专题06 三角函数【文科】（解析版）

专题06 三角函数

一、单选题

1. 【河北省衡水中学2021届高三上学期二调数学试题】要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ）

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向上平移个单位 D．向下平移个单位

【答案】A

【解析】

因为，

所以由函数的图象得到函数的图象，

根据左加右减，只需向左平移个单位.

故选：A.

2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期二调数学试题】已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

换元，可得，且，

所以，.

故选：D.

3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

将函数的图象向右平移个单位得，

由该函数为偶函数可知，即，

所以当时，的最小正值是为．

故选：C

4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期七调】已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.若的外接圆直径为，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由正弦定理及，

得，

，

即，

.

，.

即，，

.

又是锐角三角形，

，解得，

.

，，

，

.

故选：C.

5. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且若，则的形状是

A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形

【答案】C

【解析】

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，

且b2+c2＝a2+bc．

则：，

由于：0＜A＜π，

故：A．

由于：sinBsinC＝sin2A，

利用正弦定理得：bc＝a2，

所以：b2+c2﹣2bc＝0，

故：b＝c，

所以：△ABC为等边三角形．

故选C．

6. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】如图直角坐标系中，角、角的终边分别交单位圆于、两点，若点的纵坐标为，且满足，则的值为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由，得.

根据题意可知)，所以，

可知，.

所以.

.

故选C.

7. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】将函数的图象向左平移个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度得到函数的图象，且的图象与直线相邻两个交点的距离为，若对任意恒成立，则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

将函数的图象向左平移个单位长度后，

再将所得的图象向下平移一个单位长度，得，

又的图象与直线相邻两个交点的距离为，得，即．

∴，当时，，

∵，，

∴，解得，∴的取值范围是，故选B．

8. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】若角的终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

因为角的终边经过点

即角的终边过点，

所以，

所以.

故选:A

9. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】已知函数的部分图象如图所示，函数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

根据图像分析得：周期,解得：，

又有且解得：，所以.

要由的图象得的图象，只需将图象上的所有点向左平移个单位长度得到的图象，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得．

故选：C

二、多选题

1. 【河北省衡水中学2021届高三上学期二调数学试题】已知函数的图象的一条对称轴为直线，函数，则下列关于函数的说法错误的是（    ）

A．直线是图象的一条对称轴 B．的最小正周期为

C．点是图象的一个对称中心 D．的最大值为

【答案】AC

【解析】

解：由为的一条对称轴，得，即.又因为，所以，所以，其中.

易知，且，故A，C错误，B，D正确.

故选：AC

2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期二调数学试题】已知函数在区间上至少存在两个不同的满足，且在区间上具有单调性，点和直线分别为图象的一个对称中心和一条对称轴，则下列命题中正确的是（    ）

A．在区间上的单调性无法判断

B．图象的一个对称中心为

C．在区间上的最大值与最小值的和为

D．将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位得到的图象，则

【答案】BC

【解析】

由题意得，即，

又在区间上至少存在两个最大值或最小值，且在区间上具有单调性，

所以，所以

所以只有时满足，此时，即，

因为，所以，所以在区间上单调递减，故A错误；

由，所以为图象的一个对称中心，故B正确；

因为，所以

，所以最大值与最小值之和为，故C正确；

将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到的图象，再向左平移个单位，得到的图象，

即，故D错误.

综上，BC正确

故选：BC

三、填空题

1. 【河北省衡水第一中学2021届全国高三第二次联合考试（1）】已知函数同时满足下述性质：①若对于任意的恒成立；②，则a的值为_________.

【答案】0

【解析】

化简可得，.当时，，所以，此时的最大值为，最小值为，对于任意的，若满足恒成立，所以即，解得；又因为，解得，故.

故答案为：0.

2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期二调数学试题】已知函数的最大值为2.若函数在区间上至少取得两次最大值，则的最小整数值为___________.

【答案】2

【解析】

因为，

所以的最大值为，

解得或(舍去)，

所以，

当时，函数取得最大值，

当时，取得前两个最大值时，k分别为0和1，

当时，由，得，

所以，

所以的最小整数值为2.

3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期二调数学试题】在中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则=__________；的取值范围为___________.

【答案】2       

【解析】

由余弦定理得，即，

所以，即，

由正弦定理得，即，

所以即，

因为，所以或(舍去)，所以，即；

因为，所以，

所以，

令，则，，

所以在区间上单调递增，

又，所以.

故答案为：2；.

4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且B为锐角，若＝，sin B＝，S△ABC＝，则b的值为________．

【答案】

【解析】

由＝，可得＝，故a＝c，①

由S△ABC＝acsin B＝且sin B＝得ac＝5，②

联立①，②得a＝5，且c＝2.

由sin B＝且B为锐角知cos B＝，

由余弦定理知b2＝25＋4－2×5×2×＝14，b＝.

故答案为：.

5. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】已知角的终边上有一点，则的值为___________．

【答案】

【解析】

由题意得，则．

故答案为：

6. 【河北省衡水中学2021届全国高三下学期第二次联合考试（II卷）】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则外接圆半径的最小值为______________．

【答案】

【解析】

由，

得

即

，所以由正弦定理得:

．

所以，

所以，

设外接圆半径为R，

由正弦定理可得：，

所以，即外接圆半径的最小值为．

故答案为：

四、解答题

1. 【河北省衡水中学2021届高三上学期二调数学试题】如图，在圆内接中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足.

（1）求B；

（2）若点D是劣弧AC上一点，AB=2，BC=3，AD=1，求四边形ABCD的面积

【答案】（1）；（2）.

【解析】

解：（1）由正弦定理得，

得.

因为，

所以，即.

（2）在中AB=2，BC=3，，，

解得.

在中，，A，B，C，D在圆上，

因为，所以，

所以，

解得或（舍去），

所以四边形ABCD的面积.

2. 【河北省衡水中学2021届高三上学期二调数学试题】在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并进行求解.

问题：在中，内角，，所对的边分别为，，，，，点，是边上的两个三等分点，，______；

（1）求的长.

（2）求外接圆半径.

【答案】（1）答案见解析；（2）.

【解析】

（1）解：若选择条件①

因为，所以，

设，所以；又，，

所以在中，，

即，

即：，

所以或-4（舍去）.

在中，，

所以，

若选择条件②

因为点，是边上的三等分点，且，

所以，

因为，所以，

所以，所以.

在中，，

所以，

若选择条件③

设，则，

在中，，

同样在中，，

因为，所以，

所以，

在中，，

所以，

（2），

所以，

由正弦定理可得：，

所以外接圆半径为.

3. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】在中, 内角,,的对边分别为,,,且.

（1）求角的大小；

（2）若的面积为,且,求.

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）由及正弦定理可得,,,又因为.

（2）①,

又由余弦定理得,代入①式得,

由余弦定理．

,得.

4. 【河北省衡水中学2021届高三上学期期中】已知中，角所对的边分别是，且，其中是的面积，.

(1)求的值；

(2)若，求的值.

【答案】（1）； （2）.

【解析】

∵，得，得，

即，所以，

又，∴，故，，

.

(2)，所以，得①，

由(1)得，所以.

在中，由正弦定理，得，即②，

联立①②，解得，，则，所以.

5. 【河北省衡水中学2021届全国高三第一次联合考试（全国卷）】在中，已知，，分别是角，，的对边，，，为的面积，．

（1）求；

（2）若点在直线上，且，求线段的长度．

【答案】（1）；（2）．

【解析】

解：（1）由余弦定理，得，

所以，即．

因为，，所以，所以；

（2）由题意及（1）知，．

在中，由正弦定理可得，即，

所以，

故在中，．