专题04 中考图形折叠问题-年中考数学专题拓展提高讲练（教师版）

这是一份专题04 中考图形折叠问题-年中考数学专题拓展提高讲练（教师版），共13页。试卷主要包含了考点解析，考点分类等内容，欢迎下载使用。
1.考点解析
中考数学中，经常通过折叠操作类问题考查学生的数、形结合的数学思想方法和空间想象能力，题目灵活多变，趣味性强，更为引导学生在数学学习与生活相联系中激发兴趣，体会数学学习的快乐。几何图形的折叠问题，实质上是轴对称问题。解答这类问题的关键是根据轴对称的性质，找准折叠前后的两个全等图形。确定其中对应角相等、对应线段相等。折痕平分线段、平分角等条件。
2.考点分类：考点分类见下表
【方法点拨】 1. 要注意折叠前后线段、角的变化，全等图形的构造； B 通常要设求知数可以是未知的线段或者未知的角度； C 利用勾股定理构造方程。
一、中考题型分析
中考图形折叠问题在近几年的中考中出现的频率还是非常高的，一般以填空题或者解答题的形式出现，一般以角度的计算，或者求线段长度的问题为主，占4-8分左右，此类题目难度中等，在后面的压轴题目的小问中也有可能出现，一般占分4分左右，难度较大，需要学生对折叠图形前后的变化有充分的认识与理解。
二、典例精析
★考点一：求角的度数
◆典例一：如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=【 】
A．150° B．210° C．105° D．75°
【考点】翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理。
【总结】抓住翻折以后的角度相等，再根据三角形内角和180得出相应的数量关系
◆典例二：如图，在平行四边形ABCD中，∠A=70°，将平行四边形折叠，使点D、C分别落在点F、E处（点F、E都在AB所在的直线上），折痕为MN，则∠AMF等于【 】
A．70° B．40° C．30° D．20°
【考点】翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，平行线的性质，平角的定义。
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD。
∵根据折叠的性质可得：MN∥AE，∠FMN=∠DMN，∴AB∥CD∥MN。
∵∠A=70°，∴∠FMN=∠DMN=∠A=70°。
∴∠AMF=180°－∠DMN－∠FMN=180°－70°－70°=40°。故选B。
【总结】研究角度首先要抓住相等的角，再根据平行线的性质得出角度的相等关系，进行一定的等量代换。
★考点二：求线段长度
◆典例一：如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别和AE、AF折叠，点B、D恰好都将在点G处，已知BE=1，则EF的长为【 】
A． B． C． D．3
【考点】翻折变换（折叠问题），正方形的性质，折叠的性质，勾股定理。
【总结】利用折叠之后的线段相等，核心步骤是设长度为x，然后去表示相关的一些线段长度，利用勾股定理列出方程。
◆典例二：如图，矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A
恰好落在边BC的点F处．若AE＝5，BF＝3，则CD的长是【 】
A．7 B．8 C．9 D．10
【考点】折叠的性质，矩形的性质，勾股定理。
【解析】根据折叠的性质，EF=AE＝5；根据矩形的性质，∠B=900。
在Rt△BEF中，∠B=900，EF＝5，BF＝3，
∴根据勾股定理，得。
∴CD=AB=AE＋BE=5＋4=9。故选C。
★考点三：求图形面积
◆典例一：如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝，则四边形MABN的面积是【 】
A． B． C． D．
【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，相似三角形的判定和性质，
【解析】连接CD，交MN于E，
【总结】利用折叠的性质，注意要用线段相等，因为面积和长度的关系更近。然后抓住相等关系和相似关系得出面积关系，从而解出此题。 ￥
◆典例二：如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为【 】
A．9：4 B．3：2 C．4：3 D．16：9
【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质。
【解析】设BF=x，则由BC=3得：CF=3﹣x，由折叠对称的性质得：B′F=x。
★考点四：求周长问题
◆典例一：如图，已知正方形ABCD的对角线长为2，将正方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为 ▲
【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的对称性质，正方形的性质，勾股定理。
【解析】如图，∵正方形ABCD的对角线长为2，即BD=2，∠A=90°，AB=AD，∠ABD=45°，
∴AB=BD•cs∠ABD=BD•cs45°=2。
∴AB=BC=CD=AD=2。
由折叠的性质：A′M=AM，D′N=DN，A′D′=AD，
∴图中阴影部分的周长为
A′M+BM+BC+CN+D′N+A′D′=AM+BM+BC+CN+DN+AD=AB+BC+CD+AD=2+2+2+2=8。
【总结】根据折叠的性质与正方形的特征，找到一些线段的长度关系，再利用勾股定理，三角函数得出其他的一些线段长度
◆典例二：如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5点E、F分别在AB、CD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处，则阴影部分图形的周长为【 】
A.15 B.20 C.25 D.30
【考点】翻折变换（折叠问题），矩形和折叠的性质。
【解析】根据矩形和折叠的性质，得A1E=AE，A1D1=AD，D1F=DF，则阴影部分的周长即为矩形的周长，
为2（10+5）=30。故选D。
★考点四：求比值问题
◆典例一：如图，菱形纸片ABCD中，∠A=600，将纸片折叠，点A、D分别落在A’、D’处，且A’D’经过B，EF为折痕，当D’FCD时，的值为【 】
A. B. C. D.
【考点】翻折变换（折叠问题），菱形的性质，平行的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【解析】延长DC与A′D′，交于点M，
【总结】根据折叠与菱形的性质得出线段长度之间的关系，利用特殊角度和三角函数找出直角三角形的边之间的关系，从而求出答案。
◆典例二：如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，
折痕为MN，连结CN．若△CDN的面积与△CMN的面积比为1︰4，则 的值为【 】
A．2B．4 C．D．
【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的性质，矩形、菱形的判定和性质，勾股定理。
【解析】过点N作NG⊥BC于G，由四边形ABCD是矩形，易得四边形CDNG是矩形，又由折叠的性质，可得四边形AMCN是菱形，由△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得DN：CM=1：4，然后设DN=x，由勾股定理可求得MN的长，从而求得答案：
1. 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为【 】
A． B． C． D．
【考点】翻折变换（折叠问题），矩形的性质和判定，折叠对称的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。 @
【解析】过点E作EM⊥BC于M，交BF于N。
2. 折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种培养手
指灵活性、协调能力的游戏，更是培养智力的一种手段．在折纸中，蕴涵许多数学知识，我们还可以通过
折纸验证数学猜想．把一张直角三角形纸片按照图①～④的过程折叠后展开，请选择所得到的数学结论
【 】
A．角的平分线上的点到角的两边的距离相等
B．在直角三角形中，如果一个锐角等于30º，那么它所对的直角边等于斜边的一半
C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
D．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
【考点】翻折变换（折叠问题）。
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么线段DE的长为 ▲ ．
【考点】翻折变换（折叠问题），折叠对称的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质。
【解析】∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，
∴。
∵将△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，∴∠ADB=∠EDB，DE=AD。
∵AD⊥ED，∴∠CDE=∠ADE=90°，
∴∠EDB=∠ADB=。
∴∠CDB=∠EDB﹣∠CDE=135°－90°=45°。
∵∠C=90°，∴∠CBD=∠CDB=45°。
∴CD=BC=1。∴DE=AD=AC﹣CD=。
.4. 如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°．∠BAC的平分线与AB的中垂线交于点O，点C沿EF折叠后与点O重合，则∠CEF的度数是 ▲ ．
【考点】翻折变换(折叠问题)，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定和性质。
∵点C沿EF折叠后与点O重合，∴EO＝EC，∠CEF＝∠FEO。
∴∠CEF＝∠FEO＝（1800－2×400）÷2＝50°。
5. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE折叠，使点B落在AC上的点B′处，又将△CEF沿EF折叠，使点C落在EB′与AD的交点C′处．则BC：AB的值为 ▲ 。
【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的性质，矩形的性质，平行的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。 @
6.如图，将正方形ABCD沿BE对折，使点A落在对角线BD上的A′处，连接A′C，则∠BA′C= ▲ 度．
【考点】折叠问题，折叠的对称性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理，平角定义。
【解析】由折叠的对称和正方形的性质，知△ABE≌△A′BE，
∴∠BEA′=67.50，△A′DE是等腰直角三角形。
设AE=A′E=A′D =x，则ED=。设CD=y，则BD=。
∴。∴。
又∵∠EDA′=∠A′DC=450，∴△EDA′∽△A′DC。∴∠DA′C=∠DEA′=67.50＋450=112.50。
∴∠BA′C=1800－112.50=67.50。
7.如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，半径OA=6．将扇形OAB沿过点B的直
线折叠，点O恰好落在 上点D处，折痕交OA于点C，求整个阴影部分的周长和面积．
【考点】翻折变换（折叠问题），等边三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，弧长的扇形面积的计算。
考点分类
考点内容
考点分析与常见题型
常考热点
矩形性质、勾股定理
求线段长度或者面积
一般考点
三角形内角和定理
求角度或关系
冷门考点
三角函数
三角函数值或者求角度