕分别选①②③，运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式，可得所求通项公式；
〔2〕求得 ，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．
19.【解析】【分析】 〔1〕利用对立事件概率计算公式能求出该混合样本呈阳性的概率；
〔2〕方案一：逐个检测，数学期望为4，方案二：检测次数为X，X的可能取值为1，5，分求出相应的概率，由此能求出方案二的期望；方案三，每组两个样本检测时，假设呈阴性，那么检测次数为1，概率为， 假设呈阳性那么检测次数为3，概率为， 故方案三的检测次数记为Y，Y的可能取值为2，4，6，分别求出相应的概率，由此能求出方案三的期望，从而方案一、二，三中方案二最“优〞．
20.【解析】【分析】 〔1〕作DF⊥AB交AB于点F，连结BD，在△ABD中，利用余弦定理求出BD，然后由勾股定理可证PD⊥BD，再利用线面垂直的判定定理可证PD⊥平面ABCD，由面面垂直的判断定理证明即可；
〔2〕利用平面PDE把四棱锥P-ABCD分成体积相等的两局部，可得， 从而求出AE，然后建立适宜的空间直角坐标系，求出所需各点的坐标，利用待定系数法求出平面PAD和PCE的法向量，然后利用二面角的计算公式求解即可．
21.【解析】【分析】 〔1〕由可得DN为抛物线的准线．设直线l点倾斜角为α．如下列图，分别过点A，B，作AG⊥DN，BH⊥DN，G，H为垂足．可得：BH=BF，AG=AF．作BQ⊥AG，Q为垂足，那么QG=BH．利用三角形中位线定理、直角三角形的边角关系即可得出；
〔2〕由正方形DFMN的边长为1，可得p=1， ． 设 ， 联立 化为 ，利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．
22.【解析】【分析】 〔1〕利用导数研究函数f〔x〕的单调性，从而得到函数f〔x〕的最小值；
〔2〕首先确定f〔1〕=0，然后分x＞1和-1＜x≤1进行讨论，当x＞1时，h〔x〕无零点，当-1＜x≤1时，再根据a的取值范围进行讨论，分别利用导数研究函数的性质，分析判断即可得到答案．
高三数学一模试卷
一、单项选择题
1.全集 ，那么集合 〔 〕
A. B. C. D.
2.如图，假设向量 对应的复数为 ，且 ，那么 〔 〕
A. B. C. D.
3.设a，b，c，d为实数，那么“a＞b，c＞d〞是“a+c＞b+d〞的〔 〕
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.某学校组建了演讲，舞蹈､航模､合唱，机器人五个社团，全校 名学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委从这 名学生中随机选取局部学生进行调查，并将调查结果绘制了如下不完整的两个统计图：
那么选取的学生中参加机器人社团的学生数为〔 〕
A. 50 B. 75 C. 100 D. 125
5. 是圆 上的两个动点， 为线段 的中点，那么 〔 〕
A. B. C. D.
6.北京2022年冬奥会桔祥物“冰墩墩〞和冬残奥会桔祥物“雪容融〞一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个桔祥物安装在学校的体育广场，假设小明和小李必须安装同一个桔祥物，且每个桔祥物都至少由两名志愿者安装，那么不同的安装方案种数为〔 〕
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
7.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子〞的美誉，用其名字命名的“高斯函数〞：设 用 表示不超过 的最大整数，那么 称为高斯函数，也称取整函数，例如： . ，那么函数 的值域为〔 〕
A. B. C. D.
8.双曲线的光学性质为①：如图，从双曲线右焦点 发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯〞，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯〞的轴截面是双曲线一局部，如图②，其方程为 为其左､右焦点，假设从右焦点 发出的光线经双曲线上的点 和点 反射后，满足 ，那么该双曲线的离心率为〔 〕
A. B. C. D.
二、多项选择题
9.以下结论正确的选项是〔 〕
A. 命题“ 〞的否认是“ 〞
B. 回归模型为 ，那么样本点 的残差为-1
C. 假设幂函数的图象过点 ，那么该函数的单调递增区间为
D. 的展开式中各项的二项式系数之和为32，那么此展开式中 项的系数为-80
10.数列 的前 项和为 ,那么以下说法正确的选项是〔 〕
A. 假设 那么 是等差数列
B. 假设 那么 是等比数列
C. 假设 是等差数列，那么
D. 假设 是等比数列，且 那么
11.函数 ，以下结论正确的选项是〔 〕
A. 在区间 上单调递增
B. 的图象关于点 成中心对称
C. 将 的图象向左平移 个单位后与 的图象重合
D. 假设 那么
12.为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了?诵经典，获新知?的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图 ，球的体积为 ，托盘由边长为 的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图 .那么以下结论正确的选项是〔 〕
A. 经过三个顶点 的球的截面圆的面积为
B. 异面直线 与 所成的角的余弦值为
C. 直线 与平面 所成的角为
D. 球离球托底面 的最小距离为
三、填空题
13.假设函数 满足：〔1〕对于任意实数 ，当 时，都有 ；〔2〕 ，那么 ________.(答案不唯一，写出满足这些条件的一个函数即可)
14.曲线 在 处的切线的倾斜角为 ，那么 ________.
15.蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美､和谐的音乐，蟋蟀鸣叫的频率 (每分钟鸣叫的次数)与气温 (单位： )存在着较强的线性相关关系.某地研究人员根据当地的气温和蟋蟀鸣叫的频率得到了如下数据：
21
22
23
24
25
26
27
(次数/分钟)
24
28
31
39
43
47
54
利用上表中的数据求得回归直线方程为 ，假设利用该方程知，当该地的气温为 时，蟋蟀每分钟鸣叫次数的预报值为68，那么 的值为________.
16.椭圆 的左､右焦点分别为 ，点 在椭圆上，且 ， ， ，那么 的标准方程为________；假设过点 的直线 与椭圆 交于 两点，且点 关于点 对称，那么 的方程为________.
四、解答题
17.在圆内接四边形 中， 求 面积的最大值.
18.在① ，② ，③ ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.
正项数列 的前 项和为 ，满足___________.
〔1〕求 ；
〔2〕假设 ，求数列 的前 项和 .
19.党中央，国务院高度重视新冠病毒核酸检测工作，中央应对新型冠状病毒感染肺炎疫情工作领导小组会议作出部署，要求尽力扩大核酸检测范围，着力提升检测能力.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为 .现有 例疑似病例，分别对其取样､检测，既可以逐个化验，也可以将假设干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，那么化验结果呈阳性.假设混合样本呈阳性，那么需将该组中备用的样本再逐个化验；假设混合样本呈阴性，那么判定该组各个样本均为阴性，无需再化验.现有以下三种方案：方案一：4个样本逐个化验；方案二：4个样本混合在一起化验；方案三：4个样本均分为两组，分别混合在一起化验.在新冠肺炎爆发初期，由于检测能力缺乏，化验次数的期望值越小，那么方案越“优〞.
〔1〕假设 ，按方案一，求 例疑似病例中恰有2例呈阳性的概率；
〔2〕假设 ，现将该4例疑似病例样本进行化验，试比较以上三个方案中哪个最“优〞，并说明理由.
20.如图，四棱锥 中，四边形 是等腰梯形， .
〔1〕证明：平面 平面 ；
〔2〕过 的平面交 于点 假设平面 把四棱锥 分成体积相等的两局部，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
21.如图，抛物线 的焦点为 四边形 为正方形，点 在抛物线 上，过焦点 的直线 交抛物线 于 两点，交直线 于点 .
〔1〕假设 为线段 的中点，求直线 的斜率；
〔2〕假设正方形 的边长为 ，直线 ， ， 的斜率分别为 ， ， ，那么是否存在实数 ，使得 ？假设存在，求出 ；假设不存在，请说明理由.
22.函数 .
〔1〕判断 的单调性，并求 的最值；
〔2〕用 表示 的最大值.记函数 ，讨论 的零点个数.
答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】 ，
所以
故答案为：C
【分析】 根据并集，补集的定义进行求解即可．
2.【解析】【解答】由题意，设 ，那么 ，解得 ，即 ，
所以 ．
故答案为：D．
【分析】 根据图形可设z=-1+bi，b＞0，利用复数的模可求出b，从而求出z的共轭复数，最后利用复数的除法法那么进行运算即可．
3.【解析】【解答】根据不等式的可加性可得 成立；
反之不成立，例如取 ， ， ， ，满足 ，但是 不成立，
∴ 是 的充分不必要条件.
故答案为：A．
【分析】 “a>b ， c>d〞⇒“a+c>b+d〞，反之不成立。例如取c=5 ， d=1 ， a=2 ， b=3 ．
4.【解析】【解答】由题意，本次调查的人数为 人，
其中合唱比赛所占的比例为 ，
所以机器人所占的比例为 ，
所以选取的学生中参加机器人社团的学生数为 人.
故答案为：B.
【分析】 由条形统计图得共抽到50名同学演讲，由扇形统计图片得抽到的学生中演讲同学占10%，从而求出一共抽取的学生数为500人，再求出抽到的学生中合唱学生占40%，由此能求出选取的学生中参加机器人社团的学生数．
5.【解析】【解答】解： 是圆 上的两个动点，
，
又 ，
即 ,
即 ，
即 ，
，
是线段 的中点，
，
.
故答案为：C.
【分析】 根据向量的运算几何意义用表， 用向量数量积性质求解．
6.【解析】【解答】由题意可知应将志愿者分为三人组和两人组，
当三人组中包含小明和小李时，安装方案有 种；
当三人组中不包含小明和小李时，安装方案有 种，共计有 种，
故答案为：A.
【分析】 根据题意，分2种情况讨论：①小明和小李两个人安装同一个桔祥物，②小明和小李和另外一人安装同一个桔祥物，由加法原理计算可得答案．
7.【解析】【解答】 ，
当 时， ，那么 ，故 ，故 ；
但 时， ，那么 ，故 ， ；
综上所述，函数 的值域为 .
故答案为：C.
【分析】 利用常数别离法将原函数解析式化为， 然后分析函数的值域，再根据高斯函数的含义确定 的值。
8.【解析】【解答】易知 共线， 共线，如图，设 ， ，
那么 ，
由 得， ，又 ，
所以 ， ，那么 ，
所以 ，
由 得 ，因为 ，故解得 ，
那么 ，
在 中， ，即 ，所以 ．
故答案为：C．
【分析】 设 ， ，由 得， ， 可得 ， 再由双曲线的定义，求得， 结合勾股定理和双曲线的离心率公式，计算可得所求值．
二、多项选择题
9.【解析】【解答】对于选项A：命题“ 〞的否认是“ 〞；应选项A正确；
对于选项B：当 时， ，所以样本点 的残差为 ，应选项B正确；
对于选项C：设幂函数 可得 ，解得 ，所以 ，那么该函数的单调递增区间为 ，应选项C不正确；
对于选项D：由题意可得 ，可得 ，所以 展开式通项为
，令 可得 ，
所以此展开式中 项的系数 ，应选项D不正确，
故答案为：AB.
【分析】 直接利用命题的否认，回归直线方程，幂函数的定义，二项式定理中展开式的应用，组合数的应用判断A、B、C、D的结论．
10.【解析】【解答】对于A选项，假设 ，当 时， ， 不满足 ，故A错误；
对于B选项，假设 ，那么 ，由于 满足 ，所以 是等比数列，故B正确；
对于C选项，假设 是等差数列，那么 ，故C正确.
对于D选项，当 时， ，故当 时不等式不等式，故 不成立，所以D错误.
故答案为：BC
【分析】 对于选项A，由题设求得数列的前3项即可判断其正误；对于选项B，先利用求得数列的通项公式，再利用等比数列的定义判断其正误即可；利用等差数列的前n项和公式与性质可判断选项C的正误；对于选项D，可用当 时求得的 与 判断其正误．
11.【解析】【解答】 ，
时， ，此时 递增，A正确；
，B错误；
将 的图象向左平移 个单位后得解析式 ，C正确；
易知函数周期为 ，因此当 那么 ，D正确．
故答案为：ACD．
【分析】 先利用二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的性质分别检验各选项即可判断．
12.【解析】【解答】根据图形的形成，知 三点在底面 上的射影分别是 三边中点 ，如图， 与 全等且所在面平行，截面圆就是 的外接圆与 的外接圆相同．
由题意 的边长为1，其外接圆半径为 ，圆面积为 ，A错；
由上面讨论知 与 平行且相等，而 与 平行且相等，因此 与 平行且相等，从而 是平行四边形， ，所以 是异面直线 与 所成的角〔或其补角〕．由， ， ， ，
，B正确；
由平面 与平面 垂直知 在平面 内的射影是 ，所以 为直线 与平面 所成的角，此角大小 ，C正确．
由上面讨论知 ，设 是球心，球半径为 ，由 得 ，那么 是正四面体，棱长为1，设 是 的中心，那么 平面 ，又 平面 ，所以 ， ，那么 ，又 ．
所以球离球托底面 的最小距离为 ，D正确．
故答案为：BCD．
【分析】 A求出截面面积判断；B平移直线求成角余弦值判断；C求直线与平面成角判断；D求出最小距离判断．
三、填空题
13.【解析】【解答】解：对于任意实数 ， ，当 时，都有 ，说明该函数在 上单调递增，
又对数函数满足运算性质： ，
故可选一个递增的对数函数： ．
故答案为： ．
【分析】 根据题意，结合对数函数的性质分析可得答案．
14.【解析】【解答】
那么
故答案为：
【分析】 求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数，可得tanα，进一步求得α，再由三角函数的诱导公式求解 。
15.【解析】【解答】由题得 ，
，
所以 ①，又 ②，
联立①②解方程组得 .
故答案为：5
【分析】 先求得样本中心点为， 再把样本中心点和〔30，68〕均代入线性回归方程，解方程组即可．
16.【解析】【解答】记椭圆的半焦距为 ，
根据椭圆的定义可得， ，那么 ，
又 ，那么 ，所以 ，
那么 ；所以 ，因此椭圆 的方程为 ；
设 ， ，因为点 关于点 对称，所以 ；
由题意可得 ，两式作差可得 ，
那么 ，
所以直线 的方程为 ，即2x-3y+6=0.
故答案为： ；2x-3y+6=0.
【分析】 利用椭圆的定义即可求出a的值，再利用勾股定理即可求出c，由此即可求解；设出点A，B的坐标，代入椭圆方程，利用点差法以及中点坐标公式求出直线l的斜率，由此即可求解．
四、解答题
17.【解析】【分析】 由圆内接四边形的性质可得 ， 在△ABC中，利用正弦定理得， 再在△ACD中，结合余弦定理和根本不等式推出AD•CD≤24，最后由 ，即可得解．
18.【解析】【分析】 〔1〕分别选①②③，运用数列的递推式和等差数列的定义和通项公式，可得所求通项公式；
〔2〕求得 ，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．
19.【解析】【分析】 〔1〕利用对立事件概率计算公式能求出该混合样本呈阳性的概率；
〔2〕方案一：逐个检测，数学期望为4，方案二：检测次数为X，X的可能取值为1，5，分求出相应的概率，由此能求出方案二的期望；方案三，每组两个样本检测时，假设呈阴性，那么检测次数为1，概率为， 假设呈阳性那么检测次数为3，概率为， 故方案三的检测次数记为Y，Y的可能取值为2，4，6，分别求出相应的概率，由此能求出方案三的期望，从而方案一、二，三中方案二最“优〞．
20.【解析】【分析】 〔1〕作DF⊥AB交AB于点F，连结BD，在△ABD中，利用余弦定理求出BD，然后由勾股定理可证PD⊥BD，再利用线面垂直的判定定理可证PD⊥平面ABCD，由面面垂直的判断定理证明即可；
〔2〕利用平面PDE把四棱锥P-ABCD分成体积相等的两局部，可得， 从而求出AE，然后建立适宜的空间直角坐标系，求出所需各点的坐标，利用待定系数法求出平面PAD和PCE的法向量，然后利用二面角的计算公式求解即可．
21.【解析】【分析】 〔1〕由可得DN为抛物线的准线．设直线l点倾斜角为α．如下列图，分别过点A，B，作AG⊥DN，BH⊥DN，G，H为垂足．可得：BH=BF，AG=AF．作BQ⊥AG，Q为垂足，那么QG=BH．利用三角形中位线定理、直角三角形的边角关系即可得出；
〔2〕由正方形DFMN的边长为1，可得p=1， ． 设 ， 联立 化为 ，利用根与系数的关系、斜率计算公式即可得出．
22.【解析】【分析】 〔1〕利用导数研究函数f〔x〕的单调性，从而得到函数f〔x〕的最小值；
〔2〕首先确定f〔1〕=0，然后分x＞1和-1＜x≤1进行讨论，当x＞1时，h〔x〕无零点，当-1＜x≤1时，再根据a的取值范围进行讨论，分别利用导数研究函数的性质，分析判断即可得到答案．
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