2021届内蒙古包头市高三理数第一次模拟考试试卷及答案
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这是一份2021届内蒙古包头市高三理数第一次模拟考试试卷及答案,共11页。试卷主要包含了单项选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
高三理数第一次模拟考试试卷
一、单项选择题
1.设集合 , ,那么 中元素的个数为〔 〕
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2.复数 的虚部是〔 〕
A. B. C. D.
3. , 都是 的充分条件, 是 的必要条件, 是 的必要条件,那么〔 〕
A. 是 的既不充分也不必要条件 B. 是 的必要条件
C. 是 的必要不充分条件 D. 是 的充要条件
4.地震的震级越大,以地震波的形式从震源释放出的能量就越大,震级 与所释放的能量 的关系如下: 〔焦耳〕〔取 〕,那么8级地震释放的能量是7级地震释放的能量的〔 〕
A. 30.6倍 B. 31.6倍 C. 3.16倍
5. ,那么 〔 〕
A. B. C. D.
6.圆 : 上的点到直线 : 的最大距离为〔 〕
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
7.在平面直角坐标系 中, 是椭圆 : 〔 〕的右焦点,直线 与椭圆 交于 , 两点,且 ,那么椭圆 的离心率是〔 〕
A. B. C. D.
8.在 中, , ,那么 周长的最大值为〔 〕
A. 8 B. 10 C. 12 D. 14
9. 是等腰直角三角形, , , 是平面 内一点,那么 的最小值为〔 〕
A. B. 4 C. 6 D.
10. , , ,那么〔 〕
A. B. C. D.
11.在三棱锥 中,假设 , , ,设异面直线 与 所成角为 ,那么 〔 〕
A. B. C. D.
12.函数 ,那么以下命题正确的选项是〔 〕
A. 假设 ,那么 的图象关于原点中心对称
B. 假设 ,那么把 的图象向右平移 个单位长度可得到 的图象
C. 假设 在 、 分别取得极大值和极小值,且 的最小值为 ,那么
D. 假设 ,那么 在 有且只有3个零点
二、填空题
13.实数 , 满足 那么 的最小值为________.
14.设函数 ,假设 ,那么 ________.
15.设直线 : 与双曲线 : 〔 〕的两条渐近线分别交于 , 两点,假设线段 的中点在直线 上,那么双曲线 的离心率为________.
16.做一个无盖的圆柱形水桶,假设要使其体积是 ,且用料最省,那么该圆柱形水桶的高为________.
三、解答题
17.设等差数列 满足 , .
〔1〕求数列 的公差 ,并求数列 的通项公式;
〔2〕设 ,求数列 的前 项和 .
18.某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的100件产品作为样本称出它们的质量〔单位:克〕,质量的分组区间为 , ,…, .由此得到样本的频率分布直方图如以下列图.
〔1〕估计这条生产流水线上,质量超过515克的产品的比例;
〔2〕求这条生产流水线上产品质量的平均数 和方差 的估计值〔同一组中的数据用该组区间的中点值作代表〕.
19.如图,在正三棱柱 中, 、 分别为 , 的中点. 为线段 延长线上一点,且 , .
〔1〕证明: 平面 ;
〔2〕证明:点 在平面 内;
〔3〕求三棱锥 的体积.
20.点 是抛物线 : 的准线上的任意一点,过点 作 的两条切线 , ,其中 、 为切点.
〔1〕证明:直线 过定点,并求出定点坐标;
〔2〕假设直线 交椭圆 : 于 , 两点,求 的最小值.
21.设函数 , ,〔 为参数〕.
〔1〕当 时,求 的单调区间,并证明 有且只有两个零点;
〔2〕当 时,证明: 在区间 上有两个极值点.
22.在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 〔 为参数〕,以坐标原点O为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 的极坐标方程为 .
〔1〕求C的普通方程和l的直角坐标方程;
〔2〕求C上的点到直线l距离的最大值.
23. 、 、 ,且 .
〔1〕求 的最小值;
〔2〕证明: .
答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】因为集合 , ,
所以,那么 中元素的个数为5个。
故答案为:C.
【分析】利用条件结合交集的运算法那么,从而求出集合A和集合B的交集,从而求出 中元素的个数 。
2.【解析】【解答】解: ,
复数 的虚部是 。
故答案为:A.
【分析】利用复数的乘除法运算法那么求出复数 的代数表达式,再利用复数的虚部的定义,从而求出复数 的虚部。
3.【解析】【解答】由题意得 ,
所以 ,
所以 ,所以 是 的充分条件,A不符合题意;
是 的充分条件,B不符合题意;
是 的充要条件,C不符合题意;
是 的充要条件,D符合题意;
故答案为:D.
【分析】利用条件 , 都是 的充分条件, 是 的必要条件, 是 的必要条件, 再结合充分条件、必要条件的判断方法,从而推出 是 的充要条件,进而选出正确的选项 。
4.【解析】【解答】解:设7级地震释放的能量为 ,8级地震释放的能量为 ,
, ,
,即8级地震释放的能量是7级地震释放的能量的31.6倍。
故答案为:B.
【分析】利用条件结合指数幂的运算法那么,从而求出8级地震释放的能量是7级地震释放的能量的31.6倍。
5.【解析】【解答】 ,
。
故答案为:D.
【分析】利用条件结合两角差的余弦公式,从而结合辅助角公式求出的值。
6.【解析】【解答】由题意,圆心 到直线 的距离 ,
所以,圆 上的点到直线 的最大距离是 。
故答案为:B.
【分析】利用条件结合点到直线的距离公式求出圆心 到直线 的距离,再利用几何法结合圆与直线的位置关系,从而求出圆 上的点到直线 的最大距离。
7.【解析】【解答】解:设右焦点 ,将直线方程 代入椭圆方程,可得 ,
可得 , , , ,
由 ,可得 ,即有 ,化简为 ,
由 ,即有 ,可得 。
故答案为:D.
【分析】设右焦点 ,将直线方程 代入椭圆方程,可得交点坐标,由 结合两直线垂直斜率之积等于-1,再结合两点求斜率公式,可得, 再利用椭圆中a,b,c三者的关系式,从而求出a,c的关系式,再结合椭圆的离心率公式变形,从而求出椭圆的离心率。
8.【解析】【解答】解: 在 中, , ,
由余弦定理,得 ,
即 ,
由根本不等式有 ,所以 ,
〔当且仅当 时等号成立〕,
周长 〔当且仅当 时等号成立〕,
即当且仅当 时, 周长的最大值为12。
故答案为:C.
【分析】在 中, , ,再利用余弦定理结合均值不等式求最值的方法,从而推出〔当且仅当 时等号成立〕,再结合三角形的周长公式求出三角形周长的最大值。
9.【解析】【解答】如图建立坐标系,
那么 ,设
,
最小值为-4,
故答案为:A.
【分析】利用条件建立平面直角坐标系,从而求出点A,B,C的坐标,设 , 再利用向量的坐标表示求出向量的坐标,再利用数量积的运算法那么结合数量积的坐标表示,从而结合二次函数图象求最值的方法,从而求出 的最小值 。
10.【解析】【解答】由指数函数的性质,可得 ,且
又由 ,即 ,所以 。
故答案为:C.
【分析】利用条件结合指数函数的单调性和对数函数的单调性,再结合与特殊值对应的指数和对数的大小关系比较,从而比较出a,b,d的大小。
11.【解析】【解答】分别取 、 、 的中点 、 、 ,连接 、 、 、 、 ,
, 为 的中点,那么 , ,
且 ,
为 的中点,那么 ,且 ,
、 分别为 、 的中点, 且 ,
同理可得 且 ,
所以,异面直线 与 所成角为 或其补角,
由余弦定理可得 ,
因此,异面直线 与 所成角的余弦值为 。
故答案为:B.
【分析】分别取 、 、 的中点 、 、 ,连接 、 、 、 、 ,因为, 为 的中点,再利用等边三角形三线合一的性质,那么 , ,再利用勾股定理得出的长 ,因为为 的中点,那么 ,再利用勾股定理求出EG的长,因为、 分别为 、 的中点,再利用中点作中位线的方法结合中位线的性质,所以 且 ,同理可得 且 ,所以,异面直线 与 所成角为 或其补角,由余弦定理可得异面直线 与 所成角的余弦值。
12.【解析】【解答】对于A选项,当 时, , ,
所以,函数 的图象不关于原点成中心对称,A选项错误;
对于B选项,当 时, ,
把 的图象向右平移 个单位长度可得到 的图象,B选项错误;
对于C选项,假设 在 、 分别取得极大值和极小值,那么 ,
,那么 ,C选项正确;
对于D选项,当 时, ,
假设 ,那么 ,由 ,
可得 或 ,解得 或 ,
所以, 在 有且只有2个零点,D选项错误.
故答案为:C.
【分析】利用的值结合换元法将正弦型函数f(x)转化为正弦函数,再利用正弦函数的图像找出正弦型函数f(x)的对称中心,再利用正弦型函数f(x)图象的对称性,得出 的图象向右平移 个单位长度可得到 的图象,再利用正弦型函数的图像结合极值的定义,从而求出正弦型函数的极值,再结合函数 在 、 分别取得极大值和极小值,且 的最小值为 , 从而求出的值,利用的值求出正弦型函数的解析式,再利用x的取值范围结合函数零点存在性定理,从而推出函数 在 的零点个数,从而找出命题正确的选项。
二、填空题
13.【解析】【解答】作出不等式组表示的可行区域如图所以,
由图可知,当直线 经过点 时,取得最小值,所以
故答案为:-2。
【分析】利用二元一次不等式组画出可行域,再利用可行域求出最优解,再由最优解求出线性目标函数的最小值。
14.【解析】【解答】由 可得, ,所以 ,解得 。
故答案为:2。
【分析】利用导数的混合运算法那么求出导函数,再利用代入法结合条件,从而求出a的值。
15.【解析】【解答】双曲线 : 〔 〕的两条渐近线为 ,
,解得 ,
,解得 ,
所以 ,
解得 ,由 ,
所以 ,
所以 。
故答案为: 。
【分析】利用双曲线的标准方程确定焦点的位置,进而求出双曲线的渐近线方程,再利用直线与两渐近线相交,分别联立直线与两渐近线方程,从而求出交点的横坐标,再结合中点坐标公式结合条件线段 的中点在直线 上, 从而求出a的值,再结合b的值,再利用双曲线中a,b,c三者的关系式,从而求出c的值,再利用双曲线的离心率公式,从而求出双曲线的离心率。
16.【解析】【解答】设圆柱的底面半径为 ,那么高为 ,
那么圆柱的外表积为
,
,面积单调递减,
,面积单调递增,
所以 时, 取得极小值也是最小值,此时 ,
所以要使得其体积为 ,且用料最省,此时圆柱的高为4。
故答案为:4。
【分析】设圆柱的底面半径为 ,再利用圆柱的体积公式结合条件,从而求出圆柱的高,再利用圆柱的外表积公式得出圆柱的外表积为 , 再利用求导的方法判断函数的单调性,从而求出函数的最小值,此时对应的圆柱的高为 ,所以要使得其体积为 ,且用料最省,此时圆柱的高为4。
三、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合递推关系,从而结合代入法求出公差,再利用等差数列的通项公式,从而求出等差数列的通项公式。
〔2〕 由〔1〕得的等差数列的通项公式结合条件 , 从而求出数列 的通项公式,再利用裂项相消的方法,从而求出数列 的前 项和。
18.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合频率分布直方图中各小组的矩形面积等于各小组的频率,从而估计出这条生产流水线上,质量超过515克的产品的比例。
〔2〕利用条件结合频率分布直方图求出平均数公式估计出这条生产流水线上产品质量的平均数 的值,再利用方差公式估计出这条生产流水线上产品质量的方差 的值。
19.【解析】【分析】〔1〕 连结 交 于 ,连结 , ,在正三棱柱 中,四边形 为正方形,所以 为对角线 与 的中点,又因为点 为 的中点,再利用中点作中位线的方法结合中位线的性质,所以 且 ,又因为点 为 的中点,再利用中点作中位线的方法结合中位线的性质,所以 且 ,所以 ,且 ,再利用平行四边形的定义,所以四边形 是平行四边形,所以 ,再利用线线平行证出线面平行,从而证出 平面 。
〔2〕 连结 , ,在 中, 是中位线,再结合中位线的性质,所以 ,又因为 ,再结合平行的传递性,所以 ,故平面 为 与 所确定的平面,因此点 在平面 内。
〔3〕 因为点 是正三角形 一边 的中点,再利用正三角形中三线合一,所以 ,又因为平面 平面 ,再结合面面垂直的性质定理推出线面垂直,所以 平面 ,由〔1〕可知 ,故 平面 ,再利用线面垂直的定义推出线线垂直,所以 ,在 中,结合勾股定理求出 的长,在正三角形 中, ,由〔1〕可知 ,再利用三角形的面积公式,从而求出 的值,因为四边形 是正方形,所以 ,又因为 ,再利用线线垂直推出线面垂直,所以 平面 ,故 是三棱锥 的高,且 ,再利用三棱锥的体积公式求出三棱锥 的体积。
20.【解析】【分析】〔1〕 根据题意,设 , , ,再利用求导的方法求出曲线在切点处的切线的斜率,再利用点斜式求出切线的方程为 ,再利用点P在抛物线上结合代入法得出,所以 的方程可化为 ,同理,切线 的方程为 ,因为上述两条直线都过点 ,把 的坐标代入两方程,得 和 ,这两个方程说明点 , 都在直线 上,再利用转化的方法将直线的一般式方程转化为点斜式方程,从而求出直线所过的定点坐标,进而证出 直线 过定点。
〔2〕 设直线 的方程为 ,再利用直线与抛物线相交,联立二者方程结合判别式法和韦达定理,再结合弦长公式求出P,Q两点的距离,再利用直线与椭圆相交,联立二者方程结合判别式法和韦达定理,再结合弦长公式求出A,B两点的距离,进而得出 , 再利用二次函数的图像求最值的方法,从而求出 的最小值 。
21.【解析】【分析】〔1〕利用a的值求出函数的解析式,再利用求导的方法判断函数的单调性,从而求出函数的单调区间,再利用零点存在性定理证出函数 有且只有两个零点。
〔2〕利用a的值求出函数的解析式,再利用求导的方法判断函数的单调性,从而结合零点存在性定理证出函数 在区间 上有两个极值点。
22.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合极坐标与直角坐标的互化公式和参数方程与普通方程的转化方法,从而求出曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程。
〔2〕 由〔1〕可知,设C上任一点P的坐标为 ,再利用点到直线的距离公式和辅助角公式,求出点P到l的距离为 ,再利用正弦型函数的图像结合绝对值的定义,从而求出当 时, 取得最大值,从而求出曲线C上的点到l距离的最大值。
23.【解析】【分析】〔1〕利用条件结合完全平方和公式,再结合均值不等式求最值的方法,从而求出 的最小值。
〔2〕 由 ,得 ,两边平方结合二次式的取值范围,从而证出不等式 成立。
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