安徽省安庆市2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷（word版含答案）

这是一份安徽省安庆市2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷（word版含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年安徽省安庆市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：每小题给出的四个选项中，其中只有一个是正确的，请把正确选项填涂在答题卷上．（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．下列函数中是二次函数的是（　　）
A．S＝2t﹣3 B．y＝ C．y＝x2 D．y＝ax2+bx+c
2．抛物线y＝2（x﹣1）2+4的对称轴和顶点坐标分别是（　　）
A．直线x＝1，（1，﹣4） B．直线x＝1，（1，4）
C．直线x＝﹣1，（﹣1，4） D．直线x＝﹣1，（﹣1，﹣4）
3．抛物线y＝x2﹣9与x轴交于A、B两点，则A、B两点的距离是（　　）
A．3 B．6 C．9 D．18
4．若反比例函数y＝（k＜0）的图象上有两点P1（2，y1）和P2（3，y2），那么（　　）
A．y1＜y2＜0 B．y1＞y2＞0 C．y2＜y1＜0 D．y2＞y1＞0
5．已知点C是AB上的黄金分割点（AC＞BC），若AB＝2，则AC等于（　　）
A． B． C． D．
6．A（cos60°，﹣tan30°）关于原点对称的点A1的坐标是（　　）
A． B． C． D．
7．下列条件中，能使△ABC∽△DEF成立的是（　　）
A．∠C＝98°，∠E＝98°，
B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，EF＝8，DE＝10，FD＝6
C．∠A＝∠F＝90°，AC＝5，BC＝13，DF＝10，EF＝26
D．∠B＝35°，BC＝10，BC上的高AG＝7，∠E＝35°，EF＝5，EF上的高DH＝3.5
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且∠ACD＝30°，DE∥BC交AC于点E，BF⊥CD于点F，连接EF．若AC＝2，则EF的长是（　　）

A．2 B． C．1 D．
9．如图，点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝（x＜0）的图象上．若OA⊥OB，＝2，则a的值为（　　）

A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
10．如图1，正△ABC中，点P为BC边上的任意一点（不与点B，C重合），且∠APD＝60°，PD交边AB于点D．设BP＝x，BD＝y，图2为y关于x的函数大致图象，下列判断中正确的是（　　）
①正△ABC中边长为4；
②图象的函数表达式是y＝﹣x（x﹣4），其中0＜x＜4；
③m＝1．

A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．（5分）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝2x2的图象向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为　 　．
12．（5分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点A的坐标为（0，2），则点E的坐标是　 　．

13．（5分）如图，一个横断面为抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，拱顶离水面2m．以桥孔的最高点为原点，过原点的水平线为x轴，建立平面直角坐标系．当水面下降1m时，此时水面的宽度增加了　 　m（结果保留根号）．

14．（5分）如图，在平面直角坐标系中，OA1＝2，∠A1Ox＝30°，以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以A1A2为直角边作Rt△A1A2A3，并使∠A2A1A3＝60°，再以A2A3为直角边作Rt△A2A3A4，并使∠A3A2A4＝60°，…，按此规律进行下去，则A2020的坐标是　 　．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：sin30°+cos45°﹣3sin60°﹣tan60°．
16．（8分）已知a：b：c＝2：3：4，且a﹣2b+3c＝16，求2a+3b﹣2c的值．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，已知点D为△ABC的边AB上一点，过点B作BE∥AC，BE交CD的延长线于点E，且∠ACD＝∠ABC，S△ABC：S△BED＝4：9，AC＝10，求AD的长．

18．（8分）如图，一农户要建一矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用27m长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门．所围成矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍的面积最大，最大面积是多少？

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20）
19．（10分）已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．
（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；
（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标．

20．（10分）如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，梯面AD、BE相互平行，且与地面成37°的夹角，DE是一段水平歇台，离地面高度3米．已知天桥高度BC为4.8米，引桥水平跨度AC为8米，求梯面AD、BE及歇台DE的长．
（参考数据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75，结果保留两位小数）

六、（本题满分12分）
21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3），设AB所在直线解析式为y＝ax+b（a≠0）．
（1）求k的值，并根据图象直接写出关于x的不等式ax+b＞的解集；
（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位在平移中，若反比例函数图象与菱形的边AD始终有交点，求m的取值范围．

七、（本题满分12分）
22．（12分）突如其来的新冠疫情影响了某商场经济效益，在复工复产时对某商品价格进行了调整，每件的售价比进价多8元，8件的进价相当于6件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件．
（1）该商品的售价和进价分别是多少元？
（2）在进价不变的条件下，若每天所得的销售利润为2160元时，且销量尽可能大，该商品应涨价多少元？
（3）在进价不变的条件下，商场的营销部在调控价格方面，提出了每件商品的利润至少为25元的方案．则在此方案下，涨价多少元时每天的利润最大？最大利润是多少？
八、（本题满分14分）
23．（14分）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图，抛物线C1与抛物线C2组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1与抛物线C2与x轴有相同的交点M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B且点A的坐标为（0，﹣3），抛物线C2的解析式为y＝mx2+4mx﹣12m，（m＞0）．
（1）请你根据“月牙线”的定义，设计一个开口向下的“月牙线”，直接写出两条抛物线的解析式；
（2）求M，N两点的坐标；
（3）在第三象限内的抛物线C1上是否存在一点P，使得△PAM的面积最大？若存在，求出△PAM的面积的最大值；若不存在，说明理由．


2020-2021学年安徽省安庆市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：每小题给出的四个选项中，其中只有一个是正确的，请把正确选项填涂在答题卷上．（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．下列函数中是二次函数的是（　　）
A．S＝2t﹣3 B．y＝ C．y＝x2 D．y＝ax2+bx+c
【分析】利用二次函数定义进行解答即可．
【解答】解：A、是一次函数，不是二次函数，故此选项不合题意；
B、是反比例函数，故此选项不符合题意；
C、是二次函数，故此选项符合题意；
D、当a＝0时，不是二次函数，故此选项不合题意；
故选：C．
2．抛物线y＝2（x﹣1）2+4的对称轴和顶点坐标分别是（　　）
A．直线x＝1，（1，﹣4） B．直线x＝1，（1，4）
C．直线x＝﹣1，（﹣1，4） D．直线x＝﹣1，（﹣1，﹣4）
【分析】根据y＝a（x﹣h）2+k，a＞0时图象开口向上，a＜0时图象开口向下，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h，可得答案．
【解答】解：∵抛物线为y＝2（x﹣1）2+4，
∴对称轴是直线x＝1，
顶点坐标（1，4）．
故选：B．
3．抛物线y＝x2﹣9与x轴交于A、B两点，则A、B两点的距离是（　　）
A．3 B．6 C．9 D．18
【分析】通过解方程x2﹣9＝0得A、B两点的坐标为（﹣3，0），（3，0），从而得到A、B两点的距离．
【解答】解：令y＝0，即x2﹣9＝0，解得x1＝3，x2＝﹣3，
∴A、B两点的坐标为（﹣3，0），（3，0），
∴A、B两点的距离＝3﹣（﹣3）＝6．
故选：B．
4．若反比例函数y＝（k＜0）的图象上有两点P1（2，y1）和P2（3，y2），那么（　　）
A．y1＜y2＜0 B．y1＞y2＞0 C．y2＜y1＜0 D．y2＞y1＞0
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到2y1＝k，3y2＝k，然后利用k＜0得到y1＜y2＜0．
【解答】解：根据题意得2y1＝k，3y2＝k，即y1＝k，y2＝k，
∵k＜0，
∴y1＜y2＜0．
故选：A．
5．已知点C是AB上的黄金分割点（AC＞BC），若AB＝2，则AC等于（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据黄金分割点的定义，当AC是较长线段时，AC＝AB，代入数据即可得出AC的长度．
【解答】解：∵线段AB＝2，点C是AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴AC＝AB＝×2＝﹣1，
故选：C．
6．A（cos60°，﹣tan30°）关于原点对称的点A1的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据特殊角的三角函数值确定点A的坐标；平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）．
【解答】解：∵cos60°＝，﹣tan30°＝，
即A的坐标是（，），
∴点A关于原点对称的点A1的坐标是（，）．
故选：A．
7．下列条件中，能使△ABC∽△DEF成立的是（　　）
A．∠C＝98°，∠E＝98°，
B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，EF＝8，DE＝10，FD＝6
C．∠A＝∠F＝90°，AC＝5，BC＝13，DF＝10，EF＝26
D．∠B＝35°，BC＝10，BC上的高AG＝7，∠E＝35°，EF＝5，EF上的高DH＝3.5
【分析】根据相似三角形的判定定理可得出答案．
【解答】解：A、∠C＝∠E＝98°，不是对应角相等，故不能判定△ABC∽△DEF；
B、两个三角形的三边不对应成比例，故不能判定△ABC∽△DEF；
C、两个直角三角形的两边不对应成比例，故不能判定△ABC∽△DEF；
D、如图，AG⊥BC，DH⊥EF，

∴∠AGB＝∠DHE＝90°，
∵∠B＝∠E＝35°，
∴△ABG∽△DEH，
∴，
∵BC＝10，EF＝5，
∴，
∴，
∴△ABC∽△DEF．
故选：D．
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且∠ACD＝30°，DE∥BC交AC于点E，BF⊥CD于点F，连接EF．若AC＝2，则EF的长是（　　）

A．2 B． C．1 D．
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质得出AB＝2BC，根据勾股定理求出BC和AB，求出BD＝BC＝AD＝2，求出F和E分别是AC、CD的中点，根据三角形的中位线求出答案即可．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴AB＝2BC，∠ABC＝60°，AC2+BC2＝AB2，
∵AC＝2，
∴（2）2+BC2＝（2BC）2，
解得：BC＝2（负数舍去），
AB＝2BC＝4，
∵AB＝4，D为AB的中点，
∴BD＝AD＝2＝BC，
∵BF⊥CD，
∴CF＝DF，
∵DE∥BC，D为AB的中点，
∴AE＝CE，
∴EF＝AD＝＝1，
故选：C．
9．如图，点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝（x＜0）的图象上．若OA⊥OB，＝2，则a的值为（　　）

A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【分析】过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，利用相似三角形的判定定理得出△AOM∽△OBN，再由反比例函数系数k的几何意义得出S△AOM：S△BON＝1：（﹣a），进而可得出结论．
【解答】解：过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，
∴∠AMO＝∠BNO＝90°，
∴∠AOM+∠OAM＝90°，
∵OA⊥OB，
∴∠AOM+∠BON＝90°，
∴∠OAM＝∠BON，
∴△AOM∽△OBN，
∵点A，B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝（x＜0）的图象上，
∴S△AOM：S△BON＝1：（﹣a），
∴AO：BO＝1：，
∵OB：OA＝2，
∴a＝﹣4，
故选：A．

10．如图1，正△ABC中，点P为BC边上的任意一点（不与点B，C重合），且∠APD＝60°，PD交边AB于点D．设BP＝x，BD＝y，图2为y关于x的函数大致图象，下列判断中正确的是（　　）
①正△ABC中边长为4；
②图象的函数表达式是y＝﹣x（x﹣4），其中0＜x＜4；
③m＝1．

A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
【分析】设正△ABC的边长为a，先证明△CAP∽△BPD，可得CA：BP＝CP：BD，把x，y，a代入即可得到函数关系式，由抛物线对称轴可求得a＝4，可判断结论①；把a＝4代入即求得函数解析式可判断结论②；由函数解析式求出二次函数最大值，可判断结论③．
【解答】解：∵△ABC为正三角形，
∴∠B＝∠C＝60o，
∵∠APD＝60°，
∴∠CAP+∠APC＝120°，∠BPD+∠APC＝120°，
∴∠CAP＝∠BPD，
∴△CAP∽△BPD，
∴CA：BP＝CP：BD，
设正△ABC的边长为a，
∴CA＝CB＝a，CP＝CB﹣BP＝a﹣x，
∵BP＝x，BD＝y，
∴a：x＝（a﹣x）：y，
∴y＝，
∴y关于x的函数解析式为：y＝＝x2+x，
∵抛物线的对称轴为：x＝＝2，
解得：a＝4，
∴正△ABC的边长为4，故结论①正确；
∴y关于x的函数解析式为：y＝x2+x＝x（x﹣4），故结论②错误；
把x＝2代入得：m＝1，故结论③正确；
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．（5分）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝2x2的图象向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得抛物线的解析式为　y＝2（x+2）2﹣3　．
【分析】根据图象的平移规律，可得答案．
【解答】解：将抛物线y＝2x2的图象向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y＝2（x+2）2﹣3．
故答案是：y＝2（x+2）2﹣3
12．（5分）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，位似比为2：3，点A的坐标为（0，2），则点E的坐标是　（3，3）　．

【分析】先利用正方形的性质得到B（2，2），然后把B点的横纵坐标分别乘以即可得到E点坐标．
【解答】解：∵四边形ABCO为正方形，
而A（0，2），
∴B（2，2），
∵正方形OABC与正方形ODEF是位似图，点O为位似中心，位似比为2：3，
∴E点坐标为（2×，2×），即E（3，3）．
故答案为（3，3）．
13．（5分）如图，一个横断面为抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，拱顶离水面2m．以桥孔的最高点为原点，过原点的水平线为x轴，建立平面直角坐标系．当水面下降1m时，此时水面的宽度增加了　2﹣4　m（结果保留根号）．

【分析】根据已知给出的直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣3代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．
【解答】解：设抛物线的解析式为：y＝ax2，
∵水面宽4m时，拱顶离水面2m，
∴点（2，﹣2）在此抛物线上，
∴﹣2＝a•22，
∴a＝﹣，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2，
当水面下降1m时，
即y＝﹣3时，﹣3＝﹣x2，
∴x＝，
∴此时水面的宽度为：2，
即此时水面的宽度增加了（2﹣4）m．
故答案为：2﹣4．
14．（5分）如图，在平面直角坐标系中，OA1＝2，∠A1Ox＝30°，以OA1为直角边作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2＝60°，再以A1A2为直角边作Rt△A1A2A3，并使∠A2A1A3＝60°，再以A2A3为直角边作Rt△A2A3A4，并使∠A3A2A4＝60°，…，按此规律进行下去，则A2020的坐标是　（0，1﹣31010）　．

【分析】先根据已知确定A1在第一象限，A2在y轴正半轴上，A3在第二象限，A2在y轴负半轴上，每四个点一循环，再由直角三角形30度角的性质计算线段的长：OA2＝2OA1＝4，A1A2＝2，得A2（0，4），A1A3＝2A1A2＝4，A1B＝A1A2＝，A2B＝3，A3的横坐标为：﹣3＝﹣，同理可得A4的坐标，而2020是4的倍数，所以此点在y轴的负半轴上，可得结论．
【解答】解：∵∠A1Ox＝30°，∠A1OA2＝60°，

∴∠A2Ox＝90°，
∴A2在y轴上，
Rt△A1A2O中，OA1＝2，
∴OA2＝2OA1＝4，A1A2＝2，
∴A2的纵坐标为：4＝+1，
∴A2（0，4），
Rt△A1A2A3中，∠A2A1A3＝60°，
∴∠A1A3A2＝30°，
∴A1A3＝2A1A2＝4，
∵∠BA1O＝∠A1Ox＝30°，
∴A1B∥x轴，
∴A1B⊥A2O，
∵∠A1A2B＝30°，
∴A1B＝A1A2＝，A2B＝3，
∴A3B＝4﹣＝3，OB＝4﹣3＝1，
∴A3的横坐标为：﹣3＝﹣，
∴A3（﹣3，1），
Rt△A2BA3中，A2A3＝2A2B＝6，
Rt△A2A3A4中，A2A4＝2A2A3＝12，
∴OA4＝12﹣4＝8，
∴A4的纵坐标为：﹣[﹣1]，
A4（0，﹣8），
由此发现：点A1，A2，A3，A4，…，An，每四次一循环，
2020÷4＝505，
∴点A2020在y轴的负半轴上，纵坐标是：﹣[﹣1]＝1﹣31010．
则A2020的坐标是 （0，1﹣31010）；
故答案为：（0，1﹣31010）．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：sin30°+cos45°﹣3sin60°﹣tan60°．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入得出答案．
【解答】解：原式＝
＝+﹣﹣
＝．
16．（8分）已知a：b：c＝2：3：4，且a﹣2b+3c＝16，求2a+3b﹣2c的值．
【分析】根据已知条件设a＝2k，b＝3k，c＝4k，根据a﹣2b+3c＝16得出2k﹣6k+12k＝16，求出k，再求出a＝4，b＝6，c＝8，最后求出答案即可．
【解答】解：∵a：b：c＝2：3：4，
∴设a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵a﹣2b+3c＝16，
∴2k﹣6k+12k＝16，
解得：k＝2，
∴a＝4，b＝6，c＝8，
∴2a+3b﹣2c＝8+18﹣16＝10．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，已知点D为△ABC的边AB上一点，过点B作BE∥AC，BE交CD的延长线于点E，且∠ACD＝∠ABC，S△ABC：S△BED＝4：9，AC＝10，求AD的长．

【分析】求出△ACD∽△ABC，△ACD∽△BED，推出△ABC∽△BED，根据相似三角形的性质得出＝，求出BD，根据相似三角形的性质得出＝，代入求出即可．
【解答】解：∵∠A＝∠A，∠ACD＝∠ABC，
∴△ACD∽△ABC，
∵BE∥AC，
∴△ACD∽△BED，
∴△ABC∽△BED，
∵S△ABC：S△BED＝4：9，
∴＝，
∵AC＝10，
∴BD＝15，
∵△ACD∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
∴AD＝5，AD＝﹣10（舍去），
即AD＝5．
18．（8分）如图，一农户要建一矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用27m长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门．所围成矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍的面积最大，最大面积是多少？

【分析】设猪舍的面积为ym2，矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为（27﹣2x+1）m．根据矩形的面积公式建立函数解析式求出其最值即可．
【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为（27﹣2x+1）m，
由题意得y＝x（27﹣2x+1）＝﹣2（x﹣7）2+98，对称轴为x＝7，
∵27﹣2x+1≤12，27﹣2x+1＞0，
∴8≤x＜14，
在y＝﹣2（x﹣7）2+98中，﹣2＜0，在对称轴右侧y随着x的增大而减小，
所以当x＝8m时，矩形猪舍的长为27﹣2x+1＝12（m），宽为8m时，猪舍的面积最大，最大面积是96平方米．
答：矩形猪舍的长、宽分别为12m、8m时，猪舍的面积最大，最大面积是96平方米．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20）
19．（10分）已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．
（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；
（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标．

【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；

（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，A2坐标（﹣2，﹣2）．

20．（10分）如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，梯面AD、BE相互平行，且与地面成37°的夹角，DE是一段水平歇台，离地面高度3米．已知天桥高度BC为4.8米，引桥水平跨度AC为8米，求梯面AD、BE及歇台DE的长．
（参考数据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37°＝0.75，结果保留两位小数）

【分析】过分别点D、E作DF⊥AC，EG⊥BC，垂足分别为点F、G．由三角函数求出AD、AF的长，由平行线的性质得出∠BEG＝∠A＝37°，在Rt△ADF中，∠BEG＝37°，BG＝BC﹣CG＝4.8﹣3＝1.8，由三角函数求出BE的长和EG的长，即可得出DE的长．
【解答】解：过分别点D、E作DF⊥AC，EG⊥BC，垂足分别为点F、G．
在Rt△ADF中，∠A＝37°，DF＝3，
∴，，
即，，
∴，，
∵AD∥BE，
∴∠BEG＝∠A＝37°，
在Rt△ADF中，∠BEG＝37°，BG＝BC﹣CG＝4.8﹣3＝1.8，
∴，即，，
∴，，
∴DE＝AC﹣EG﹣AF＝8﹣2.4﹣4＝1.60；
答：梯面AD、BE及歇台DE的长分别为5.00米、3.00米、1.60米．

六、（本题满分12分）
21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3），设AB所在直线解析式为y＝ax+b（a≠0）．
（1）求k的值，并根据图象直接写出关于x的不等式ax+b＞的解集；
（2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位在平移中，若反比例函数图象与菱形的边AD始终有交点，求m的取值范围．

【分析】（1）根据菱形的性质和D的坐标即可求出A的坐标，代入求出即可；
（2）A和D可能落在反比例函数的图象上，根据平移求出即可．
【解答】解：（1）延长AD交x轴于F，由题意得AF⊥x轴，
∵点D的坐标为（4，3），
∴OF＝4，DF＝3，
∴OD＝5，
∴AD＝5，
∴点A坐标为（4，8），
∴k＝xy＝4×8＝32，
由图象得解集：x＞4；

（2）将菱形ABCD沿x轴正方向平移m个单位，
使得点D落在函数的图象D'点处，
∴点D'的坐标为（4+m，3），
∵点D'在的图像上，
∴，
解得：，
∴．

七、（本题满分12分）
22．（12分）突如其来的新冠疫情影响了某商场经济效益，在复工复产时对某商品价格进行了调整，每件的售价比进价多8元，8件的进价相当于6件的售价，每天可售出200件，经市场调查发现，如果每件商品涨价1元，每天就会少卖5件．
（1）该商品的售价和进价分别是多少元？
（2）在进价不变的条件下，若每天所得的销售利润为2160元时，且销量尽可能大，该商品应涨价多少元？
（3）在进价不变的条件下，商场的营销部在调控价格方面，提出了每件商品的利润至少为25元的方案．则在此方案下，涨价多少元时每天的利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据题目，设出未知数，列出一元二次方程即可解答；
（2）根据题目：利润＝每件利润×销售数量，列出一元二次方程求解；
（3）设销售该商品获得的利润为w元，涨价m元，根据利润＝每件利润×销售数量得出函数关系式，由利润至少为25元得出m的取值范围，再根据二次函数的性质即可求解．
【解答】解：（1）该商品的进价x元，则售价为（x+8）元，
由题意得：8x＝6（x+8），
解得：x＝24，
24+8＝32（元），
答：商品的售价32元，进价为24元；
（2）设每件商品涨价m元，由题意得：
（32+m﹣24）（200﹣5m）＝2160．
∴﹣5（m﹣16）2+2880＝2160，
解得：m1＝28，m2＝4．
∵使销量尽可能大，
∴m1＝28不合题意，舍去，
答：每件商品应涨价4元；
（3）设销售该商品获得的利润为w元，涨价m元，
∴w＝（32+m﹣24）（200﹣5m）＝﹣5（m﹣16）2+2880，
∵每件商品的利润至少为25元，
∴每件的售价应涨价：32+m﹣24≥25，解得m≥17，
∵a＝﹣5＜0，
∴当m＝17时，利润最大，最大利润为w＝﹣5（17﹣16）2+2880＝2875元．
∴按照方案要求，涨价17元时的销售利润最大，最大利润为2875元．
八、（本题满分14分）
23．（14分）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图，抛物线C1与抛物线C2组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1与抛物线C2与x轴有相同的交点M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B且点A的坐标为（0，﹣3），抛物线C2的解析式为y＝mx2+4mx﹣12m，（m＞0）．
（1）请你根据“月牙线”的定义，设计一个开口向下的“月牙线”，直接写出两条抛物线的解析式；
（2）求M，N两点的坐标；
（3）在第三象限内的抛物线C1上是否存在一点P，使得△PAM的面积最大？若存在，求出△PAM的面积的最大值；若不存在，说明理由．

【分析】（1）根据定义，只要两个抛物线与x轴有着相同的交点，且a的值为负即可；
（2）在解析式y＝mx2+4mx﹣12m中，令y＝0即可求出M，N的横坐标，可进一步写出其坐标；
（3）先求出抛物线C1的解析式，再用含t的代数式表示出点P的坐标，进一步用含t的代数式表示出△PAM的面积，即可根据二次函数的图象及性质求出其最大值．
【解答】解：（1）如图1，抛物线y＝﹣x2+2x+3与抛物线y＝﹣x2+x+1所围成的封闭曲线即为开口向下的“月牙线”；

（2）在抛物线C2的解析式y＝mx2+4mx﹣12m中，
当y＝0时，mx2+4mx﹣12m＝0，
∵m≠0，
∴x2+4x﹣12＝0，
解得，x1＝﹣6，x2＝2，
∵点M在点N的左边，
∴M（﹣6，0），N（2，0）；

（3）存在，理由如下：
如图2，连接AM，PO，PM，PA，
∵抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同，
∴可设抛物线C1的解析式y＝nx2+4nx﹣12n（n＞0），
∵抛物线C1与y轴的交点为A（0，﹣3），
∴﹣12n＝﹣3，
∴n＝，
∴抛物线C1的解析式为y＝x2+x﹣3，
∴可设点P的坐标为（t，t2+t﹣3），
∴S△PAM＝S△PMO+S△PAO﹣S△AOM
＝×6×（﹣t2﹣t+3）+×3×（﹣t）﹣×6×3
＝﹣t2﹣t，
＝﹣（t+3）2+，
∵﹣＜0，﹣6＜t＜0，
∴根据二次函数的图象和性质知，当t＝﹣3时，即点P的坐标为（﹣3，﹣）时，△PAM的面积有最大值，最大值为．