2020-2021学年湖北省武汉市华中师大一附中光谷分校九年级（下）开学数学试卷

这是一份2020-2021学年湖北省武汉市华中师大一附中光谷分校九年级（下）开学数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．某个数的绝对值大于0
B．任意一个五边形的外角和等于540°
C．某个数的相反数等于它本身
D．长分别为3，4，6的三条线段能围成一个三角形
3．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′，若∠CC′B′＝33°（ ）
A．33°B．45°C．57°D．78°
4．（3分）把抛物线y＝x2+bx+c向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线y＝x2﹣3x+5，则有（ ）
A．b＝3，c＝7B．b＝﹣9，c＝﹣15C．b＝3，c＝3D．b＝﹣9，c＝21
5．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，（ ）
A．OC⊥BEB．OC∥AEC．∠COE＝2∠BACD．OD⊥AC
6．（3分）已知⊙O的半径为4，A为圆内一定点，AO＝2，以AP为边作等腰△APG，AP＝PG，OG的最小值为（ ）
A．2+2B．2+4C．4+2D．4﹣2
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
7．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+a2x+a﹣3＝0的一个根是1，则3a2+3a﹣4的的值为 ．
8．（3分）如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝60°，则⊙O的半径为 ．
9．（3分）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣t2，飞机着陆至停下来共滑行 ．
10．（3分）一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是﹣2，0，1．卡片除数字不同外其它均相同，从中随机抽取两张卡片 ．
11．（3分）如图，等腰△ABC中，底边BC长为8，点D是BC边上一点，过点B作AC的平行线与过A、B、D三点的圆交于点E，则DE的最小值是 ．
三、解答题（共4小题，共37分）
12．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接DE交线段OA于点F．
（1）求证：DH是⊙O的切线；
（2）若A为EH的中点，求的值．
13．（10分）商场购进一批儿童智力玩具，调查发现：该玩具的月销售量y（个）与销售单价x（元），下表是销售单价与月销售量、月销售利润的对应值分别如下：
（1）直接写出y与x的函数关系式 ；
（2）根据以上信息填空：
①m＝ ；该商场购进玩具单价 元/个；
②求w与x的函数关系式，并求出当销售单价x定为多少时，月销售利润最大？
（3）由于生产玩具成本增加，商场购进玩具单价提高n元/个（0＜n≤7，n为整数），商场规定每件玩具售价不能低于40元/个，月销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若月销售最大利润是2340元 ．
14．（8分）已知，如图，等腰△ABC，∠BAC＝120°．
（1）如图1，将△ABC绕A点旋转得到△ADE，BD、EC相交于点H；
（2）E为直线AC右边一点，连EB、EA、BC．若∠BEA＝60°，，求．
15．（11分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+kx﹣2k的顶点为N．
（1）若抛物线过点A（﹣3，1），求此抛物线相应的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，若抛物线与y轴交于点B，点P为直线AB上方抛物线上的一个动点，当△PAB的面积最大时；
（3）已知点M（﹣2，0），且无论k取何值，抛物线都经过定点H，请直接写出此抛物线相应的函数表达式．
2020-2021学年湖北省武汉市华中师大一附中光谷分校九年级（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共6小题，每小题3分，共18分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
2．（3分）下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．某个数的绝对值大于0
B．任意一个五边形的外角和等于540°
C．某个数的相反数等于它本身
D．长分别为3，4，6的三条线段能围成一个三角形
【分析】（1）正数或负数的绝对值都大于0，因此A不符合题意，任意多边形的外角和都等于360°，因此B符合题意，0的相反数等于0，因此C不符合题意，长为3，4，6的三条线段可以围成三角形，因此D不符合题意，
【解答】解：一个非零的有理数的绝对值都大于0，而0的绝对值就不大于5，
任意多边形的外角和都等于360°，因此选项B符合题意，
除0外的数的相反数就不等于它本身，0的相反数是6，
根据三角形的三边关系可知，长为3，4，因此选项D不符合题意，
故选：B．
3．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′，若∠CC′B′＝33°（ ）
A．33°B．45°C．57°D．78°
【分析】由题意可得AC＝AC'，∠CAC'＝90°，∠AB'C'＝∠B，可得∠ACC'＝45°，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和，可求∠AB'C'＝∠B＝∠ACC'+∠CC'B'＝78°．
【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到△AB′C′
∴AC＝AC'，∠CAC'＝90°
∴∠ACC'＝45°
∵∠AB'C'＝∠ACC'+∠CC'B'
∴∠AB'C'＝45°+33°＝78°
∴∠B＝78°
故选：D．
4．（3分）把抛物线y＝x2+bx+c向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线y＝x2﹣3x+5，则有（ ）
A．b＝3，c＝7B．b＝﹣9，c＝﹣15C．b＝3，c＝3D．b＝﹣9，c＝21
【分析】先求出y＝x2﹣3x+5的顶点坐标，再根据“左加右减”求出平移前的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出，整理成二次函数的一般形式，再根据对应项系数相等解答．
【解答】解：∵y＝x2﹣3x+3＝（x﹣）3+，
∴y＝x2﹣3x+5的顶点坐标为（，），
∵向右平移3个单位，向下平移8个单位，
∴平移前的抛物线的顶点的横坐标为﹣5＝﹣，
纵坐标为+2＝，
∴平移前的抛物线的顶点坐标为（﹣，），
∴平移前的抛物线为y＝（x+）2+＝x2+3x+6，
∴b＝3，c＝7．
故选：A．
5．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，（ ）
A．OC⊥BEB．OC∥AEC．∠COE＝2∠BACD．OD⊥AC
【分析】根据切线的性质、平行线的判定定理及圆周角定理对各选项进行逐一判断即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，
∴BA⊥DA，故A正确；
∵C是弧BE的中点，
∴＝，
∴∠EAC＝∠CAB，
∵OA＝OC，
∴∠CAB＝∠ACO，
∴∠EAC＝∠ACO，
∴OC∥AE，故B正确；
∵∠COE是所对的圆心角所对的圆周角，
∴∠COE＝2∠CAE，故C正确；
只有当＝时OD⊥AC．
故选：D．
6．（3分）已知⊙O的半径为4，A为圆内一定点，AO＝2，以AP为边作等腰△APG，AP＝PG，OG的最小值为（ ）
A．2+2B．2+4C．4+2D．4﹣2
【分析】如图，将线段OA绕点O顺时针旋转120°得到线段OT，连接AT，GT，OP．则AO＝OT＝2，AT＝2，利用相似三角形的性质求出GT，再根据三角形的三边关系解决问题即可，
【解答】解：如图，将线段OA绕点O顺时针旋转120°得到线段OT，GT．则AO＝OT＝2，
∵△AOT，△APG都是顶角为120°的等腰三角形，
∴∠OAT＝∠PAG＝30°，
∴∠OAP＝∠TAG，，
∴，
∴△OAP∽△TAG，
∴＝，
∵OP＝4，
∴TG＝4，
∵OG≥GT﹣OT，
∴OG≥4﹣8，
∴OG的最小值为4﹣3，
故选：D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
7．（3分）已知关于x的一元二次方程x2+a2x+a﹣3＝0的一个根是1，则3a2+3a﹣4的的值为 2 ．
【分析】把x＝1代入已知方程，求得a2+a﹣2＝0，然后将其整体代入所求的代数式求值．
【解答】解：由题意，得1+a2+a﹣7＝0，
∴a2+a﹣6＝0，
则a2+a＝8，
∴3a2+2a﹣4＝3（a2+a）﹣4＝6﹣2＝2．
故答案为：2．
8．（3分）如图，⊙O为△ABC的外接圆，∠A＝60°，则⊙O的半径为 ．
【分析】作直径BD，连接CD，如图，利用圆周角定理得到∠BCD＝90°，∠D＝∠A＝60°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求出BD，从而得到⊙O的半径．
【解答】解：作直径BD，连接CD，
∵BD为直径，
∴∠BCD＝90°，
∵∠D＝∠A＝60°，
∴CD＝BC＝，
∴BD＝8CD＝2，
∴⊙O的半径为．
故答案为．
9．（3分）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣t2，飞机着陆至停下来共滑行 750m ．
【分析】将函数解析式配方成顶点式求出y的最大值即可得．
【解答】解：∵y＝60t﹣t5＝﹣（t﹣25）2+750，
∴当t＝25时，y取得最大值750，
即飞机着陆后滑行750米才能停下来，
故答案为：750m．
10．（3分）一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是﹣2，0，1．卡片除数字不同外其它均相同，从中随机抽取两张卡片 ．
【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图如下：
由树状图可知共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果有4种，
所以抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率为，
故答案为：．
11．（3分）如图，等腰△ABC中，底边BC长为8，点D是BC边上一点，过点B作AC的平行线与过A、B、D三点的圆交于点E，则DE的最小值是 2 ．
【分析】如图，连接AE，AD，OE，OD，作AJ⊥BC于J，OK⊥DE于K．首先证明∠EOD＝2∠C＝定值，推出⊙O的半径最小时，DE的值最小，推出当AB是直径时，DE的值最小．
【解答】解：如图，连接AE，OE，作AJ⊥BC于J．
∵BE∥AC，
∴∠EBC+∠C＝180°，
∵∠EBC+∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠C，
∵∠EOD＝2∠EAD，
∴∠EOD＝2∠C＝定值，
∴⊙O的半径最小时，DE的值最小，
∴当AB是⊙O的直径时，DE的值最小，
∵AB＝AC＝4，AJ⊥BC，
∴BJ＝CJ＝4，
∴AJ＝＝＝2，
∵OK⊥DE，
∴EK＝DK，
∵AB＝6，
∴OE＝OD＝3，
∵∠EOK＝∠DOK＝∠C，
∴sin∠EOK＝sin∠C＝，
∴＝，
∴EK＝，
∴DE＝5，
∴DE的最小值为2．
故答案为2．
三、解答题（共4小题，共37分）
12．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接DE交线段OA于点F．
（1）求证：DH是⊙O的切线；
（2）若A为EH的中点，求的值．
【分析】（1）连接OD，证明OD∥AC，由DH⊥AC，可得DH⊥OD，则结论得证；
（2）连接AD、BE，设AE＝AH＝x，则EH＝2x，由圆周角定理得∠BEA＝∠ADB＝90°，再由等腰三角形的性质得BD＝CD，则DE＝BC＝CD，由等腰三角形的性质得CH＝EH＝2x，然后证OD是△ABC的中位线，得OD＝AC＝x，OD∥AC，则△AEF∽△ODF，即可求解．
【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，
∴DH⊥OD，
∴DH是⊙O的切线；
（2）解：连接AD、BE
∵A为EH的中点，
∴AE＝AH，
设AE＝AH＝x，则EH＝2x，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BEA＝∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
∴DE＝BC＝CD，
∵DH⊥AC，
∴CH＝EH＝2x，
∴AC＝AH+CH＝3x，
∵OA＝OB，BD＝CD，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD＝AC＝x，
∴△AEF∽△ODF，
∴＝＝＝．
13．（10分）商场购进一批儿童智力玩具，调查发现：该玩具的月销售量y（个）与销售单价x（元），下表是销售单价与月销售量、月销售利润的对应值分别如下：
（1）直接写出y与x的函数关系式 y＝﹣10x+530 ；
（2）根据以上信息填空：
①m＝ 80 ；该商场购进玩具单价 20 元/个；
②求w与x的函数关系式，并求出当销售单价x定为多少时，月销售利润最大？
（3）由于生产玩具成本增加，商场购进玩具单价提高n元/个（0＜n≤7，n为整数），商场规定每件玩具售价不能低于40元/个，月销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若月销售最大利润是2340元 2 ．
【分析】（1）根据待定系数可求得y与x的函数关系式；
（2）①直接将x＝45代入可得m的值；
根据一个玩具的利润＝月销售利润÷月销售量，根据对应售价可得进价；
②根据月销售利润＝一个玩具的利润×月销售量即可求出函数关系式，配方可得最大利润；
（3）根据利润列等式：2340＝（﹣10x+530）（x﹣20﹣n）＝﹣10（x﹣53）（x﹣20﹣n），可得对称轴为x＝＝，由0＜n≤7，n为整数，确定对称轴在至40之间，根据二次函数的增减性可得在对称轴的右侧，w随x的增大而减小，所以函数在x＝40处取得最大值，将x＝40代入函数表达式可得n的值．
【解答】解：（1）设y＝kx+b（k≠0），
由题意得：，
解得：，
∴y与x的函数关系式为：y＝﹣10x+530；
故答案为：y＝﹣10x+530；
（2）①当x＝45时，m＝﹣45×10+530＝80，
该商场购进玩具单价为：30﹣（2300÷230）＝20（元），
故答案为：80；20．
②由题意得：
w＝（x﹣20）•y，
＝（x﹣20）（﹣10x+530），
＝﹣10x2+730x﹣10600，
＝﹣10（x﹣36.3）2+2722.5，
∵﹣10＜5，
∴当x＝36.5时，y有最大值2722.5，
∴w与x的函数关系式为w＝﹣10x4+730x﹣10600，
当销售单价x定为36.5元时，月销售利润最大．
（3）由题意得：2340＝（﹣10x+530）（x﹣20﹣n）＝﹣10（x﹣53）（x﹣20﹣n），
函数的对称轴为：x＝＝，
∵0＜n≤7，n为整数，
∴20+n＜53，且20＜20+n≤27，
∴≤40，
∵﹣10＜0，
∴在对称轴的右侧，w随x的增大而减小，
∵x≥40，
则函数在x＝40处取得最大值，将x＝40代入函数表达式得：
2340＝（﹣10x+530）（x﹣20﹣n），解得：n＝2．
故答案为：2．
14．（8分）已知，如图，等腰△ABC，∠BAC＝120°．
（1）如图1，将△ABC绕A点旋转得到△ADE，BD、EC相交于点H；
（2）E为直线AC右边一点，连EB、EA、BC．若∠BEA＝60°，，求．
【分析】（1）由旋转的性质得AB＝AD＝AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，由等腰三角形的性质和四边形内角和定理可求解；
（2）过点A作AH⊥BE于H，设AE＝2k，BE＝3k，由直角三角形的性质可求HE＝AE＝k，AH＝HE＝k，在直角三角形ABH中，利用勾股定理可求AB的长，即可求解．
【解答】解：（1）∵将△ABC绕A点旋转得到△ADE，
∴AB＝AD＝AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴∠ABD＝∠ADB，∠ACE＝∠AEC，
∵∠BAD+2∠ABD＝180°，∠CAE+2∠ACE＝180°，
∴∠ACE＝∠ABD，
∵∠ACE+∠ACH＝180°，
∴∠ABD+∠ACH＝180°，
∵∠BAC+∠H+∠ABD+∠ACH＝360°，
∴∠H＝60°；
（2）如图8，过点A作AH⊥BE于H，
∵，
∴设AE＝7k，BE＝3k，
∵∠AEB＝60°，
∴∠EAH＝30°，
∴HE＝AE＝kHE＝k，
∴BH＝6k，
∴AB＝＝k，
∴AB＝AC＝k，
∴．
15．（11分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+kx﹣2k的顶点为N．
（1）若抛物线过点A（﹣3，1），求此抛物线相应的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，若抛物线与y轴交于点B，点P为直线AB上方抛物线上的一个动点，当△PAB的面积最大时；
（3）已知点M（﹣2，0），且无论k取何值，抛物线都经过定点H，请直接写出此抛物线相应的函数表达式．
【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：1＝﹣9﹣3k﹣2k，解得k＝﹣2，即可求解；
（2）由△PAB的面积＝PH×（xB﹣xA）＝（﹣x2﹣2x+4﹣x﹣4）×（0+3）＝﹣（x+）2+，即可求解；
（3）①当∠NHM为直角时，△RHN为等腰直角三角形，故设RN＝RH＝m，则点N的坐标为（2+m，﹣4+m），故xN﹣yN＝6，即k＝6+﹣2k，即可求解；②当∠NMH（∠N′MH）为直角时，同理可解．
【解答】解：（1）将点A的坐标代入抛物线表达式得：1＝﹣9﹣3k﹣2k，解得k＝﹣2，
故抛物线的表达式为y＝﹣x7﹣2x+4；
（2）过点P作PH∥y轴交AB于点H，
由点A、B的坐标得，
设点P的坐标为（x，﹣x8﹣2x+4），则点H的坐标为（x，
则△PAB的面积＝PH×（xB﹣xA）＝（﹣x2﹣2x+4﹣x﹣4）×（0+4）＝﹣（x+）2+≥，
故当x＝﹣时，△PAB的面积最大为，）；
（3）由抛物线的表达式知，其顶点坐标为（k，；
由点M、H的坐标知，如图6，
①当∠NHM为直角时，过点H作HF⊥x轴于点F，
∵直线MH与x轴正半轴的夹角为45°，则∠MHF＝45°，
故△RHN为等腰直角三角形，故设RN＝RH＝m，﹣4+m），
故xN﹣yN＝6，即k＝6+，解得k＝4（舍去）或6，
则抛物线的表达式为y＝﹣x2+6x﹣12；
②当∠NMH（∠N′MH）为直角时，
同理可得，xN﹣yN＝﹣2，
即k＝﹣7+，解得k＝2±，
故抛物线的表达式为y＝﹣x2+（5+）x﹣10﹣22+（5﹣）x﹣10+4；
综上，抛物线的表达式为y＝﹣x2+（5+）x﹣10﹣62+（5﹣）x﹣10+62+6x﹣12．
月销售单价x（元/个）
30
35
40
45
月销售量y（个）
230
180
130
m
月销售利润w（元）
2300
2700
2600
2000
月销售单价x（元/个）
30
35
40
45
月销售量y（个）
230
180
130
m
月销售利润w（元）
2300
2700
2600
2000