2018-2019学年黑龙江省哈尔滨工大附中九年级（下）开学数学试卷（五四学制）

这是一份2018-2019学年黑龙江省哈尔滨工大附中九年级（下）开学数学试卷（五四学制），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2018-2019学年黑龙江省哈尔滨工大附中九年级（下）开学数学试卷（五四学制）
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）哈市4月份某天的最高气温是6℃，最低气温是﹣2℃，那么这天的温差（最高气温减最低气温）是（　　）
A．﹣2℃ B．8℃ C．﹣8℃ D．4℃
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．6a﹣5a＝1 B．（a2）3＝a5
C．3a2+2a3＝5a5 D．a6•a2＝a8
3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）若双曲线y＝的图象的一支经过第四象限，则k的取值范围是（　　）
A．k＜1 B．k＞1 C．0＜k＜1 D．k≤1
5．（3分）如图所示的两个几何体是由六个大小相同的小正方体组合而成的，则它们三视图中完全一致的是（　　）

A．主视图 B．俯视图 C．左视图 D．三视图
6．（3分）一块面积为900平方米的矩形绿地，长比宽多10米，设绿地的长为x米，可列方程为（　　）
A．x（x﹣10）＝900 B．x（x+10）＝900
C．10（x+10）＝900 D．2[x+（x+10）]＝900
7．（3分）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m（　　）

A． m B．4 m C．4 m D．8 m
8．（3分）如图，在△ABC中，点D为AB上一点，过点E作AB的平行线交BC于点F，则下列说法不正确的是（　　）

A． B． C． D．
9．（3分）如图，△ABC和△EDC都是等边三角形，连接AE、BE，∠CAE＝20°，则∠BCD的度数是（　　）

A．25° B．20° C．15° D．10°
10．（3分）函数y＝kx2﹣2x+c与y＝（k是不为0的常数）在同一个坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（3分）将885000000用科学记数法表示为　 　
12．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　 　．
13．（3分）计算：﹣3＝　 　．
14．（3分）因式分解：4ax2+16axy+16ay2＝　 　．
15．（3分）不等式组的最大整数解是　 　．
16．（3分）若一个正六边形的半径长为4cm，则这个正六边形的边心距的长为　 　．
17．（3分）在一个不透明的口袋中装有大小相同的5个球，其中有3个黄球，2个红球，无放回地抽取两次，若第一次抽到了黄球　 　．
18．（3分）如图，AB是半⊙O的直径，点C、D均在半⊙O上，若BC＝3DE，则的值为　 　．

19．（3分）已知：CO为等腰直角三角形ABC斜边AB上的高，点M在射线AC上，点N在边BC上，MN＝5，CM＝3　 　．
20．（3分）如图，△ABC中，∠BCA＝90°，∠BED＝90°，EB＝ED，若BC＝3，则△ABE的面积为　 　．

三、解答题（其中21、22题各7分，23、24题各8分，25、26、27题各10分，共60分）
21．（7分）先化简，再求代数式÷﹣的值
22．（7分）如图，在每个小正方形的边长为1的方格纸中有线段AB和CD，其中点A、B、C、D均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出锐角三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，且△ABE的面积为10；
（2）在方格纸中画出等腰三角形CDF，点F在小正方形的顶点上，且△CDF的面积为10；
（3）在（1）（2）条件下，连接EF

23．（8分）为了了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随即抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计
（1）本次抽测的男生有多少人？请你将条形统计图补充完整；
（2）本次抽测成绩的众数是　 　；
（3）若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，则该校350名九年级男生中

24．（8分）如图，在矩形ABCD中，把矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG，连接BG交CE于点H
（1）如图1，求证：AE+CH＝EH：
（2）如图2，连接FH，若FH平分∠EFG

25．（10分）华昌中学开学初在金利源商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？
（2）华昌中学响应习总书记“足球进校园”的号召，决定两次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢金利源商场对两种品牌足球的售价进行调整，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3260元
26．（10分）如图，AB、AC为⊙O的两条弦，AB＝AC，连接OB、BD，OB交CD于点G．
（1）如图1，求证：∠CGO＝∠ACD+∠OBA；
（2）如图2，点E在弧AC上，连接AE，连接EF，求证：BD＝EF；
（3）如图3，在（2）的条件下，DC的延长线交AE的延长线于点H，∠FBO＝∠DAE，BH＝3，求AC的长．

27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点x+n﹣6与x轴交于点A、与y轴交于点B，直线y＝﹣x+n与x轴交于点C（点C在点A左侧），直线CD交AB于点E．
（1）如图1，求点A的坐标；
（2）如图2，F为OD的中点，连接EF，求S的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点O作OP⊥AB于点P，连接BQ，点R在坐标轴上，QE平分∠BQR，当OQ2＝5S时，求点R的坐标．


2018-2019学年黑龙江省哈尔滨工大附中九年级（下）开学数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）哈市4月份某天的最高气温是6℃，最低气温是﹣2℃，那么这天的温差（最高气温减最低气温）是（　　）
A．﹣2℃ B．8℃ C．﹣8℃ D．4℃
【分析】根据有理数的减法运算法则，减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．
【解答】解：6﹣（﹣2）
＝6+2
＝8℃．
故选：B．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A．6a﹣5a＝1 B．（a2）3＝a5
C．3a2+2a3＝5a5 D．a6•a2＝a8
【分析】结合幂的乘方与积的乘方的概念和运算法则进行求解即可．
【解答】解：A、6a﹣5a＝a≠2；
B、（a2）3＝a2≠a5，本选项错误；
C、3a2+2a3≠3a5，本选项错误；
D、a6•a3＝a8，本选项正确．
故选：D．
3．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项正确；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：A．
4．（3分）若双曲线y＝的图象的一支经过第四象限，则k的取值范围是（　　）
A．k＜1 B．k＞1 C．0＜k＜1 D．k≤1
【分析】直接根据反比例函数的性质直接回答即可．
【解答】解：∵双曲线y＝的图象的一支经过第四象限，
∴k﹣1＜4，
解得k＜1．
故选：A．
5．（3分）如图所示的两个几何体是由六个大小相同的小正方体组合而成的，则它们三视图中完全一致的是（　　）

A．主视图 B．俯视图 C．左视图 D．三视图
【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形进行判断即可．
【解答】解：从正面可看到甲从左往右三列小正方形的个数为：1，2，3，乙从左往右2列小正方形的个数为：2，7，1；
从左面可看到甲从左往右2列小正方形的个数为：6，2，1，乙从左往右4列小正方形的个数为：1，2，3；
从上面可看到甲从左往右三列小正方形的个数为：2，1，8，乙从左往右2列小正方形的个数为：2，2，1；
故选：C．
6．（3分）一块面积为900平方米的矩形绿地，长比宽多10米，设绿地的长为x米，可列方程为（　　）
A．x（x﹣10）＝900 B．x（x+10）＝900
C．10（x+10）＝900 D．2[x+（x+10）]＝900
【分析】设绿地的长为x米，则宽为（x﹣10）米，根据矩形的面积公式结合矩形的面积为900平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设绿地的长为x米，则宽为（x﹣10）米，
根据矩形的面积公式，得：x（x﹣10）＝900．
故选：A．
7．（3分）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC＝150°，BC的长是8m（　　）

A． m B．4 m C．4 m D．8 m
【分析】过C作CM⊥AB于M，求出∠CBM＝30°，根据含30度的直角三角形性质求出CM即可．
【解答】解：
过C作CM⊥AB于M
则CM＝h，∠CMB＝90°，
∵∠ABC＝150°，
∴∠CBM＝30°，
∴h＝CM＝BC＝4m，
故选：B．
8．（3分）如图，在△ABC中，点D为AB上一点，过点E作AB的平行线交BC于点F，则下列说法不正确的是（　　）

A． B． C． D．
【分析】由平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵DE∥BC，EF∥BA，
∴，△ADE∽△ABC，
∴，
∴DE＝BF，，
∴，
∴选项A、B、D正确；
故选：C．
9．（3分）如图，△ABC和△EDC都是等边三角形，连接AE、BE，∠CAE＝20°，则∠BCD的度数是（　　）

A．25° B．20° C．15° D．10°
【分析】如图，连接BD．证明△BCD≌△ACE（SAS），推出∠BDC＝∠AEC，证明△BDE≌△BDC（SSS），推出∠BDE＝∠BDC＝（360°﹣60°）＝150°，即可解决问题．
【解答】解：如图，连接BD．

∵△ABC，△DEC都是等边三角形，
∴CB＝CA，CD＝CE，
∴∠BCD＝∠ACE，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠BDC＝∠AEC，
∵BE＝AB＝BC，DE＝DC，
∴△BDE≌△BDC（SSS），
∴∠BDE＝∠BDC＝（360°﹣60°）＝150°，
∴∠AEC＝150°，
∴∠ACE＝180°﹣150°﹣20°＝10°，
∠BCD＝10°，
故选：D．
10．（3分）函数y＝kx2﹣2x+c与y＝（k是不为0的常数）在同一个坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数、反比例函数的性质，分k＞0和k＜0两种情况讨论，二者统一者即为正确答案．
【解答】解：当k＞0时，抛物线y＝kx2﹣2x+c开口向上，对称轴x＝﹣，双曲线y＝、三象限，D选项正确；
当k＜8时，抛物线y＝kx2﹣2x+c开口向下，对称轴x＝﹣，双曲线y＝、四象限，C选项错误；
故选：D．
二、填空题（每题3分，共30分）
11．（3分）将885000000用科学记数法表示为　8.85×108　
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将885000000用科学记数法表示为8.85×108．
故答案为：5.85×108．
12．（3分）在函数y＝中，自变量x的取值范围是　x≥1　．
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以x﹣1≥0，解不等式可求x的范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得：x≥8．
故答案为：x≥1．
13．（3分）计算：﹣3＝　2　．
【分析】直接化简二次根式，进而合并求出答案．
【解答】解：原式＝3﹣8×．
故答案为：2．
14．（3分）因式分解：4ax2+16axy+16ay2＝　4a（x+2y）2　．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝4a（x2+8xy+4y2）＝7a（x+2y）2，
故答案为：4a（x+2y）2
15．（3分）不等式组的最大整数解是　3　．
【分析】根据不等式的性质求出不等式的解集，根据找不等式组解集的规律找出即可．
【解答】解：
由①得：x＜2，
由②得：x≥3，
∴不等式组的解集是3≤x＜4，
∴不等式组的最大整数解是3．
16．（3分）若一个正六边形的半径长为4cm，则这个正六边形的边心距的长为　2cm　．
【分析】根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决．
【解答】解：如图，连接OA；过点O作OG⊥AB于点G．
在Rt△AOG中，
∵OA＝2cm，∠AOG＝30°，
∴OG＝OA•cos 30°＝4×．
故答案为：2．

17．（3分）在一个不透明的口袋中装有大小相同的5个球，其中有3个黄球，2个红球，无放回地抽取两次，若第一次抽到了黄球　　．
【分析】在第一次抽到黄球的条件下确定两种球的个数，然后利用概率公式求解即可．
【解答】解：∵第一次抽到黄球且不放回，
∴袋子中还有2黄2红，
∴第二次抽到黄球的概率为＝．
故答案为．
18．（3分）如图，AB是半⊙O的直径，点C、D均在半⊙O上，若BC＝3DE，则的值为　4　．

【分析】根据垂径定理得到AE＝EC，根据三角形中位线定理得到OE＝BC，根据勾股定理求出AE，计算即可．
【解答】解：设BC＝6a，则DE＝2a，
∵OD⊥AC，
∴AE＝EC，又AO＝OB，
∴OE＝BC＝3a，
∴OD＝4a+3a＝5a，
在Rt△AOE中，AE＝，
∴AC＝8a，
则＝＝4，
故答案为：6．
19．（3分）已知：CO为等腰直角三角形ABC斜边AB上的高，点M在射线AC上，点N在边BC上，MN＝5，CM＝3　2或8　．
【分析】当点M在线段AC上时，在BC上截取BF＝CM＝3，由等腰直角三角形的性质可得∠ACO＝∠BCO＝∠A＝∠B＝45°，AO＝CO＝BO，CO⊥BO，由“SAS”可证△CMO≌△BFO，可得MO＝FO，∠COM＝∠FOB，由“SAS”可证△MON≌△FON，可得MN＝NF，即可求BN的长；
当点M在线段AC的延长线时，在CB的延长线上截取BF＝CM＝3，由“SAS”可证△CMO≌△BFO，可得MO＝FO，∠COM＝∠FOB，由“SAS”可证△MON≌△FON，可得MN＝NF，即可求BN的长；
【解答】解：如图，当点M在线段AC上时，

∵AC＝BC，∠ACB＝90°
∴∠ACO＝∠BCO＝∠A＝∠B＝45°，AO＝CO＝BO
∵∠ACO＝∠B，BO＝CO
∴△CMO≌△BFO（SAS）
∴MO＝FO，∠COM＝∠FOB
∵∠FOB+∠COF＝90°
∴∠COM+∠COF＝90°，且∠MON＝45°
∴∠MON＝∠FON＝45°，且MO＝FO
∴△MON≌△FON（SAS）
∴FN＝MN＝5
∴BN＝BF+NF＝8，
如图，当点M在线段AC的延长线时，

∵∠ACO＝∠ABC＝45°
∴∠OCM＝∠OBF，且CO＝BO
∴△COM≌△BOF（SAS）
∴OM＝OF，∠COM＝∠BOF，
∵∠MON＝45°
∴∠COM+∠BON＝45°
∴∠BOF+∠BON＝45°
∴∠FON＝45°＝∠MON，且ON＝ON
∴△MON≌△FON（SAS）
∴MN＝NF＝6
∴BN＝NF﹣BF＝2
故答案为：2或8
20．（3分）如图，△ABC中，∠BCA＝90°，∠BED＝90°，EB＝ED，若BC＝3，则△ABE的面积为　　．

【分析】作EF⊥AB于点F，根据等腰直角三角形的性质得到EF＝BD，根据射影定理得到BD•AB＝BC2＝18，根据三角形的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：作EF⊥AB于点F，
∵∠BED＝90°，EB＝ED，
∴EF＝BD，
∵∠BCA＝90°，CD⊥AB，
∴BD•AB＝BC7＝18，
∴△ABE的面积＝•AB•EF＝BD＝，
故答案为：．

三、解答题（其中21、22题各7分，23、24题各8分，25、26、27题各10分，共60分）
21．（7分）先化简，再求代数式÷﹣的值
【分析】先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
【解答】解：÷﹣
＝×﹣
＝﹣
＝，
当x＝8﹣2sin45°＝2﹣6×＝2﹣时，
原式＝＝＝．
22．（7分）如图，在每个小正方形的边长为1的方格纸中有线段AB和CD，其中点A、B、C、D均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出锐角三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，且△ABE的面积为10；
（2）在方格纸中画出等腰三角形CDF，点F在小正方形的顶点上，且△CDF的面积为10；
（3）在（1）（2）条件下，连接EF

【分析】（1）利用勾股定理可得AB＝5，再画BE＝5，并且使BE上的高为4即可；
（2）首先画DF＝4，并且使BF上的高为5，再连接FD即可；
（3）根据网格可直接得到答案．
【解答】解：（1）如图所示：

（2）如图所示：

（3）EF＝4．

23．（8分）为了了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随即抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计
（1）本次抽测的男生有多少人？请你将条形统计图补充完整；
（2）本次抽测成绩的众数是　5　；
（3）若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，则该校350名九年级男生中

【分析】（1）根据抽测7次的人数除以7次的人数所占的比例，可得抽测的人数；根据有理数的减法，可得5次成绩的人数；
（2）根据众数的定义，可得答案；
（3）根据总人数乘以达标人数所占的百分比，可得答案．
【解答】解：（1）本次抽测的男生有6÷12%＝50（人），
引体向上测试成绩为5次的是：50﹣2﹣10﹣14﹣6＝16人．
条形图补充如图：


（2）抽测的成绩中，5出现了16次，所以众数是2．
故答案为5；


（3）350×＝252人．
答：该校350名九年级男生中，有252人体能达标．
24．（8分）如图，在矩形ABCD中，把矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG，连接BG交CE于点H
（1）如图1，求证：AE+CH＝EH：
（2）如图2，连接FH，若FH平分∠EFG

【分析】（1）过B作BM⊥CE于M，根据旋转的性质得到CE＝BC，求得∠CEB＝∠CBE，根据全等三角形的性质得到BM＝CG，HM＝CH，于是得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到BH＝GH，求得BG＝2BH，BG＝2GH，根据线段的和差得到DE＝2CH，根据已知条件得到△EFH是等腰直角三角形，求得EF＝EH，设AE＝x，CH＝y，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：（1）过B作BM⊥CE于M，
∴∠A＝∠BME＝90°，
∵把矩形ABCD绕点C旋转得到矩形FECG，
∴CE＝BC，
∴∠CEB＝∠CBE，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∴∠AEB＝∠BEM，
在△ABE与△MBE中，
∴△ABE≌△MBE（AAS），
∴AE＝EM，AB＝BM，
∴BM＝CG，
在△BMH与△GCH中，
∴△BMH≌△GCH（AAS），
∴HM＝CH，
∵EH＝EM+HM，
∴AE+CH＝EH；
（2）满足2倍关系的两条线段有4对，
由证得△BMH≌△GCH，
∴BH＝GH，
∴BG＝2BH，BG＝2GH，
∵AD＝AE+DE＝CE＝CH+EH＝CH+CH+AE＝2CH+AE，
∴DE＝6CH，
∵FH平分∠EFG，
∴∠EFH＝45°，
∴△EFH是等腰直角三角形，
∴EF＝EH，
∴EH＝AB＝CD，
设AE＝x，CH＝y，
∴DE＝2y，CD＝x+y，
∵DE2+CD3＝CE2，
∴（2y）3+（x+y）2＝（x+2y）7，
解得：y＝2x，
∴CH＝2AE．

25．（10分）华昌中学开学初在金利源商场购进A、B两种品牌的足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元？
（2）华昌中学响应习总书记“足球进校园”的号召，决定两次购进A、B两种品牌足球共50个，恰逢金利源商场对两种品牌足球的售价进行调整，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果这所中学此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3260元
【分析】（1）设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需（x+30）元，根据购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍列出方程解答即可；
（2）设此次可购买a个B品牌足球，则购进A牌足球（50﹣a）个，根据购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3260元，列出不等式解决问题．
【解答】解：（1）设一个A品牌的足球需x元，则一个B品牌的足球需（x+30）元
＝×2
解得：x＝50
经检验x＝50是原方程的解，
x+30＝80
答：一个A品牌的足球需50元，则一个B品牌的足球需80元．
（2）设此次可购买a个B品牌足球，则购进A牌足球（50﹣a）个
50×（1+2%）（50﹣a）+80×0.9a≤3260
解得a≤31
∵a是整数，
∴a最大等于31，
答：华昌中学此次最多可购买31个B品牌足球．
26．（10分）如图，AB、AC为⊙O的两条弦，AB＝AC，连接OB、BD，OB交CD于点G．
（1）如图1，求证：∠CGO＝∠ACD+∠OBA；
（2）如图2，点E在弧AC上，连接AE，连接EF，求证：BD＝EF；
（3）如图3，在（2）的条件下，DC的延长线交AE的延长线于点H，∠FBO＝∠DAE，BH＝3，求AC的长．

【分析】（1）连接OA，OC，BC，由AB＝AC，CD垂直AB推导出∠BCD+∠ABC＝90°，再由AT垂直BC得到∠OAC+∠ABC＝90°，通过等量代换得到∠CGO＝∠ACD+∠OBA；
（2）由BF垂直AE，CD垂直AB，得到∠EBF+∠BEA＝90°和∠BAD+∠ADC＝90°，再由AB＝AC推导出弧EF＝弧BD，最后得到EF＝BD；
（3）过点A作AQ垂直AH交BD的延长线于点Q，延长AH交BD延长线于点P，连接AO，AF，设∠OBA＝α，∠CAH＝β，HN＝x，得到∠QDA＝HAD，再在直角三角形BHN中，由勾股定理可以得到，求出HN＝3，BN＝6，最后得到AC＝．
【解答】解：（1）连接OA、OC，
∵AB＝AC，OB＝OC，
∴△OAB≌△OAC（SSS），
∴∠OAB＝∠OAC，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠BAC＝2∠OBA，
∵CD⊥AB，
∴∠AKC＝∠BKC＝90°，
∴∠ACD+∠BAC＝90°，∠OBA+∠BGK＝90°，
∴∠ACD+2∠OBA＝∠OBA+∠BGK，
∴∠ACD+∠OBA＝∠BGK，
∵∠BGK＝∠CGO，
∴∠CGO＝∠ACD+∠OBA；

（2）连接AO，延长AO交⊙O于点Q、QE，
∵AQ为⊙O的直径，
∴∠AEQ＝∠ABQ＝90°，
∵AE⊥BF，AB⊥CD，
∴QE∥BF，QB∥CD，
∴，，
由（1）知∠BAO＝∠CAO，
∴，
∴，
∴BD＝EF；

（3）过点A作AQ垂直AH交BD的延长线于点Q，延长AH交BD延长线于点P，AF，
设∠OBA＝α，∠CAH＝β，
∵BO＝AO，
∴∠OBA＝∠OAB＝α，
∵AB＝AC，AO为半径，
∴∠BAO＝∠CAO＝α，
∴∠BAC＝4α，∠BDH＝2α，
∵∠NBO＝90°﹣∠OBA﹣∠BAN，
∴∠NBO＝90°﹣3α﹣β，
∵∠BOA＝180°﹣7α，
∴∠BFA＝∠BOA＝，
∴∠BDA＝180°﹣BFA＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α，
又∵∠BDA＝∠BDH+∠HAD＝2α+∠HAD，
∴∠QDA＝90°﹣α，
∴∠QDA＝HAD，
又∵AB垂直CD，
∴∠DAB＝α，
又∵∠FBO＝∠DAE，
∴90°﹣4α﹣β＝3α+β，
即3α+β＝45°，
∴∠DAQ＝∠DAE＝45°，
∴△DHA≅△DQA（ASA），
∴QA＝HA＝x+7
在三角形PDA中，∠DPA+∠PDA+∠PAD＝180°，
∴∠DPA＝90°﹣4α﹣β，
又∵90°＝6α+4β，
∴∠DPA＝2α+β，
∴∠DPA＝∠BAE，
∴BP＝AB，
∴PN＝AN，
∴BN＝AQ＝，
在直角三角形BHN中，BH4＝HN2+BN2，
即，
解得：，
∴HN＝3，BN＝2，
∴AB＝，
又∵AC＝AB，
∴AC＝．

27．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点x+n﹣6与x轴交于点A、与y轴交于点B，直线y＝﹣x+n与x轴交于点C（点C在点A左侧），直线CD交AB于点E．
（1）如图1，求点A的坐标；
（2）如图2，F为OD的中点，连接EF，求S的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，过点O作OP⊥AB于点P，连接BQ，点R在坐标轴上，QE平分∠BQR，当OQ2＝5S时，求点R的坐标．

【分析】（1）由y＝x+n﹣6＝0可求出A点坐标；
（2）由两条直线解析式可解得点E的坐标，求出点F、点B的坐标，可表示BF的长，则利用三角形的面积公式计算△BEF的面积即可；
（3）根据直线PO⊥AB于P，可得直线OQ解析式为，构建方程组可求出点Q的坐标为（﹣3，6），当QE平分∠BQR时，如图，在y轴上有R1，在x轴上有R2，可得，则求出点R1的坐标，直线QR1与x轴的交点即为R2．
【解答】解：（1）∵直线y＝x+n﹣3与x轴交于点A，
令y＝0，则x+n﹣6＝0，x＝2，
∴点A的坐标为（6，0）；
（2）∵直线y＝x+n﹣6与直线y＝﹣x+n交于点E，
∴，解得，
∴点E的横坐标为，
∵直线y＝﹣x+n与与y轴交于点D，
∴D（0，n），
∵F为OD的中点，
∴OF＝DF＝，
∵BO＝6﹣n，
∴，
∴＝9．
（3）如图，作∠EQR3＝∠BQE，并延长交y轴于R1，交x轴于R2，

∵直线PO⊥AB于P，
∴直线OQ解析式为，
∴，
解得：，
∴Q（n﹣7，6），
∵OQ2＝6S＝45，
∴（n﹣6）2+72＝45，
解得：n1＝4，n2＝9（舍去），
∴Q（﹣4，6），﹣3），2），
设R1（0，a），
∴QB＝，BD＝61＝a﹣2，QR1＝，
∵QE平分∠BQR，
∴，
∴，
整理得：a2﹣2a﹣15＝0，解得：a1＝3，a2＝﹣3（舍去），
∴R6（0，5），
设直线QR8的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得：．
∴直线QR1的解析式为，
令y＝0，解得x＝15，
∴R3（15，0），
综合以上得R点的坐标为R1（8，5），R2（15，4）．