2022版新高考数学一轮总复习课后集训：36+数列的概念与简单表示法+Word版含解析

课后限时集训(三十六)　

数列的概念与简单表示法

建议用时：40分钟

一、选择题

1．已知数列，，，…，，，则3是这个数列的(　　)

A．第20项 B．第21项

C．第22项 D．第23项

C　[由题意知，数列的通项公式为an＝，令＝3得n＝22，故选C.]

2．(多选)(2020·长沙一模)已知某数列的前4项依次为2,0,2,0，则依此归纳该数列的通项公式可能是(　　)

A．an＝(－1)n－1＋1

B．an＝

C．an＝2sin

D．an＝cos (n－1)π＋1

ABD　[对n＝1,2,3,4进行验证，如an＝2sin 不符合题意，故选ABD.]

3．数列{an}中，an＋1＝2an＋1，a1＝1，则a6＝(　　)

A．32 B．62 

C．63 D．64

C　[数列{an}中，an＋1＝2an＋1，故an＋1＋1＝2(an＋1)，

因为a1＝1，故a1＋1＝2≠0，故an＋1≠0，

所以＝2，所以{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．

所以an＋1＝2n，即an＝2n－1，故a6＝63，故选C.]

4．(2020·柳州模拟)若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝，则a2 020的值为(　　)

A．2 B．－3 

C．－ D．

D　[由题意知，a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2，a6＝＝－3，…，

因此数列{an}是周期为4的周期数列，

∴a2 020＝a505×4＝a4＝.故选D.]

5．(多选)(2020·广东阳江模拟)若数列{an}满足对任意的n∈N*且n≥3，总存在i，j∈N*(i≠j，i<n，j<n)，使得an＝ai＋aj，则称数列{an}是“T数列”．则下列数列是“T数列”的为(　　)

A．{2n} B．{n2}

C．{3n} D．

AD　[令an＝2n，则an＝a1＋an－1(n≥3)，所以数列{2n}是“T数列”；令an＝n2，则a1＝1，a2＝4，a3＝9，因为a3≠a1＋a2，所以数列{n2}不是“T数列”；令an＝3n，则a1＝3，a2＝9，a3＝27，因为a3≠a1＋a2，所以数列{3n}不是“T数列”；令an＝n－1，则an＝n－2＋n－3＝an－1＋an－2(n≥3)，所以数列是“T数列”．故选AD.]

6．(多选)已知数列{an}的通项公式为an＝(n＋2)·n，则下列说法正确的是

(　　)

A．数列{an}的最小项是a1

B．数列{an}的最大项是a4

C．数列{an}的最大项是a5

D．当n≥5时，数列{an}递减

BCD　[假设第n项为{an}的最大项，则即解得4≤n≤5，又n∈N*，所以n＝4或n＝5，故数列{an}中a4与a5均为最大项，且a4＝a5＝.]

二、填空题

7．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－n，则数列{an}的通项公式an＝________.

n－1　[当n＝1时，a1＝S1＝.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－n－＝－1.

又a1＝适合上式，则an＝n－1.]

8．(2020·重庆沙坪坝区期中)大衍数列，来源于我国的《乾坤谱》，是世界数学史上第一道数列题，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．其前11项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60，则大衍数列的第41项为________．

840　[由题意得，大衍数列的奇数项依次为，，，…易知大衍数列的第41项为＝840.]

9．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－10n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝________，数列{nan}中数值最小的项是第________项．

2n－11(n∈N*)　3　[∵Sn＝n2－10n，

∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－11；

当n＝1时，a1＝S1＝－9也适合上式．

∴an＝2n－11(n∈N*)．

记f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，

此函数图象的对称轴为直线n＝，但n∈N*，

∴当n＝3时，f(n)取最小值．

∴数列{nan}中数值最小的项是第3项．]

三、解答题

10．已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.

(1)求a2，a3；

(2)求{an}的通项公式．

[解]　(1)由题意可得a2＝，a3＝.

(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得

2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．

因为{an}的各项都为正数，所以＝.

故{an}是首项为1，公比为的等比数列，

因此an＝.

11．已知数列{an}满足a1＝50，an＋1＝an＋2n(n∈N*)，

(1)求{an}的通项公式；

(2)已知数列{bn}的前n项和为an，若bm＝50，求正整数m的值．

[解]　(1)当n≥2时，

an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1

＝2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2×2＋2×1＋50

＝2×＋50＝n2－n＋50.

又a1＝50＝12－1＋50，

∴{an}的通项公式为an＝n2－n＋50，n∈N*.

(2)b1＝a1＝50，

当n≥2时，

bn＝an－an－1＝n2－n＋50－[(n－1)2－(n－1)＋50]＝2n－2，

即bn＝

当m≥2时，令bm＝50，得2m－2＝50，解得m＝26.

又b1＝50，

∴正整数m的值为1或26.

1．(2020·大同模拟)古希腊毕达哥拉斯学派的“三角形数”是一列点(或圆球)在等距的排列下可以形成正三角形的数，如1,3,6,10,15，…，我国宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中所记载的“垛积术”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的锥垛(如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，…)．若一“落一形”三角锥垛有10层，则该堆垛总共球的个数为(　　)

三角锥垛

A．55 B．220 

C．285 D．385

B　[数列{an}如1,3,6,10,15，…，可得通项公式an＝.

∴Sn＝＋

＝＋.

n＝10时，可得S10＝＋＝220.故选B.]

2．(2020·承德模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，且∀n∈N*，an＋1＞an，Sn≥S6.请写出一个满足条件的数列{an}的通项公式an＝________.

n－6，n∈N*(答案不唯一)　[由∀n∈N*，an＋1＞an可知数列{an}是递增数列，又Sn≥S6，故数列{an}从第7项开始为正．而a6≤0，因此不妨设数列是等差数列，公差为1，a6＝0，所以an＝n－6，n∈N*.(答案不唯一)]