2019-2020学年天津市红桥区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年天津市红桥区九上期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 三张外观相同的卡片分别标有数字 1，2，3．从中随机一次抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小于 3 的概率是
A. 13B. 23C. 16D. 19

3. 一元二次方程 x2+2x−3=0 的两个根中，较小一个根为 x=
A. 3B. −3C. −2D. −1

4. 线段 EF 是由线段 PQ 平移得到的，点 P−1,3 的对应点为 E4,7，则点 Q−3,1 的对应点 F 的坐标是
A. −8,−3B. −2,−2C. 2,5D. −6,−1

5. 如图，△ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形的对数是
A. 1 对B. 2 对C. 3 对D. 4 对

6. 正六边形的边心距与边长之比为
A. 1:2B. 2:2C. 3:1D. 3:2

7. 如图，BD 是 ⊙O 的直径，∠CBD=30∘，则 ∠A 的度数为
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 70∘

8. 如图是二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象，下列说法错误的是
A. 函数 y 的最大值是 4
B. 函数的图象关于直线 x=−1 对称
C. 当 x<−1 时，y 随 x 的增大而增大
D. 当 −40

9. 已知甲、乙两地相距 20 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间 t（单位：小时）关于行驶速度 v（单位：千米/小时）的函数关系式是
A. t=20vB. t=20vC. t=v20D. t=10v

10. 在反比例函数 y=k+3x 图象的每一支曲线上，y 都随 x 的增大而减小，则 k 的取值范围是
A. k>−3B. k>3C. k<3D. k<−3

11. 如图，在直角 △ABC 中，∠C=90∘，BC=3，AC=4，D，E 分别是 AC，BC 上的一点，且 DE=3．若以 DE 为直径的圆与斜边 AB 相交于 M，N，则 MN 的最大值为
A. 85B. 2C. 125D. 145

12. 已知二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象与 x 轴交于点 −2,0，x1,0，且 1① a② 2a+c>0；
③ 4a+c<0；
④ 2a−b+1>0．
其中正确结论的个数为
A. 1B. 2C. 3D. 4

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 方程 100x2−3x−7=0 两根之和等于 ．

14. 若扇形 AOB 的圆心角为 120∘，半径为 3，则该扇形的弧长为 ．（结果保留 π）

15. 如果两个相似三角形的面积比是 4:9，那么它们对应高的比是 ．

16. 如图，正方形 ABCD 内有一点 O 使得 △OBC 是等边三角形，连接 OA 并延长，交以 O 为圆心 OB 长为半径的 ⊙O 于点 E，连接 BD 并延长交 ⊙O 于点 F，连接 EF，则 ∠EFB 的度数为 度．

17. 若 a 为实数，则代数式 27−12a+2a2 的最小值为 ．

18. 如图，在梯形 ABCD 中，AB∥DC，AB⊥BC，AB=2 cm，CD=4 cm．以 BC 上一点 O 为圆心的圆经过 A 、 D 两点，且 ∠AOD=90∘，则圆心 O 到弦 AD 的距离是 cm．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 某单位 A，B，C，D 四人随机分成两组赴北京，上海学习，每组两人．
（1）求 A 去北京的概率；
（2）用列表法（或树状图法）求 A，B 都去北京的概率；
（3）求 A，B 分在同一组的概率．

20. 四边形 ABCD 是正方形，△ADF 旋转一定角度后得到 △ABE，如图所示，如果 AF=4，∠F=60∘，求：
（1）指出旋转中心和旋转角度；
（2）求 DE 的长度和 ∠EBD 的度数．

21. 如图，抛物线 y=−x2+3x+4 交 x 轴于 A，B 两点（点 A 在点 B 左边），交 y 轴于点 C．
（1）求 A，B 两点的坐标；
（2）求直线 BC 的解析式；
（3）点 P 在抛物线的对称轴上，连接 PB，PC，若 △PBC 的面积为 4，求点 P 的坐标．

22. 如图，以等边三角形 ABC 的 BC 边为直径画半圆，分别交 AB，AC 于点 E，D，DF 是半圆的切线交 AB 于 F 点，过点 F 作 BC 的垂线交 BC 于点 G．
（1）求证：DF⊥AB；
（2）若 AF 的长为 2，求 FG 的长．

23. 如图，反比例函数 y=kx 与一次函数 y=ax+b 的图象交于点 A2,2 、 B12,n．
（1）求这两个函数解析式；
（2）将一次函数 y=ax+b 的图象沿 y 轴向下平移 m 个单位，使平移后的图象与反比例函数 y=kx 的图象有且只有一个交点，求 m 的值．

24. 如图（1），在 △ABC 中，∠A=36∘，AB=AC，∠ABC 的平分线 BE 交 AC 于 E．
（1）求证：AE=BC；
（2）如图（2），过点 E 作 EF∥BC 交 AB 于 F，将 △AEF 绕点 A 逆时针旋转 α0∘<α<144∘ 得到 △AEʹFʹ，连接 CEʹ，BFʹ，求证：CEʹ=BFʹ；
（3）在（2）的旋转过程中是否存在 CEʹ∥AB?若存在，求出相应的旋转角 α；若不存在，请说明理由．

25. 如图，抛物线 y=ax2+bx 过 A4,0，B1,3 两点，点 C，B 关于抛物线的对称轴对称，过点 B 作直线 BH⊥x 轴，交 x 轴于点 H．

（1）求抛物线的表达式；
（2）直接写出点 C 的坐标，并求出 △ABC 的面积；
（3）点 P 是抛物线上一动点，且位于第四象限，当 △ABP 的面积为 6 时，求出点 P 的坐标；
（4）若点 M 在直线 BH 上运动，点 N 在 x 轴上运动，当以点 C，M，N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时 △CMN 的面积．
答案
第一部分
1. A
2. A
3. B
4. C
5. C
6. D【解析】如图：
设正六边形的边长是 a，则半径长也是 a；
经过正六边形的中心 O 作边 AB 的垂线段 OC，
则 AC=12AB=12a，
于是 OC=OA2−AC2=32a，
所以正六边形的边心距与边长之比为：32a:a=3:2．
7. C
8. D
9. B
10. A
11. C
12. D
第二部分
13. 3100
14. 2π
15. 2:3
16. 37.5
17. 3
【解析】因为
27−12a+2a2=2a2−6a+9+9=2a−32+9≥3,
所以代数式 27−12a+2a2 的最小值为 3．
18. 10
【解析】
作 AE⊥CD，垂足为 E，OF⊥AD，垂足为 F，
易得 △ABO≌△OCD，
可得 △AOD 是等腰直角三角形，
∵ AB=2 cm，CD=OB=4 cm，
∴ AO=25，
∴ OF=10 .
第三部分
19. （1） ∵ 某单位 A，B，C，D 四人随机分成两组赴北京，上海学习，
∴ A 去北京的概率为：12；
（2） 画树状图得：
∵ 共有 12 种等可能的结果，A，B 都去北京的有 2 种情况，
∴ A，B 都去北京的概率为：212=16；
（3） 由（2）得：A，B 分在同一组的有 4 种情况，
∴ A，B 分在同一组的概率为：412=13．
20. （1） ∵△ADF 旋转一定角度后得到 △ABE，
∴ 旋转中心为点 A，∠DAB 等于旋转角，
∴ 旋转角为 90∘；
（2） ∵△ADF 以点 A 为旋转中心，顺时针旋转 90∘ 后得到 △ABE，
∴AE=AF=4，∠AEB=∠F=60∘，
∴∠ABE=90∘−60∘=30∘，
∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴AD=AB=43，∠ABD=45∘，
∴DE=43−4，
∠EBD=∠ABD−∠ABE=15∘．
21. （1） 由 −x2+3x+4=0，解得 x=−1 或 x=4，
所以 A，B 两点坐标为 −1,0 和 4,0．
（2） 抛物线 y=−x2+3x+4 与 y 轴交点 C 坐标为 0,4，
由（1）得，B4,0，
设直线 BC 的解析式 y=kx+b，
∴ 4k+b=0,b=4,
解得 k=−1,b=4,
∴ 直线 BC 的解析式为 y=−x+4．
（3） 抛物线 y=−x2+3x+4 的对称轴为直线 x=32，
对称轴与直线 BC 的交点记为 D，则 D 点坐标为 32,52．
∵ 点 P 在抛物线的对称轴上，
∴ 设点 P 的坐标为 32,m，
∴ PD=∣m−52∣，
∴ S△PBC=12OB⋅PD=4，
∴ 12×4×∣m−52∣=4，
∴ m=92 或 m=12．
∴ 点 P 的坐标为 32,92 或 32,12．
22. （1） 连接 OD，如图，
∵ DF 是半圆的切线，
∴ OD⊥DF，
∴ ∠ODF=90∘，
∵ △ABC 为等边三角形，
∴ ∠C=∠A=∠B=60∘，AB=AC，
∵ OD=OC，
∴ ∠ODC=60∘，
∴ ∠ODC=∠A，
∴ OD∥AB，
∴ DF⊥AB．
（2） 在 Rt△ADF 中，∠A=60∘，
∴ ∠ADF=30∘，
∴ AD=2AF=2×2=4，
∵ OD∥AB，点 O 为 BC 的中点，
∴ OD 为 △ABC 的中位线，
∴ AD=CD=4，即 AC=8，
∴ AB=8，
∴ BF=AB−AF=6，
∵ FG⊥BC，
∴ ∠BGF=90∘，
在 Rt△BFG 中，sinB=sin60∘=FGFB，
∴ FG=6×32=33．
23. （1） ∵A2,2 在反比例函数 y=kx 的图象上，
∴k=4．
∴ 反比例函数的解析式为 y=4x．
又 ∵ 点 B12,n 在反比例函数 y=4x 的图象上，
∴12n=4，解得：n=8，
即点 B 的坐标为 12,8．
由 A2,2 、 B12,8 在一次函数 y=ax+b 的图象上，
得：2=2a+b,8=12a+b. 解得：a=−4,b=10.
∴ 一次函数的解析式为 y=−4x+10．
（2） 将直线 y=−4x+10 向下平移 m 个单位得直线的解析式为 y=−4x+10−m，
∵ 直线 y=−4x+10−m 与双曲线 y=4x 有且只有一个交点，
令 −4x+10−m=4x，得 4x2+m−10x+4=0，
∴Δ=m−102−64=0，
解得：m=2 或 m=18．
24. （1） ∵ AB=AC，∠A=36∘，
∴ ∠ABC=∠C=72∘．
∵ BE 平分 ∠ABC，
∴ ∠ABE=∠CBE=36∘．
∴ ∠BEC=180∘−∠C−∠CBE=72∘．
∴ ∠ABE=∠A，∠BEC=∠C，
∴ AE=BE，BE=BC．
∴ AE=BC．
（2） ∵ AC=AB 且 EF∥BC，
∴ AE=AF．
由旋转的性质可知：∠EʹAC=∠FʹAB，AEʹ=AFʹ，
在 △CAEʹ 和 △BAFʹ 中，
AC=AB,∠EʹAC=∠FʹAB,AEʹ=AFʹ,
∴ △CAEʹ≌△BAFʹ．
∴ CEʹ=BFʹ．
（3） 存在 CEʹ∥AB．
理由：由（1）可知 AE=BC，
所以，在 △AEF 绕点 A 逆时针旋转过程中，E 点经过的路径（圆弧）与过点 C 且与 AB 平行的直线 l 交于 M，N 两点．
如图：
①当点 Eʹ 与点 M 重合时，则四边形 ABCM 为等腰梯形，
∴ ∠BAM=∠ABC=72∘．
∵ ∠BAC=36∘，
∴ α=∠CAM=36∘．
②当点 Eʹ 与点 N 重合时，由 AB∥l 得，∠AMN=∠BAM=72∘．
∵ AM=AN，
∴ ∠ANM=∠AMN=72∘．
∴ ∠MAN=180∘−2×72∘=36∘．
∴ α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=72∘．
所以，当旋转角为 36∘ 或 72∘ 时，CEʹ∥AB．
25. （1） 把点 A4,0，B1,3 代入 y=ax2+bx，得 0=16a+4b,3=a+b.
解得 a=−1,b=4.
所以抛物线的表达式为 y=−x2+4x．
（2） 点 C 的坐标为 3,3．
又因为点 B 的坐标为 1,3，
所以 BC=2．
所以 S△ABC=12×2×3=3．
（3） 过点 P 作 PD⊥BH 交 BH 于点 D，
设点 Pm,−m2+4m，根据题意，得
BH=AH=3，HD=m2−4m，PD=m−1，
所以 S△ABP=S△ABH+S四边形HAPD−S△BPD，
6=12×3×3+123+m−1m2−4m−12m−13+m2−4m，
所以 3m2−15m=0．m1=0（舍去），m2=5．
所以点 P 坐标为 5,−5．
（4） △CMN 的面积为 52 或 292 或 5 或 17．
【解析】以点 C 、 M 、 N 为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：
①以点 M 为直角顶点且 M 在 x 轴上方时，S△CMN=52 ；
②以点 M 为直角顶点且 M 在 x 轴下方时，
S△CMN=292 ；
③以点 N 为直角顶点且 N 在 y 轴左侧时，
S△CMN=17 ；
④以点 N 为直角顶点且 N 在 y 轴右侧时，
S△CMN=5 ；
⑤以点 C 为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形．