2018_2019学年天津市红桥区九上期末数学试卷

这是一份2018_2019学年天津市红桥区九上期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 下列函数中是二次函数的是
A. y=3x−1B. y=x3−2x−3
C. y=x+12−x2D. y=3x2−1

2. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别为边 AB，AC 上的点，且 DE∥BC．若 AD=5，BD=10，AE=3，则 CE 的长为
A. 3B. 6C. 9D. 12

3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

4. 抛物线 y=3x−42+5 的顶点坐标为
A. −4,−5B. −4,5C. 4,−5D. 4,5

5. 从 2，0，π，3.14，6 这 5 个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是
A. 15B. 25C. 35D. 45

6. 对于双曲线 y=1−mx，当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小，则 m 的取值范围为
A. m>0B. m>1C. m<0D. m<1

7. 已知正三角形外接圆半径为 2，这个正三角形的边长是
A. 23B. 3C. 3D. 2

8. 已知，如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 D，C 在 ⊙O 上，连接 AD，BD，DC，AC，如果 ∠BAD=25∘，那么 ∠C 的度数是
A. 75∘B. 65∘C. 60∘D. 50∘

9. 如图，将 △ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 40∘ 到 △ABʹCʹ 的位置，连接 CCʹ，若 CCʹ∥AB，则 ∠BAC 的大小是
A. 55∘B. 60∘C. 65∘D. 70∘

10. 如图，将矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转到矩形 ABʹCʹDʹ 的位置，若旋转角为 20∘，则 ∠1 为
A. 110∘B. 120∘C. 150∘D. 160∘

11. 如图，PA，PB 切 ⊙O 于点 A，B，PA=10，CD 切 ⊙O 于点 E，交 PA，PB 于 C，D 两点，则 △PCD 的周长是
A. 10B. 18C. 20D. 22

12. 如图，点 A 在双曲线 y=kx 的第一象限的那一支上，AB 垂直于 y 轴于点 B，点 C 在 x 轴正半轴上，且 OC=2AB，点 E 在线段 AC 上，且 AE=3EC，点 D 为 OB 的中点，若 △ADE 的面积为 3，则 k 的值为
A. 16B. 163C. 143D. 9

二、填空题（共8小题；共40分）
13. 如果抛物线 y=m−1x2 的开口向上，那么 m 的取值范围是 ．

14. 如图，已知反比例函数 y=kx（k 为常数，k≠0）的图象经过点 A，过 A 点作 AB⊥x 轴，垂足为 B．若 △AOB 的面积为 1，则 k= ．

15. 如图，已知 △ADE∽△ABC，且 AD=3，DC=4，AE=2，则 BE= ．

16. 已知 △ABC 的三边长分别是 6，8，10，则 △ABC 外接圆的直径是 ．

17. 在电视台举办的“超级女生”比赛中，甲乙丙三位评委对选手的综合表现，分别给出“淘汰”或“通过”的结论．比赛规则设定：三位评委中至少有两位评委给出“通过”的结论，那么这位选手才能进入下一轮比赛．试问：对于选手A进入下一轮比赛的概率是 ．

18. 如图，沿直线 DE 折叠等边三角形纸片 △ABC，使 A 点落在 BC 边上任意一点 F 处（不与 B，C 重合）．已知 △ABC 边长为 28，D 为 AB 上一点，BD=15，BF=7，则 CE= ．

19. 如图，△ABC 是边长为 12 的等边三角形，D 是 BC 的中点，E 是直线 AD 上的一个动点，连接 EC，将线段 EC 绕点 C 逆时针旋转 60∘ 得到 FC，连接 DF．则在点 E 的运动过程中，DF 的最小值是 ．

20. 已知抛物线经过 A−4,0，B0,−4，C2,0 三点，若点 M 为第三象限内抛物线上一动点，△AMB 的面积为 S，则 S 的最大值为 ．

三、解答题（共6小题；共78分）
21. 甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次（若压线，重新转）．若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局．
（1）请用画树状图的方法，列出所有可能出现的结果；
（2）试用概率说明游戏是否公平．

22. 如图，已知点 A1,a 是反比例函数 y1=mx 的图象上一点，直线 y2=−12x+12 与反比例函数 y1=mx 的图象的交点为点 B，D，且 B3,−1，求：
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点 D 坐标，并直接写出 y1>y2 时 x 的取值范围；
（3）动点 Px,0 在 x 轴的正半轴上运动，当线段 PA 与线段 PB 之差达到最大时，求点 P 的坐标．

23. 已知：如图，D 是 AC 上一点，DE∥AB，∠B=∠DAE．
（1）求证：△ABC∽△DAE；
（2）若 AB=8，AD=6，AE=4，求 BC 的长．

24. 如图所示，AB 是 ⊙O 的直径，AD 与 ⊙O 相切于点 A，DE 与 ⊙O 相切于点 E，点 C 为 DE 延长线上一点，且 CE=CB．
（1）求证：BC 为 ⊙O 的切线；
（2）若 AB=4，AD=1，求线段 CE 的长．

25. 已知，△ABC 中，AB=AC，点 E 是边 AC 上一点，过点 E 作 EF∥BC 交 AB 于点 F．
（1）如图①，求证：AE=AF；
（2）如图②，将 △AEF 绕点 A 逆时针旋转 α0∘<α<144∘ 得到 △AEʹFʹ．连接 CEʹ，BFʹ．
①若 BFʹ=6，求 CEʹ 的长；
②若 ∠EBC=∠BAC=36∘，在图②的旋转过程中，当 CEʹ∥AB 时，直接写出旋转角 α 的大小．

26. 如图，二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象与 x 轴交于 A3,0，B−1,0 两点，与 y 轴相交于点 C0,−3．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）设 E 是 y 轴右侧抛物线上异于点 A 的一个动点，过点 E 作 x 轴的平行线交抛物线于另一点 F，过点 F 作 FG 垂直于 x 轴于点 G，再过点 E 作 EH 垂直于 x 轴于点 H，得到矩形 EFGH，则在点 E 的运动过程中，当矩形 EFGH 为正方形时，求出该正方形的边长；
（3）设 P 点是 x 轴下方的抛物线上的一个动点，连接 PA，PC，求 △PAC 面积的取值范围，若 △PAC 面积为整数时，这样的 △PAC 有几个?
答案
第一部分
1. D【解析】A选项：y=3x−1 是一次函数，故是错误的；
B选项：y=x3−2x−3 是三次函数，故是错误的；
C选项：y=x+12−x2=x2+2x+1−x2=2x+1 是一次函数，故是错误的；
D选项：y=3x2−1 是二次函数，故是正确的．
2. B【解析】∵DE∥BC，
∴ADBD=AEEC，即 510=3EC，
解得：EC=6．
3. D【解析】根据轴对称图形的定义，选项中轴对称图形有A，C，D，
根据中心对称图形的定义，选项中的中心对称图形有B，D，
综上可知，既是轴对称图形又是中心对称图形的是D．
4. D【解析】∵y=2x−42+5 是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为 4,5．
5. C
【解析】∵ 在 2，0，π，3.14，6 这 5 个数中只有 0，3.14 和 6 为有理数，
∴ 从 2，0，π，3.14，6 这 5 个数中随机抽取一个数，抽到有理数的概率是 35．
6. D【解析】∵ 双曲线 y=1−mx，当 x>0 时，y 随 x 的增大而减小，
∴1−m>0，解得：m<1．
7. A【解析】如图，OA=2，求 AB 长，∠AOB=360∘÷3=120∘，
连接 OA，OB，作 OC⊥AB 于点 C，
∵OA=OB，
∴AB=2AC，∠AOC=60∘，
∴AC=OA×sin60∘=3 cm，
∴AB=2AC=23 cm．
8. B【解析】∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ADB=90∘，
∵∠BAD=25∘，
∴∠B=65∘，
∴∠C=∠B=65∘（同弧所对的圆周角相等）．
9. D【解析】∵△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 40∘ 到 △ABʹCʹ 的位置，
∴AC=ACʹ，∠CACʹ=40∘，
∴∠ACʹC=∠ACCʹ=70∘，
∵CCʹ∥AB，
∴∠BAC=∠ACCʹ=70∘．
10. A
【解析】设 CʹDʹ 与 BC 交于点 E，如图所示：
∵ 旋转角为 20∘，
∴∠DADʹ=20∘，
∴∠BADʹ=90∘−∠DADʹ=70∘，
∵∠BADʹ+∠B+∠BEDʹ+∠Dʹ=360∘，
∴∠BEDʹ=360∘−70∘−90∘−90∘=11∘，
∴∠1=∠BEDʹ=110∘．
11. C【解析】∵PA，PB 切 ⊙O 于点 A，B，CD 切 ⊙O 于点 E，
∴PA=PB=10，CA=CE，DE=DB，
∴△PCD 的周长是：
PC+CD+PD=PC+AC+DB+PD=PA+PB=10+10=20．
12. B【解析】连 DC，如图，
∵AE=3EC，△ADE 的面积为 3，
∴△CDE 的面积为 1，
∴△ADC 的面积为 4，
设 A 点坐标为 a,b，则 AB=a，OC=2AB=2a，
而点 D 为 OB 的中点，
∴BD=OD=12b，
∵S梯形OBAC=S△ABD+S△ADC+S△ODC，
∴12a+2a×b=12a×12b+4+12×2a×12b，
∴ab=163，
把 Aa,b 代入双曲线 y=kx，
∴k=ab=163．
第二部分
13. m>1
【解析】∵ 抛物线 y=m−1x2 的开口向上，
∴m−1>0，即 m>1，故 m 的取值范围是 m>1．
14. −2
【解析】依据比例系数 k 的几何意义，可得两个三角形的面积都等于 12k=1，解得 k=−2．
15. 8.5
【解析】∵AD=3，DC=4，
∴AC=AD+DC=3+4=7，
∵△ADE∽△ABC，
∴ADAB=AEAC，
即 3AB=27，
解得 AB=10.5，
∴DE=AB−AE=10.5−2=8.5．
16. 10
【解析】如图，
∵ AC=6，BC=8，AB=10，
∴ AC2+BC2=AB2，
∴ ∠C=90∘，
∴ △ABC 的外接圆的半径是 12×10=5，即外接圆的直径是 10．
17. 12
【解析】树状图如下：
对于A选手，进入下一轮比赛的概率是 48=12．
18. 495
【解析】∵△ABC 为等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60∘，
从折叠知，∠DFE=∠A=60∘，
在 △BDF 中，∠BDF+∠BFD=180∘−∠B=120∘，∠DFB+∠EFC=180∘−∠DFE=120∘，
∴∠BDF=∠EFC，
又 ∵∠B=∠C=60∘，
∴△DBF∽△FCE，
∴DBBF=FCCE，
即 157=28−7CE，
解得 CE=495．
19. 3
【解析】取线段 AC 的中点 G，连接 EG，如图所示．
∵△ABC 为等边三角形，且 AD 为 △ABC 的对称轴，
∴CD=CG=12AB=3，∠ACD=60∘，
∵∠ECF=60∘，
∴∠FCD=∠ECG．
在 △FCD 和 △ECG 中，FC=EC,∠FCD=∠ECG,DC=GC,
∴△FCD≌△ECGSAS，
∴DF=GE．
当 EG∥BC 时，EG 最小，
∵ 点 G 为 AC 的中点，
∴ 此时 EG=DF=12CD=14BC=3．
20. 4
【解析】设抛物线解析式为 y=ax+4x−2，将 B0,−4 代入得：−4=−8a，即 a=12，
则抛物线解析式为 y=12x+4x−2=12x2+x−4．
过 M 作 MN⊥x 轴，
设 M 的横坐标为 m，则 Mm,12m2+m−4，
∴MN=12m2+m−4=−12m2−m+4，ON=−m，
∵A−4,0，B0,−4，
∴OA=OB=4，
∴△AMB 的面积为
S=S△AMN+S梯形MNOB−S△AOB=12×4+m×−12m2−m+4+12×−m×−12m2−m+4+4−12×4×4=2−12m2−m+4−2m−8=−m2−4m=−m+22+4,
当 m=−2 时，S 取得最大值，最大值为 4．
第三部分
21. （1）
所有可能出现的结果：（红，红），（红，黄），（红，绿），（黄，红），（黄，黄），（黄，绿），（绿，红），（绿，黄），（绿，绿）．
（2） P甲获胜=39=13，P乙获胜=29，
∵P甲获胜>P乙获胜，
∴ 游戏不公平．
22. （1） ∵B3,−1 在反比例函数 y1=mx 的图象上，
∴−1=m3，
∴m=−3，
∴ 反比例函数的解析式为 y=−3x．
（2） y=−3x,y=−12x+12,
∴−3x=−12x+12，
x2−x−6=0，x−3x+2=0，x1=3，x2=−2，
当 x=−2 时，y=32，
∴D−2,32；
y1>y2 时 x 的取值范围是 −232．
（3） ∵A1,a 是反比例函数 y1=mx 的图象上一点，
∴a=−3，
∴A1,−3，
设直线 AB 为 y=kx+b，k+b=−3,3k+b=−1,
∴k=1,b=−4,
∴ 直线 AB 为 y=x−4，令 y=0，则 x=4，
∴P4,0．
23. （1） ∵DE∥AB，
∴∠ADE=∠CAB．
∵∠B=∠DAE，
∴△ABC∽△DAE．
（2） ∵△ABC∽△DAE
∴BCAE=ABAD．
∵AB=8，AD=6，AE=4，
∴BC4=86．
∴BC=163．
24. （1） 连接 OE，OC，如图所示：
∵DE 与 ⊙O 相切于点 E，
∴∠OEC=90∘，
在 △OBC 和 △OEC 中，
∵OB=OE,CB=CE,OC=OC,
∴△OBC≌△OECSSS，
∴∠OBC=∠OEC=90∘，
∴BC 为 ⊙O 的切线．
（2） 过点 D 作 DF⊥BC 于 F，如图所示．
设 CE=x，
∵CE，CB 为 ⊙O 切线，
∴CB=CE=x，
∵DE，DA 为 ⊙O 切线，
∴DE=DA=1，
∴DC=x+1，
∵∠DAB=∠ABC=∠DFB=90∘，
∴ 四边形 ADFB 为矩形，
∴DF=AB=4，BF=AD=1，
∴FC=x−1，
Rt△CDF 中，根据勾股定理得：x+12−x−12=16，解得：x=4，
∴CE=4．
25. （1） ∵ AB=AC，
∴ ∠ABC=∠C，
∵ EF∥BC，
∴ ∠AFE=∠B，∠AEF=∠C，
∴ ∠AFE=∠AEF，
∴ AE=AF．
（2） ①由旋转的性质得，∠EʹAC=∠FʹAB，AEʹ=AFʹ，
在 △CAEʹ 和 △BAFʹ 中，
AEʹ=AFʹ,∠EʹAC=∠FʹAB,AB=AC,
∴△CAEʹ≌△BAFʹSAS，
∴CEʹ=BFʹ=6．
②旋转角 α 为 36∘ 或 72∘．
【解析】②由（1）可知 AE=BC，
∴ 在 △AEF 绕点 A 逆时针旋转过程中，点 E 经过的路径（圆弧）与过点 C 且与 AB 平行的直线 l 相交于点 M，N，如图，
①当点 E 的对应点 Eʹ 与点 M 重合时，四边形 ABCM 是等腰梯形，
∴∠BAM=∠ABC=72∘，
又 ∠BAC=36∘，
∴ α=∠CAM=36∘；
②当点 E 的对应点 Eʹ 与点 N 重合时，
∵CEʹ∥AB，
∴∠AMN=∠BAM=72∘，
∵AM=AN，
∴∠ANM=∠AMN=72∘，
∴∠MAN=180∘−72∘×2=36∘，
∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=36∘+36∘=72∘，
综上所述，旋转角 α 为 36∘ 或 72∘．
26. （1） 设抛物线解析式为 y=ax+1x−3，
把 C0,−3 代入得 −3a=−3，解得 a=1，
∴ 抛物线解析式为 y=x+1x−3，即 y=x2−2x−3．
（2） 抛物线的对称轴为直线 x=1，
设 Et,t2−2t−3，
当 0 ∵ 矩形 EFGH 为正方形，
∴EF=EH，即 21−t=−t2−2t−3，
整理得 t2−4t−1=0，解得 t1=2+5（舍去），t2=2−5（舍去）；
当 1 ∵ 矩形 EFGH 为正方形，
∴EF=EH，即 2t−1=−t2−2t−3，
整理得 t2−5=0，解得 t1=5，t2=−5（舍去），
此时正方形 EFGH 的边长为 25−2；
当 t>3 时，EF=2t−1，EH=t2−2t−3，
∵ 矩形 EFGH 为正方形，
∴EF=EH，即 2t−1=t2−2t−3，
整理得 t2−4t−1=0，解得 t1=2+5，t2=2−5（舍去），
此时正方形 EFGH 的边长为 25+2，
综上所述，正方形 EFGH 的边长为 25−2 或 25+2．
（3） 设 Px,x2−2x−3，
当 −1 ∵S△ABC=12×4×3=6，
∴0当 0易得直线 AC 的解析式为 y=x−3，则 Mx,x−3，
∴PM=x−3−x2−2x−3=−x2+3x，
∴S△APC=12×3−x2+3x=−32x2+92x=−32x−322+278，
当 x=32 时，S△APC 的面积的最大值为 278，
即 0综上所述，0 ∴△PAC 面积为整数时，它的值为 1，2，3，4，5，即 △PAC 有 5 个．