专题03 圆锥曲线的方程【知识梳理】-高二数学下学期期末专项复习（新人教A版2019）

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专题03 圆锥曲线的方程【知识梳理】一、椭圆1.椭圆的定义平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹（或集合）叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质标准方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝∈(0，1)a，b，c的关系c2＝a2－b2【例题1】已知椭圆的左､右焦点分别是，，直线与椭圆交于，两点，，且，则椭圆的离心率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【详解】由椭圆的对称性，得.设，则.由椭圆的定义，知，即，解得，故，.在中，由余弦定理，得，即，则，故.故选：B.【例题2】椭圆的上､下顶点分别为，右顶点为A，右焦点为F，，则椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：椭圆的上､下顶点分别为，右顶点为A(a，0)，右焦点为F(c，0)，，可得=﹣1，=1，解得e=.故选：C.【变式训练1】已知是椭圆的左，右焦点，点A是椭圆上的一个动点，则的内切圆的半径的最大值是（    ）A．1 B． C． D．【变式训练2】已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（    ）A．13 B．12 C．9 D．6【变式训练3】设为椭圆上一点，点关于原点的对称点为，为椭圆的右焦点，且，若，则该椭圆离心率的取值范围为（    ）．A． B． C． D． 二、双曲线1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)若a<c时，则集合P为双曲线；(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；(3)若a>c时，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图　形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±xy＝±x离心率e＝，e∈(1，＋∞)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长度|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长度|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2＝a2＋b2【例题1】已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，直线与的左支交于点，若，且，则的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【详解】由双曲线的定义可得，∵，∴，即，则的离心率为．故选：D．【例题2】双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切，则双曲线的离心率为（    ）A． B． C．2 D．【答案】C【详解】由双曲线的方程可得右焦点，渐近线的方程为：，由以双曲线的右顶点为圆心，为半径的圆恰好与双曲线的两条渐近线相切可得：，可得，可得，所以双曲线的离心率，故选：C.【变式训练1】如图，､是双曲线：的左､右焦点，过的直线与双曲线交于､两点.若是中点且则该双曲线的渐近线方程为（    ）A． B．C． D．【变式训练2】经过点且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为（    ）A． B． C． D．【变式训练3】已知双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（    ）A． B． C． D． 三、抛物线1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.(2)其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离).2.抛物线的标准方程与几何性质图形标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离性质顶点O(0，0)对称轴y＝0x＝0焦点FFFF离心率e＝1准线方程x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R开口方向向右向左向上向下【例题1】已知是抛物线的焦点， 是该抛物线上的两点， 则线段的中点到轴的距离为（   ）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为是抛物线的焦点，所以，准线方程，设，所以，所以，所以线段的中点横坐标为，所以线段的中点到轴的距离为．【例题2】设抛物线：的焦点为，准线为，为抛物线上一点，以为圆心的圆与准线相切，且过点，则抛物线的方程为（    ）A． B． C． D．或【答案】D【详解】由抛物线的定义知，圆经过焦点，点的横坐标为5，由题意，当，不重合时，是线段垂直平分线上的点，∴，∴，所以抛物线的方程为；当，重合时，∴，∴，所以抛物线的方程为．【变式训练1】已知F为抛物线的焦点，P，Q为抛物线上的两个动点，线段PQ的中点为M，过M作y轴的垂线，垂足为H．若，则的最小值为（    ）A．0 B． C． D． 【变式训练2】过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若的倾斜角为，则线段的中点到轴的距离是（    ）A． B． C． D．【变式训练3】已知抛物线、的焦点都为，的准线方程为，的准线方程为，与相交于M、N两点，则直线MN的方程为（    ）A． B． C． D． 四、圆锥曲线的综合运用1.求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.2.定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y＝kx＋b，然后利用条件建立b，k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点.(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.3.求解范围问题的方法求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围.4.圆锥曲线中常见最值的解题方法(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用均值不等式法、配方法及导数法求解.5.圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝·＝·|y1－y2|＝·【例题1】椭圆的右焦点为，过的直线与椭圆交于、两点，当是的中点时，．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆在点、处的切线交于点，为坐标原点，求证：直线平分线段．附：椭圆上一点处的切线方程为．【详解】解：（1）当是的中点时，轴，当时，，，又，，∴，，∴椭圆的方程为．（2）证明：设，，，则切线方程为：，切线方程为：，∴直线的方程为：，又直线过点，故，即直线方程为，①若，则在轴上，轴，由对称性可知，直线平分线段；②若，设直线方程为，其中，，联立直线与椭圆的方程有，消去并整理可得，，∴，则，设中点为，则，∴，∴，，三点共线，则直线平分线段；综上：直线平分线段．【变式训练1】已知双曲线的焦点为椭圆的长轴端点，且椭圆E的离心率为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设为椭圆的左顶点，直线与椭圆交于两点，直线分别与直线交于两点，求证：【变式训练2】已知抛物线的焦点F到其准线的距离为1.（1）求抛物线C的方程；（2）过F的直线与抛物线C相交于A，B两点，在A，B处分别作C的切线，交点为P.（i）证明：；（ii）若直线FP交C于M，N两点(M在线段FP上)，求四边形面积的最小值.