初中数学人教版八年级上册15.3 分式方程导学案

这是一份初中数学人教版八年级上册15.3 分式方程导学案，共8页。学案主要包含了分式方程的概念，解分式方程，分式方程的应用，应用题等内容，欢迎下载使用。

1、分式方程的概念
分母中含未知数的方程叫做分式方程．条件：一是方程；二是分母中含未知数
2、.分式方程的解法
(1)解分式方程的基本思路：分式方程eq \(――→,\s\up7(去分母),\s\d5(转化))整式方程．
(2)解分式方程的一般方法和步骤：
①去分母：即在方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程；
②解这个整式方程；
③验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于0的根是原方程的根，使最简公分母等于0的根不是原方程的根，必须舍去．
(3)对分式方程解法的理解：
①解分式方程的基本思想是转化，即把分式方程转化为整式方程，通过解整式方程从而确定分式方程的解；
②将分式方程转化为整式方程时，是将分式方程两边同乘最简公分母，当所乘的整式不为零时，所得整式方程与原分式方程同解；当所乘整式为零时，所求出的未知数的值就不是原分式方程的解，而是方程的增根；
3、分式方程无解型问题
解答分式方程无解型问题的方法是：首先将分式方程转化为整式方程，然后再将分式方程的增根(使分式方程的分母为零的未知数的值)代入整式方程(因为方程若有增根，则增根是通过解整式方程而得到的，故它满足整式方程)，从而求出方程中的参数值．、
4、分式的解的正负情况:先化为整式方程,求整式方程的解
①若解为正;②若解为负
5、分式方程的应用
①审：审清题意；
②找：找出相等关系；
③设：设未知数；
④列：列出方程；
⑤解：解这个分式方程；
⑥验：既要检验根是否是所列分式方程的根，又要检验根是否符合题意；
重点知识讲解
一、分式方程的概念
【例】 下列方程：①eq \f(x－3,5)＝1，②eq \f(3,x)＝2，③eq \f(1＋x,5＋x)＝eq \f(1,2)，④eq \f(x,2)＋eq \f(2,x)＝5.其中是分式方程的有( )．
A．①② B．②③
C．③④ D．②③④
练习：
1、判断下列方程是否是分式方程
(1) (2) (3) (4)
二、解分式方程
[例]解下列方程：
(1)eq \f(7,x2＋x)＋eq \f(3,x2－x)＝eq \f(6,x2－1)； (2)eq \f(x,2x－5)－1＝eq \f(5,5－2x).
[例]若方程有增根,则增根为 .
[例]若关于的方程有增根, 则增根是多少?产生增根的值又是多少?
[例]关于的方程的解大于零, 求的取值范围.
练习：
1、解下列方程
(1) (2)
2、若方程有增根,则增根为 .
3、当m为何值时,解方程会产生增根?
4、已知关于x的方程解为正数,求m的取值范围
三、分式方程的应用
【例】(营销类应用性问题) 某文化用品商店用2 000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6 300元．
(1)求第一批购进书包的单价是多少元？
(2)若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？
【例】A、B两位采购员同去一家饲料公司购买同一种饲料两次，两次饲料的价格有变化，但两位采购员的购货方式不同．其中，采购员A每次购买1000千克，采购员B每次用去800元，而不管购买饲料多少，问选用谁的购货方式合算？
[注] 营销类应用性问题，涉及进货价、售货价、利润率、单价、混合价、赢利、亏损等概念，要结合实际问题对它们表述的意义有所了解，同时，要掌握好基本公式，巧妙建立关系式．
练习：
1、某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料每千克少3元，比乙种原料每千克多1元，问混合后的单价每千克是多少元？
2、某商场销售某种商品，一月份销售了若干件，共获得利润30000元;二月份把这种商品的单价降低了 0.4元，但是销售量比一月份增加了5000件，从而获得利润比一月份多2000元，调价前每件商品的利润为多少元？
【例】(工程类应用性问题) 甲乙两个工程队合作一项工程，两队合作2天后，由乙队单独做1天就完成了全部工程。已知乙队单独做所需天数是甲队单独做所需天数的 倍，问甲乙单独做各需多少天？
【例】甲、乙两个学生分别向计算机输入1500个汉字，乙的速度是甲的3倍，因此比甲少用20分钟完成任务，他们平均每分钟输入汉字多少个？
练习：
1、某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成．现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天？
2、甲乙两人做某种机器零件。已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个
所用的时间相等。求甲、乙每小时各做多少个？
【例】(行程中的应用性问题) 甲、乙两个车站相距96千米，快车和慢车同时从甲站开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车比慢车早40分钟到达乙站，快车和慢车的速度各是多少？
【例】甲、乙两地相距828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早4h到达乙地，求两车的平均速度．
练习：
1、A、B两地相距87千米，甲骑自行车从A地出发向B地驶去，经过30分钟后，乙骑自行车由B地出发，用每小时比甲快4千米的速度向A地驶来，两人在距离B地45千米C处相遇，求甲乙的速度。
2、一队学生去校外参观．他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍．若骑车的速度是队伍行进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？
【例】(轮船顺逆水应用问题) 轮船顺流、逆流各走48千米，共需5小时，如果水流速度是4千米/小时，求轮船在静水中的速度。

练习
轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米／时，求船在静水中的速度。
检测题
一、选择题
1、下列方程中属于分式方程的是（ ）
A. B. C. D.=1
2、方程的解是（ ）
A.x=0 B.x=1 C.x=2 D.x=－2
3、若关于x的方程的解为x=1，则a应取（ ）
A.1 B.3 C.－3 D.－1
4、方程的解的情况是（ ）
A.有正整数解 B.有负整数解C.有负分数解 D.无解
5、化分式方程为整式方程时，方程两边必须同乘（ ）
（A） （B）
（C） （D）
二、填空题
1、方程的解是 ．
2、方程的解是 ．
3、当x= 时，分式与的值相等．
4、若分式的值等于1，则x为 ．
三、解答题（共58分）
解方程：
（1）； （2）．
(3) (4)
四、应用题
1、今年春季我国西南五省持续干旱，旱情牵动着全国人民的心．“一方有难、八方支援”，某厂计划生产1 800吨纯净水支援灾区人民，为尽快把纯净水发往灾区，工人把每天的工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前3天完成了生产任务．求原计划每天生产多少吨纯净水？
2、某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1 000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同。求甲、乙工程队每天各能铺设多少米？