2019-2020学年北京市西城区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年北京市西城区九上期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 抛物线 y=x−12+2 的对称轴为
A. 直线 x=1B. 直线 x=−1C. 直线 x=2D. 直线 x=−2

2. 我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=4，tanA=12，则 BC 的长度为
A. 2B. 8C. 43D. 45

4. 将抛物线 y=−3x2 平移，得到抛物线 y=−3x−12−2，下列平移方式中，正确的是
A. 先向左平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位
B. 先向左平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位
C. 先向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位
D. 先向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位

5. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为位似中心，把线段 AB 放大后得到线段 CD．若点 A1,2，B2,0，D5,0，则点 A 的对应点 C 的坐标是
A. 2,5B. 52,5C. 3,5D. 3,6

6. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C，D 是圆上两点，连接 AC，BC，AD，CD．若 ∠CAB=55∘，则 ∠ADC 的度数为
A. 55∘B. 45∘C. 35∘D. 25∘

7. 如图，AB 是 ⊙O 的一条弦，OD⊥AB 于点 C，交 ⊙O 于点 D，连接 OA．若 AB=4，CD=1，则 ⊙O 的半径为
A. 5B. 5C. 3D. 52

8. 制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料．如图是一段弯形管道，其中 ∠O=∠Oʹ=90∘，中心线的两条弧的半径都是 1000 mm，这段弯形管道的展直长度约为（π 取 3.14）
A. 9280 mmB. 6280 mmC. 6140 mmD. 457 mm

9. 当太阳光线与地面成 40∘ 角时，在地面上的一棵树的影长为 10 m，树高 h（单位：m）的范围是
A. 3
10. 在平面直角坐标系 xOy 中，开口向下的抛物线 y=ax2+bx+c 的一部分图象如图所示，它与 x 轴交于 A1,0，与 y 轴交于点 B0,3，则 a 的取值范围是
A. a<0B. −3
二、填空题（共6小题；共30分）
11. 二次函数 y=x2−2x+m 的图象与 x 轴只有一个公共点，则 m 的值为 ．

12. 如图，在 △ABC 中，点 E，F 分别在 AB，AC 上，若 △AEF∽△ABC，则需要增加的一个条件是 （写出一个即可）．

13. 如图，⊙O 的半径为 1，PA，PB 是 ⊙O 的两条切线，切点分别为 A，B．连接 OA，OB，AB，PO，若 ∠APB=60∘，则 △PAB 的周长为 ．

14. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y1=kx+mk≠0 与抛物线 y2=ax2+bx+ca≠0 交于点 A0,4，B3,1，当 y1≤y2 时，x 的取值范围是 ．

15. 如图，在 △ABC 中，∠BAC=65∘，将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转，得到 △ABʹCʹ，连接 CʹC．若 CʹC∥AB，则 ∠BABʹ= ∘．

16. 考古学家发现了一块古代圆形残片如图所示，为了修复这块残片，需要找出圆心．
（1）请利用尺规作图确定这块残片的圆心 O；
（2）写出作图的依据： ．

三、解答题（共13小题；共169分）
17. 计算：4cs30∘−3tan60∘+2sin45∘⋅cs45∘．

18. 如图，D 是等边三角形 ABC 内一点，将线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 60∘，得到线段 AE，连接 CD，BE．
（1）求证：∠AEB=∠ADC；
（2）连接 DE，若 ∠ADC=105∘，求 ∠BED 的度数．

19. 已知二次函数 y=x2+4x+3．
（1）用配方法将二次函数的表达式化为 y=ax−h2+k 的形式；
（2）在平面直角坐标系 xOy 中，画出这个二次函数的图象；
（3）根据（2）中的图象，写出一条该二次函数的性质．

20. 如图，在 △ABC 中，点 D 在 BC 边上，∠DAC=∠B．点 E 在 AD 边上，CD=CE．
（1）求证：△ABD∽△CAE；
（2）若 AB=6，AC=92，BD=2，求 AE 的长．

21. 一张长为 30 cm，宽 20 cm 的矩形纸片，如图 1 所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图 2 所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为 264 cm2，求剪掉的正方形纸片的边长．

22. 一条单车道的抛物线形隧道如图所示．隧道中公路的宽度 AB=8 m，隧道的最高点 C 到公路的距离为 6 m．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；
（2）现有一辆货车的高度是 4.4 m，货车的宽度是 2 m，为了保证安全，车顶距离隧道顶部至少 0.5 m，通过计算说明这辆货车能否安全通过这条隧道．

23. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，C 为 ⊙O 上一点，经过点 C 的直线与 AB 的延长线交于点 D，连接 AC，BC，∠BCD=∠CAB．E 是 ⊙O 上一点，CB=CE，连接 AE 并延长与 DC 的延长线交于点 F．
（1）求证：DC 是 ⊙O 的切线；
（2）若 ⊙O 的半径为 3，sinD=35，求线段 AF 的长．

24. 测量建筑物的高度．
在 《相似 》和 《 锐角三角函数 》 的学习中，我们了解了借助太阳光线、利用标杆、平面镜等可以测量建筑物的高度．综合实践活动课上，数学王老师让同学制作了一种简单测角仪：把一根细线固定在量角器的圆心处，细线的另一端系一个重物（如图 1）；将量角器拿在眼前，使视线沿着量角器的直径刚好看到需测量物体的顶端，这样可以得出需测量物体的仰角 α 的度数（如图 2，3）．利用这种简单测角仪，也可以帮助我们测量一些建筑物的高度．天坛是世界上最大的祭天建筑群，1998 年被确认为世界文化遗产．它以严谨的建筑分布，奇特的建筑构造和瑰丽的建筑装饰闻名于世．祈年殿是天坛主体建筑，又称祈谷殿（如图 4）．采用的是上殿下屋的构造形式，殿为圆形，象征天圆；瓦为蓝色，象征蓝天．祈年殿的殿座是圆形的祈谷坛．请你利用所学习的数学知识，设计一个测量方案，解决“测量天坛祈年殿的高度”的问题．要求：
（1）写出所使用的测量工具；
（2）画出测量过程中的几何图形，并说明需要测量的几何量；
（3）写出求天坛祈年殿高度的思路．

25. 如图，△ABC 内接于 ⊙O，直径 DE⊥AB 于点 F，交 BC 于点 M，DE 的延长线与 AC 的延长线交于点 N，连接 AM．
（1）求证：AM=BM；
（2）若 AM⊥BM，DE=8，∠N=15∘，求 BC 的长．

26. 阅读下列材料：
有这样一个问题：关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0a>0 有两个不相等的且非零的实数根．探究 a，b，c 满足的条件．
小明根据学习函数的经验，认为可以从二次函数的角度看一元二次方程，下面是小明的探究过程：
①设一元二次方程 ax2+bx+c=0a>0 对应的二次函数为 y=ax2+bx+ca>0；
②借助二次函数图象，可以得到相应的一元二次方程中 a，b，c 满足的条件，列表如下：
方程根的几何意义：请将表格补充完整．
（1）参考小明的做法，把上述表格补充完整；
（2）若一元二次方程 x2−2m+3x−4m=0 有一个负实根，一个正实根，且负实根大于 −1，求实数 m 的取值范围．

27. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=−x2+mx+n 与 x 轴交于点 A，B（A 在 B 的左侧）．
（1）抛物线的对称轴为直线 x=−3，AB=4．求抛物线的表达式；
（2）平移（1）中的抛物线，使平移后的抛物线经过点 O，且与 x 正半轴交于点 C，记平移后的抛物线顶点为 P，若 △OCP 是等腰直角三角形，求点 P 的坐标；
（3）当 m=4 时，抛物线上有两点 Mx1,y1 和 Nx2,y2，若 x1<2，x2>2，x1+x2>4，试判断 y1 与 y2 的大小，并说明理由．

28. 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=BC，CD 为 AB 边上的中线．在 Rt△AEF 中，∠AEF=90∘，AE=EF，AF（1）如图 1，点 F 在 △ABC 内，求证：CD=MN；
（2）如图 2，点 F 在 △ABC 外，依题意补全图 2，连接 CN，EN，判断 CN 与 EN 的数量关系与位置关系，并加以证明；
（3）将图 1 中的 △AEF 绕点 A 旋转，若 AC=a，AF=bb
29. 在平面直角坐标系 xOy 中，给出如下定义：对于 ⊙C 及 ⊙C 外一点 P，M，N 是 ⊙C 上两点，当 ∠MPN 最大，称 ∠MPN 为点 P 关于 ⊙C 的“视角”．直线 l 与 ⊙C 相离，点 Q 在直线 l 上运动，当点 Q 关于 ⊙C 的“视角”最大时，则称这个最大的“视角”为直线 l 关于 ⊙C 的“视角”．
（1）如图，⊙O 的半径为 1，
①已知点 A1,1，直接写出点 A 关于 ⊙O 的“视角”；已知直线 y=2，直接写出直线 y=2 关于 ⊙O 的“视角”；
②若点 B 关于 ⊙O 的“视角”为 60∘，直接写出一个符合条件的 B 点坐标；
（2）⊙C 的半径为 1，
①点 C 的坐标为 1,2，直线 l:y=kx+bk>0 经过点 D−23+1,0，若直线 l 关于 ⊙C 的“视角”为 60∘，求 k 的值；
②圆心 C 在 x 轴正半轴上运动，若直线 y=3x+3 关于 ⊙C 的“视角”大于 120∘，直接写出圆心 C 的横坐标 xC 的取值范围．
答案
第一部分
1. A
2. C
3. A
4. D
5. B
6. C
7. D
8. C
9. B
10. B
第二部分
11. 1
12. EF∥BC（答案不唯一）
13. 33
14. 0≤x≤3
15. 50
16. 如图所示，
点 O 即为所求作的圆心；，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；不在同一直线上的三个点确定一个圆
第三部分
17. 原式=4×32−3×3+2×22×22=1−3.
18. （1） ∵△ABC 是等边三角形，
∴∠BAC=60∘，AB=AC．
∵ 线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 60∘，得到线段 AE，
∴∠DAE=60∘，AE=AD．
∴∠BAD+∠EAB=∠BAD+∠DAC．
∴∠EAB=∠DAC．
在 △EAB 和 △DAC 中，
AB=AC,∠EAB=∠DAC,AE=AD.
∴△EAB≌△DAC．
∴∠AEB=∠ADC．
（2） 如图，
∵∠DAE=60∘，AE=AD，
∴△EAD 为等边三角形．
∴∠AED=60∘，
又 ∵∠AEB=∠ADC=105∘．
∴∠BED=45∘．
19. （1） y=x2+4x+3=x2+4x+22−22+3=x+22−1;
（2） 列表：
x⋯−4−3−2−10⋯y⋯30−103⋯
如图，
（3） 当 x<−2 时，y 随 x 的增大而减小，当 x>−2 时，y 随 x 的增大而增大．（答案不唯一）
20. （1） ∵ CE=CD，
∴ ∠CDE=∠CED．
∴ ∠ADB=∠CEA．
∵ ∠DAC=∠B，
∴ △ABD∽△CAE．
（2） 由（1）得 △ABD∽△CAE，
∴ ABAC=BDAE．
∵ AB=6，AC=92，BD=2，
∴ AE=32．
21. 设剪掉的正方形纸片的边长为 x cm．
由题意，得
30−2x20−2x=264.x2−25x+84=0.x1=4,x2=21不符合题意,舍去.
答：剪掉的正方形的边长为 4 cm．
22. （1） 以 AB 所在直线为 x 轴，以抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系 xOy，如图所示．
∴ A−4,0，B4,0，C0,6．
设这条抛物线的表达式为 y=ax−4x+4．
∵ 抛物线经过点 C，
∴ −16a=6．
∴ a=−38．
∴ 抛物线的表达式为 y=−38x2+6−4≤x≤4．
（2） 当 x=1 时，y=458．
∵ 4.4+0.5=4.9<458，
∴ 这辆货车能安全通过这条隧道．
23. （1） 连接 OC，如图，
∵ AB 是 ⊙O 的直径，
∴ ∠ACB=90∘，即 ∠1+∠3=90∘．
∵ OA=OC，
∴ ∠1=∠2．
∵ ∠DCB=∠BAC=∠1．
∴ ∠DCB+∠3=90∘．
∴ OC⊥DF．
∴ DF 是 ⊙O 的切线．
（2） 在 Rt△OCD 中，OC=3，sinD=35．
∴ OD=5，AD=8．
∵ CE=BC，
∴ ∠2=∠4．
∴ ∠1=∠4．
∴ OC∥AF．
∴ △DOC∽△DAF．
∴ OCAF=ODAD．
∴ AF=245．
24. （1） 测量工具有：简单测角仪，测量尺；
（2） 设 CD 表示祈年殿的高度，测量过程的几何图形如图所示；
需要测量的几何量如下：
① 在点 A，点 B 处用测角仪测出仰角 α，β；
②测出 A，B 两点之间的距离 s．
（3） 设 CD 的高度为 x m，
在 Rt△DBC 中，BC=xtanβ，
在 Rt△DAC 中，AC=xtanα，
∵ AB=AC−BC，
∴ s=xtanα−xtanβ．
解得，x=s⋅tanα⋅tanβtanβ−tanα．
25. （1） ∵ 直径 DE⊥AB 于点 F，
∴AF=BF，
∴AM=BM．
（2） 连接 AO，BO，如图，
由（1）可得 AM=BM，
∵AM⊥BM，
∴∠MAF=∠MBF=45∘，
∴∠CMN=∠BMF=45∘，
∵AO=BO，DE⊥AB，
∴∠AOF=∠BOF=12∠AOB，
∵∠N=15∘，
∴∠ACM=∠CMN+∠N=60∘，即 ∠ACB=60∘，
∵∠ACB=12∠AOB，
∴∠AOF=∠ACB=60∘．
∵DE=8，
∴AO=4．
在 Rt△AOF 中，由 sin∠AOF=AFAO，得 AF=23，
在 Rt△AMB 中，AM=BM=2AF=26．
在 Rt△ACM 中，由 tan∠ACM=AMCM，得 CM=22，
∴BC=CM+BM=22+26．
26. （1） 补全表格如下：
（2） 设一元二次方程 x2−2m+3x−4m=0 对应的二次函数为：y=x2−2m+3x−4m，
∵ 一元二次方程 x2−2m+3x−4m=0 有一个负实根，一个正实根，且负实根大于 −1，
∴−4m<0,−12−2m+3⋅−1−4m>0,
解得 0 ∴m 的取值范围是 027. （1） 抛物线 y=−x2+mx+n 的对称轴为直线 x=−3，AB=4．
∴ 点 A−5,0，点 B−1,0．
∴ 抛物线的表达式为 y=−x+5x+1，
∴ y=−x2−6x−5；
（2） 如图 1，
依题意，设平移后的抛物线表达式为：y=−x2+bx．
∴ 抛物线的对称轴为直线 x=b2，抛物线与 x 正半轴交于点 Cb,0．
∴ b>0．
记平移后的抛物线顶点为 P，
∴ 点 P 的坐标 b2,−b24+b22，
∵ △OCP 是等腰直角三角形，
∴ b2=−b24+b22，
∴ b=2．
∴ 点 P 的坐标 1,1；
（3） 如图 2，
当 m=4 时，抛物线表达式为：y=−x2+4x+n．
∴ 抛物线的对称轴为直线 x=2．
∵ 点 Mx1,y1 和 Nx2,y2 在抛物线上，
且 x1<2，x2>2，
∴ 点 M 在直线 x=2 的左侧，点 N 在直线 x=2 的右侧．
∵ x1+x2>4，
∴ 2−x1 ∴ 点 M 到直线 x=2 的距离比点 N 到直线 x=2 的距离近，
∴ y1>y2．
28. （1） 在 Rt△ABC 中，
∵ CD 是斜边 AB 上的中线．
∴ CD=12AB．
在 △ABF 中，点 M，N 分别是边 AF，BF 的中点，
∴ MN=12AB，
∴ CD=MN．
（2） CN 与 EN 的数量关系 CN=EN，
CN 与 EN 的位置关系 CN⊥EN．
证明：连接 EM，DN，如图．
与（1）同理可得 CD=MN，EM=DN．
在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 边上的中线，
∴ CD⊥AB．
在 △AEF 中，同理可证 EM⊥AF．
∴ ∠EMF=∠CDB=90∘．
∵ D，M，N 分别为边 AB，AF，BF 的中点，
∴ DN∥AF，MN∥AB．
∴ ∠FMN=∠MND，∠BDN=∠MND．
∴ ∠FMN=∠BDN．
∴ ∠EMF+∠FMN=∠CDB+∠BDN．
∴ ∠EMN=∠NDC．
在 △EMN 和 △NDC 中，
CD=MN,∠EMN=∠NDC,EM=DN,
∴ △EMN≌△NDC．
∴ CN=EN，∠1=∠2．
∵ ∠1+∠3+∠EMN=180∘，
∴ ∠2+∠3+∠FMN=90∘．
∴ ∠2+∠3+∠DNM=90∘，即 ∠CNE=90∘．
∴ CN⊥EN．
（3） 即：EN 的最大值为 2a+b2，最小值为 2a−b2．
29. （1） ① 90∘，60∘；
② 0,−2（答案不唯一）．
（2） ①如图 1 中，
∵ 直线 l:y=kx+bk>0 经过点 D−23+1,0，
∴ −23+1k+b=0，
∴ b=23k−k，
∴ 直线 l:y=kx+23k−k，
对于 ⊙C 外的点 P，点 P 关于 ⊙C 的“视角”为 60∘，
则点 P 在以 C 为圆心，2 为半径的圆上．
又直线 l 关于 ⊙C 的“视角”为 60∘，此时，点 P 是直线 l 上与圆心 C 的距离最短的点．
∴ CP⊥直线l．
则直线 l 是以 C 为圆心，2 为半径的圆的一条切线，如图 1 所示．作 CH⊥x 轴于点 H，
∴ 点 H 的坐标为 1,0，
∴ DH=23．
∴ ∠CDH=30∘，∠PDH=60∘，
可求得点 P 的坐标 −3+1,3．
∴ 3=−3+1k+23k−k，
∴ k=3．
② 直线 y=3x+3 关于 ⊙C 的“视角”大于 120∘ 时，圆心 C 的横坐标 xC 的取值范围 233−1