2018_2019学年哈尔滨市松北区九上期末数学试卷

这是一份2018_2019学年哈尔滨市松北区九上期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列各实数中，是有理数的是
A. πB. 2C. 34D. 0.3

2. 下列运算正确的是
A. a⋅a2=a3B. 3a+2a2=5a2C. 2−3=−8D. 9=±3

3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

4. 对于双曲线 y=1−mx，当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小，则 m 的取值范围为
A. m>0B. m>1C. m<0D. m<1

5. 如图，该几何体由 6 个相同的小立方体无缝隙地搭成，在它的三视图中，面积相等的视图是
A. 主视图与俯视图B. 主视图与左视图
C. 俯视图与左视图D. 主视图、主视图、俯视图

6. 有一坡角为 20∘ 的滑雪道，滑雪道长为 100 米，坡顶到坡底的竖直高度为 米．
A. 100cs20∘B. 100sin20∘C. 100cs20∘D. 100sin20∘

7. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在 AD 边上，EF∥CD，交对角线 BD 于点 F，则下列结论中错误的是
A. DEAE=DFBFB. EFAB=DFDBC. EFCD=DFBFD. EFCD=DFDB

8. 某商店购进甲、乙两种商品共 160 件，甲每件进价为 15 元，售价为 20 元；乙每件进价为 35 元，售价为 45 元；售完这批商品利润为 1100 元，则购进甲商品 x 件满足方程
A. 30x+15160−x=1100B. 5160−x+10x=1100
C. 20x+25160−x=1100D. 5x+10160−x=1100

9. 如图，在 △ABC 中，∠ABC=90∘，∠A=30∘，将 △ABC 绕点 B 顺时针旋转得到 △AʹBCʹ，连接 CCʹ，若点 C 在边 AʹB 上，则 ∠AʹCʹC 的度数为
A. 10∘B. 15∘C. 20∘D. 25∘

10. 明君社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积 S（单位：m2）与工作时间 t（单位：h）之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是

A. 300 m2B. 150 m2C. 330 m2D. 450 m2

二、填空题（共10小题；共50分）
11. 哈尔滨地铁 2 号线总投资约 2000000000 元，这个数用科学记数法可表示为 ．

12. 函数 y=x−1x−2 中自变量 x 的取值范围是 ．

13. 计算：23×6=

14. 把 a−ab2 因式分解的结果是 ．

15. 圆心角为 120∘，弧长为 12π 的扇形半径为 ．

16. 不等式组 3−3x≥1,x+5>4 的解集是 ．

17. 4 张完全相同的卡片上，分别画上圆、矩形、等边三角形、等腰三角形．现从中随机抽取 2 张，全部是中心对称图形的概率是 ．

18. 点 P 在边长为 4 的正方形 ABCD 的边上，AP=5，则 △ADP 的面积是 ．

19. 如图，直线 y=−x+3 交 y 轴于点 A，交 x 轴于点 B，抛物线 y=−x2+bx+c 经过点 A 和点 B，与 x 轴的另一个交点为点 C．点 P 为抛物线上直线 AB 上方部分上的一点，过点 P 作 y 轴的平行线交 AB 于点 E，且点 P 的横坐标为 t，若 PE 的长为 d，求 d 关于 t 的函数关系式是 ．

20. 在 △ABC 中，AB=AC，BD⊥AC 于点 D，BE 平分 ∠ABD 交 AC 于点 E，sinA=35，BC=210．则 AE= ．

三、解答题（共8小题；共104分）
21. 先化简，再求值：x+1x÷x−x2+12x，其中 x=2sin60∘+2cs60∘．

22. 图 1 、图 2 均为 8×6 的方格纸（每个小正方形的边长均为 1），在方格纸中各有一条线段 AB，其中点 A，B 均在小正方形的顶点上，请按要求画图：
（1）在图 1 中画一直角 △ABC，使得 tan∠BAC=12，点 C 在小正方形的顶点上；
（2）在图 2 中画一个平行四边形 ABEF，使得平行四边形 ABEF 的面积为图 1 中 △ABC 面积的 4 倍，点 E，F 在小正方形的顶点上．

23. 为评估九年级学生的学习成绩状况，以应对即将到来的中考做好教学调整，某中学抽取了部分参加考试的学生的成绩，绘制成了如图两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了多少名学生?
（2）通过计算补全条形统计图；
（3）该校九年级共有 1000 名学生参加了这次考试，请估算该校九年级共有多少名学生的学习成绩达到优秀．

24. 如图，AD 是 △ABC 的中线，AE∥BC，BE 交 AD 于点 F，交 AC 于点 G，F 是 AD 的中点．
（1）求证：四边形 ADCE 是平行四边形；
（2）若 EB 是 ∠AEC 的平分线，请写出图中所有与 AE 相等的边．

25. 我市城市绿化工程招标，有甲、乙两个工程队投标，经测算：甲队单独完成这项工程需要 60 天，若甲队先做 20 天，再由甲、乙合作 12 天，共完成总工作量的三分之二．
（1）乙队单独完成这项工程需要多少天?
（2）甲队施工 1 天需付工程款 3.5 万元，乙队施工一天需付工程款 2 万元，该工程由甲乙两队合作若干天后，再由乙队完成剩余工作，若要求完成此项工程的工程款不超过 186 万元，求甲、乙两队最多合作多少天?

26. 如图，在 ⊙O 中，弦 AB，CD 互相垂直，垂足为 E，点 M 在 CD 上，连接 AM 并延长交 BC 于点 F，交圆上于点 G，连接 AD，AD=AM．
（1）如图 1，求证：AG⊥BC；
（2）如图 2，连接 EF，DG，求证：EF∥DG；
（3）如图 3，在（2）的条件下，连接 BG，若 ∠ABG=2∠BAG，EF=15，AB=32，求 BG 长．

27. 已知：如图 1，在平面直角坐标 xOy 中，边长为 2 的等边 △OAB 的顶点 B 在第一象限，顶点 A 在 x 轴的正半轴上．另一等腰 △OCA 的顶点 C 在第四象限，OC=AC，∠C=120∘．现有两动点 P，Q 分别从 A，O 两点同时出发，点 Q 以每秒 1 个单位的速度沿 OC 向点 C 运动，点 P 以每秒 3 个单位的速度沿 A→O→B 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止．
（1）求在运动过程中形成的 △OPQ 的面积 S 与运动的时间 t（秒）之间的函数关系，并写出自变量 t 的取值范围；
（2）在等边 △OAB 的边上（点 A 除外）存在点 D，使得 △OCD 为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点 D 的坐标；
（3）如图 2，现有 ∠MCN=60∘，其两边分别与 OB，AB 交于点 M，N，连接 MN．将 ∠MCN 绕着 C 点旋转（0∘<旋转角<60∘），使得点 M，N 始终在边 OB 和边 AB 上．试判断在这一过程中，△BMN 的周长是否发生变化?若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．

28. 如图，直线 y=−x+3 交 y 轴于点 A，交 x 轴于点 B，抛物线 y=−x2+bx+c 经过点 A 和点 B，点 P 为抛物线上直线 AB 上方部分上的一点，且点 P 的横坐标为 t，过 P 作 PE∥x 轴交直线 AB 于点 E，作 PH⊥x 轴于点 H，PH 交直线 AB 于点 F．
（1）求抛物线解析式；
（2）若 PE 的长为 m，求 m 关于 t 的函数关系式；
（3）是否存在这样的 t 值，使得 ∠FOH−∠BEH=45∘?若存在，求出 t 值，并求 tan∠BEH 的值，若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. D【解析】A、 π 是无理数，故A错误；
B、 2 是无理数，故B错误；
C、 34 是无理数，故C错误；
D、 0.3 是有理数，故D正确．
2. A【解析】A、 a⋅a2=a3，故此选项正确；
B、 3a+2a2 无法计算，故此选项错误；
C、 2−3=18，故此选项错误；
D、 9=3，故此选项错误．
3. C【解析】第一个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，最后三个图形既是轴对称图形又是中心对称图形．
4. D【解析】∵ 双曲线 y=1−mx，当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小，
∴1−m>0，解得：m<1．
5. A
【解析】该几何体的三视图为：
可得出主视图与俯视图的面积相等．
6. D【解析】∵sinC=ABAC，
∴AB=AC⋅sinC=100sin20∘（米）．
7. C【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵EF∥CD，
∴EF∥AB，
∴DEAE=DFBF，
∴△DEF∽△DAB，
∴EFAB=DFDB，
∵AB=CD，
∴EFCD=DFDB，
∴ 选项A，B，D正确；选项C错误．
8. D【解析】设购进甲商品 x 件，由题意得：5x+10160−x=1100．
9. B【解析】∵∠ABC=90∘，∠A=30∘，
∴∠ACB=60∘，
由旋转的性质可得，∠AʹCʹB=60∘，BC=BCʹ，
∴∠BCCʹ=∠BCʹC=45∘，
∴∠AʹCʹC=60∘−45∘=15∘．
10. B
【解析】如图，
设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，则 4k+b=1200,5k+b=1650.
解得 k=450,b=−600.
故直线 AB 的解析式为 y=450x−600，
当 x=2 时，y=450×2−600=300，
300÷2=150 m2．
答：该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是 150 m2．
第二部分
11. 2×109
【解析】将 2000000000 用科学记数法表示为：2×109．
12. x≠2
【解析】由题意得，x−2≠0，
解得 x≠2．
13. 2
【解析】原式=23×6=4=2．
14. a1+b1−b
【解析】原式=a1−b2=a1+b1−b.
15. 18
【解析】设该扇形的半径是 r．
根据弧长的公式 l=nπr180，得到：12π=120πr180，
解得 r=18．
16. −1【解析】3−3x≥1, ⋯⋯①x+5>4. ⋯⋯②
由 ① 得，x≤23，
由 ② 得，x>−1，
∴ 不等式组的解集为 −117. 16
18. 6 或 8
【解析】点 P 的位置分两种情况（如图所示）：
①如图 1，当点 P 在 BC 上时，
∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴∠B=90∘，
∵AB=4，AP=5，
∴BP=3，CP=1，
∴S△ADP=S正方形ABCD−S△ABP−S△DCP=4×4−12×3×4−12×1×4=8;
②如图 2，当点 P 在 CD 上时，
∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴∠D=90∘，
∵AD=4，AP=5，
∴DP=3，
∴S△ADP=12×3×4=6．
19. d=−t2+3t
【解析】在直线 y=−x+3 中，令 x=0 可得 y=3，令 y=0 可得 x=3，
∴A0,3，B3,0，
∵ 抛物线 y=−x2+bx+c 过 A，B 两点，
∴ 把 A，B 两点的坐标代入可得 c=3,−9+3b+c=0,
解得 b=2,c=3,
∴ 抛物线解析式为 y=−x2+2x+3；
∵P 点在抛物线上，
∴P 点坐标为 t,−t2+2t+3，
∵PE∥y 轴，
∴E 点横坐标为 t，
∵E 点在直线 AB 上，
∴ 把 E 点横坐标代入直线 AB 解析式可得 y=−t+3，
∴E 点纵坐标为 −t+3，
∴PE=d=−t2+2t+3−−t+3=−t2+3t，
∴d 与 t 的关系式为 d=−t2+3t．
20. 5
【解析】如图，
∵BD⊥AC 于点 D，
∴∠ADB=∠CDB=90∘，
∵sinA=35，设 BD=3x，AB=5x，
∴AD=AB2−BD2=4x，
∵AB=AC，
∴AC=5x，
∴CD=x，
∵BD2+CD2=BC2，
∴3x2+x2=2102，
∴x=2 或 x=−2（舍去），
∴AD=8，
设 AE=m，则 DE=8−m，
过 E 作 EF⊥AB 于点 F，
则 ∠AFE=90∘，
∵BE 平分 ∠ABD，
∴EF=DE=8−m，
∵sinA=EFAE=35，
∴8−mm=35，
∴m=5，
∴AE=5．
第三部分
21. 原式=x+1x÷2x22x−x2+12x=x+1x÷x2−12x=x+1x⋅2xx+1x−1=2x−1.
∵x=2×32+2×12=3+1．
∴ 原式=23+1−1=233．
22. （1） 如图 1 所示，
tan∠BAC=12，
故 Rt△ABC 即为所求．
（2） 如图 2 所示，
平行四边形 ABEF 的面积为图 1 中 △ABC 面积的 4 倍，
故平行四边形 ABEF 即为所求．
23. （1） 8÷16%=50（名）．
答：本次调查共抽取了 50 名学生．
（2） 50×20%=10（名）．
补全条形统计图如图所示：
（3） 1000×1050=200（名）．
答：估计该校有 200 名学生的学习成绩达到优秀．
24. （1） ∵AD 是 △ABC 的中线，
∴BD=CD，
∵AE∥BC，
∴∠AEF=∠DBF，
在 △AFE 和 △DFB 中，
∠AEF=∠DBF,∠AFE=∠DFB,AF=DF,
∴△AFE≌△DFB，
∴AE=BD，
∴AE=CD，
∵AE∥BC，
∴ 四边形 ADCE 是平行四边形．
（2） 图中所有与 AE 相等的边有：AF，DF，BD，DC．
理由：
∵ 四边形 ADCE 是平行四边形，
∴AE=DC，AD∥EC，
∵BD=DC，
∴AE=BD，
∵BE 平分 ∠AEC，
∴∠AEF=∠CEF，
∵AD∥CE，
∴∠AEF=∠CEF=∠AFE，
∴AE=AF，
∵△AFE≌△DFB，
∴AF=DF，
∴AE=AF=DF=CD=BD．
25. （1） 设乙队单独完成需 x 天，
由题意得
2060+1260+12x=23,
解得
x=90,
经检验 x=90 是分式方程的解，且符合题意．
答：乙单独完成这项工程需 90 天．
（2） 设甲、乙两队合作 a 天，
∵ 甲队单独完成这项工程需要 60 天，乙队单独完成这项工程需要 90 天，
∴ 甲、乙两队合作一天完成工程的 160+190=136，
∴3.5a+2a+901−a36≤186，
解得：a≤12，
∴a 的最大值为 12，
答：甲、乙两队最多合作 12 天．
26. （1） 如图 1，
∵AB⊥CD，
∴∠BAD+∠ADC=90∘．
∵AM=AD，
∴∠ADM=∠AMD．
∵∠AMD=∠CMG，
∴∠ADM=∠CMG 且 ∠DAB=∠DCB，
∴∠DCB+∠CMG=90∘，
即 ∠CFG=90∘，
∴AG⊥BC．
（2） 如图 2，连接 CG．
∵∠ADC=∠AGC，且 ∠CMG=∠ADC，
∴∠CMG=∠CGM，
∴CM=CG 且 AG⊥BC，
∴MF=FG．
∵AM=AD，AB⊥CD，
∴DE=ME，
∴EF∥DG．
（3） 如图 3，作 BN 平分 ∠ABG，交 AG 于点 N．
则 ∠ABN=∠GBN=12∠ABG．
∵MF=FG，ME=DE，
∴DG=2EF=2×15=30．
∵AM=AD，AB⊥BC，
∴∠DAG=2∠BAG．
∵∠ADG=∠ABG=2∠BAG，
∴∠DAG=∠ADG，
∴AG=DG=30．
∵∠ABN=∠GBN=12∠ABG，∠ABG=2∠BAG，
∴∠BAG=∠ABN=∠NBG，
∴AN=BN．
∵∠BAG=∠NBG，∠AGB=∠AGB，
∴△ABG∽△BNG，
∴ABBN=AGBG=BGNG，
∴32BN=30BG=BG30−AN，
∴32BG=30BN，
BG2=900−30BN=900−32BG．
解得：BG=18 或 BG=−50（不合题意舍去）．
∴BG=18．
27. （1） 如图 1，过点 C 作 CD⊥OA 于点 D．
∵OC=AC，∠ACO=120∘，
∴∠AOC=∠OAC=30∘．
∵OC=AC，CD⊥OA，
∴OD=DA=1．
在 Rt△ODC 中，OC=ODcs30∘=1cs30∘=233．
（ⅰ）当 0如图 1，过点 Q 作 QE⊥OA 于点 E．
在 Rt△OEQ 中，
∵∠AOC=30∘，
∴QE=12OQ=t2，
∴S△OPQ=12OP⋅EQ=122−3t⋅t2=−34t2+12t，
即 S=−34t2+12t；
（ⅱ）如图 2，
当 23 ∵∠BOA=60∘，∠AOC=30∘，
∴∠POQ=90∘．
∴S△OPQ=12OQ⋅OP=12t⋅3t−2=32t2−t，
即 S=32t2−t；
故当 0 （2） D 点坐标为 33,1 或 233,0 或 23,0 或 43,233．
【解析】如图 3，
（ⅰ）当 D 点在 OA 上，
①以 D 为顶点，△OCD1 中，∠COA=30∘，D1C=OD1，则 OD1=23，即 D123,0；
②以 O 为顶点，△OCD2 中，OD2=OC=233，则 D2233,0；
③以 C 为顶点，此时 D 点和 A 点重合．
（ⅱ）当 D 点在 OB 上，
由于 ∠BOC=90∘，因此不存在以 C 或 D 为顶点的等腰三角形，
以 O 为顶点时，△OCD3 中，OD3=OC，∠AOB=60∘，则 D333,1．
（ⅲ）当 D 点在 AB 上时，
OD 的最短距离为 OD⊥AB 时，此时 OD=3>233，因此 OD≠OC，不存在以 O 为顶点的等腰三角形；
当以 C 为顶点时，D 点和 A 点重合，
当以 D 为顶点时，△OCD4 中，易得 D443,233．
综上所述，D 点坐标为 33,1 或 233,0 或 23,0 或 43,233．
（3） △BMN 的周长不发生变化．
理由如下：
如图 4，延长 BA 至点 F，使 AF=OM，连接 CF．
在 △MOC 和 △FAC 中，
MO=FA,∠MOC=∠FAC=90∘,OC=AC,
∴△MOC≌△FAC，
∴MC=FC，∠MCO=∠FCA．
∴∠FCN=∠FCA+∠NCA=∠MCO+∠NCA=∠OCA−∠MCN=60∘,
∴∠FCN=∠MCN．
在 △MCN 和 △FCN 中，
MC=FC,∠MCN=∠FCN,CN=CN,
∴△MCN≌△FCN，
∴MN=FN．
∴BM+MN+BN=BM+NF+BN=BO−OM+BA+AF=BA+BO=4.
∴△BMN 的周长不变，其周长为 4．
28. （1） 在直线 y=−x+3 中，令 x=0 可得 y=3，令 y=0 可得 x=3，
∴A0,3，B3,0，
∵ 抛物线 y=−x2+bx+c 过 A，B 两点，
∴ 把 A，B 两点的坐标代入可得 c=3,−9+3b+c=0, 解得 b=2,c=3,
∴ 抛物线解析式为 y=−x2+2x+3；
（2） 如图 2，
∵P 点在抛物线上，
∴P 点坐标为 t,−t2+2t+3，
∵PE∥x 轴，
∴E 点纵坐标为 −t2+2t+3，
∵E 点在直线 AB 上，
∴ 把 E 点纵坐标代入直线 AB 解析式可得 −t2+2t+3=−x+3，解得 x=t2−2t，
∴E 点横坐标为 t2−2t，
∴PE=m=t−t2−2t=−t2+3t，
∴m 与 t 的关系式为 m=−t2+3t．
（3） 存在，如图 3，过点 E 作 EG⊥x 轴于点 G，
∵OA=OB=3，
∴∠EBO=45∘，
∴∠EHG=∠BEH+∠EBO=∠BEH+45∘，
∵∠FOH−∠BEH=45∘，
∴∠FOH=∠BEH+45∘，
∴∠EHG=∠FOH，且 ∠FHO=∠EGH=90∘，
∴△FOH∽△EHG，
∴FHEG=OHHG，
∵OH=t，F 在直线 AB 上，
∴FH=−t+3，
由（2）可知 EG=−t2+2t+3，GH=m=−t2+3t，
∴−t+3−t2+2t+3=t−t2+3t，解得 t=1，
经检验，t=1 是原方程的解，并且满足题意．
∴OH=1，FH=2，
∴tan∠FOH=FHOH=2，
∵∠FOH−∠BEH=45∘，
∴∠BEH=∠FOH−45∘，
∴tan∠BEH=tan∠FOH−45∘=tan∠FOH−tan45∘1+tan∠FOH⋅tan45∘=2−11+2×1=13.
综上可知 t 的值为 1，tan∠BEH 的值为 13．