高中数学人教B版 (2019)必修 第一册第二章 等式与不等式2.2 不等式2.2.4 均值不等式及其应用复习练习题

第二章  等式与不等式

2.2 不等式

2.2.4 均值不等式及其应用

一、选择题

1．已知，都为正实数，，则的最大值是(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

因为，都为正实数，，

所以，

当且仅当，即时，取最大值.

故选B

2．已知正实数a、b满足a+b=ab，则ab的最小值为（　　）

A．1 B． C．2 D．4

【答案】D

【解析】

∵ab=a+b≥2，≥2，∴ab≥4，当且仅当a=b=2时取等号，故ab的最小值为4，

故选：D．

3．若，则的最小值为（    ）

A．2 B． C．4 D．

【答案】C

【解析】

,当且仅当时取等号，故的最小值为，选C.

4．若正数满足，则的最小值为（    ）

A． B．

C． D．3

【答案】A

【解析】

由题意，因为，

则，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为，故选A.

5．若两个正实数x，y满足，则2x+y的最小值为（    ）

A．9 B．7 C．5 D．3

【答案】A

【解析】

两个正实数满足，

则，

当且仅当，即时取等号，

故的最小值为.

故选A．

6．若正实数满足，则（  ）

A．有最大值

B．有最小值

C．有最小值

D．有最大值

【答案】D

【解析】

对于A，取，则，故A错误；

对于B，取，则，故B错误；

对于C，取，则，故C错误；

对于D，因为，又，故，即，当且仅当时等号成立，故D正确.

7．已知关于、的方程组：（其中、）无解，则必有（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

由方程组得x+b(1-ax)=1,所以方程（1-ab）x=1-b无解.

所以当ab=1,且a,b不同时为1，其中、，

∴，即.

故选:B

8．若正数，满足，则的最小值为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

由得：，即：

，   

当且仅当，即时取等号

本题正确选项：

9．设，，均为正实数，则三个数，，( )

A．都大于2 B．都小于2

C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2

【答案】D

【解析】

假设，，均小于，则 ，

又因为，，，故，

这与 矛盾，

故假设不正确，即，，至少有一个不小于．故选D．

二、填空题

10．若，，，则的最大值为__________．

【答案】

【解析】

因为，，，

所以，

当且仅当时，取等号；

故答案为

11．若，则的最小值为______．

【答案】8

【解析】

因为，所以, 当且仅当时取等号,即的最小值为8.

12．若矩形的长和宽分别为，其对角线的长为5，则该矩形的周长的最大值为______________.

【答案】

【解析】

由已知得，，所以，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以该矩形的周长的最大值为.

故答案为.

13．若，且，则的最小值为_______．

【答案】

【解析】

由a2+2ab﹣3b2＝1得（a+3b）（a﹣b）＝1，

令x＝a+3b，y＝a﹣b，则xy＝1且a，b，

所以a2+b2＝（）2+（）2，

当且仅当x2，y2时取等．

故答案为．

三、解答题

14．已知正实数a，b满足，求的最小值.

【答案】

【解析】

，

当且仅当，即时取等号，

的最小值为.

15．设都是正数，且，求的最小值．

【答案】.

【解析】

∵，∴.

∴

.

当且仅当，即时，取“＝”．

又∵，∴ .

∴的最小值为.

16．已知，求证：.

【答案】证明见解析

【解析】

证明：

，

，

，

上面三式相加，得：

，

所以，.

17．某单位建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为30，房屋正面每平方米造价为1500元，房屋侧面每平方米造价为900元，屋顶造价为5800元，墙高为3米，且不计算背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？

【答案】房屋正面长为6，侧面宽为5时，总造价最低为59800元.

【解析】

令房屋地面的正面长为，侧面宽为，总造价为元，

则，

，

∵，

∴，

当且仅当即时取等号，

答：房屋正面长为6，侧面宽为5时，总造价最低为59800元.

18．已知，．

（1）求的最小值；

（2）是否存在，满足？并说明理由．

【答案】（1）；（2）不存在.

【解析】

（1），

当且仅当时，等号成立．

所以的最小值为2．

（2）不存在．

因为，

所以，又，所以．

从而有，

因此不存在，满足．

19．设a>0，b>0，且证明：

(1)a＋b≥2；

(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】

证明：由，a>0，b>0，得ab＝1.

(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，

即a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．

(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，

则由a2＋a<2及a>0，得0<a<1；

同理，0<b<1，从而ab<1，

这与ab＝1矛盾．

故a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．