专题01 空间向量与立体几何【知识梳理】-高二数学下学期期末专项复习（新人教A版2019）

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二、空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数x，使a＝xb.
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量c与向量a，b共面的充要条件是，存在唯一的一对实数x，y，使c＝xa＋yb.
(3)空间向量分解定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc.
【例题1】如图，设，若，则=（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
连接，
则，
而，
所以，
故选：A.
【例题2】已知空间任意一点O和不共线三点A,B,C,若=2,则下列结论正确的是( )
A．+2-2
B．=-2+3
C．=2-3
D．=2-2
【答案】D
【详解】
因为=2，
又，
所以,
整理得=2-2.
【跟踪训练1】在三棱锥中，，，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【跟踪训练2】如图，在四面体OABC中，G是的重心，D是OG的中点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【跟踪训练3】在平行六面体中，若，则的值等于（ ）
A．B．C．D．
三、空间向量的数量积及运算律
(1)数量积及相关概念
①两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝eq \f(π,2)，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.
②非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cs〈a，b〉.
(2)空间向量数量积的运算律：
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
【例题1】在棱长为的正方体中，设，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
．
故选B．
【例题2】已知，，，，则与的夹角=( )
A．30°
B．45°
C．60°
D．以上都不对
【答案】D
【详解】
因为，所以，两边平方得：，
即，
所以，选项A，B，C都不满足，D符合要求．
故选：D
【跟踪训练1】如图，已知平行六面体，E，F分别是棱，的中点，记，则（ ）
A．B．
C．D．
【跟踪训练2】已知，，则等于（ ）
A．B．97
C．D．61
【跟踪训练3】在底面是正方形的四棱柱中，，， ，则（ ）
A．B．C．D．2
四、空间向量的坐标表示及其应用
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
【例题1】已知，，则（ ）
A．(2，－4，2)B．(－2，4，－2)
C．(－2，0，－2)D．(2，1，－3)
【答案】B
【详解】
解：.
故选：B
【例题2】已知向量和在基底下的坐标分别为(3，4，5)和(0，2，1)，若＝，则向量在基底下的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
解：因为＝－
所以，所以向量在基底下的坐标是，
故选：A．
【跟踪训练1】已知空间三点，，，若，且，则点的坐标为（ ）
A．B．
C．或D． 或
【跟踪训练2】已知四点，，，，且，则x，y的值分别为（ ）
A．3，1B．4，C．3，-1D．1，1
【跟踪训练3】已知，，则的最小值是（ ）
A．1B．C．D．名称
定义
空间向量
在空间中，具有大小和方向的量
相等向量
方向相同且模相等的向量
相反向量
方向相反且模相等的向量
共线向量
(或平行向量)
如果空间一些向量的基线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量
共面向量
平行于同一个平面的向量
向量表示
坐标表示
加法
a＋b
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)
减法
a－b
(a1－b1，a2－b2，a3－b3)
数量积
a·b
a1b1＋a2b2＋a3b3
共线
a＝λb(b≠0，λ∈R)
a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3
垂直
a·b＝0(a≠0，b≠0)
a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
模
|a|
eq \r(aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋aeq \\al(2,3))
夹角
〈a，b〉(a≠0，b≠0)
cs〈a，b〉＝eq \f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋aeq \\al(2,3))·\r(beq \\al(2,1)＋beq \\al(2,2)＋beq \\al(2,3)))