2018年广东省深圳市龙岗区宏杨学校中考二模数学试卷（期中）

这是一份2018年广东省深圳市龙岗区宏杨学校中考二模数学试卷（期中），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 12 的倒数是
A. 2B. −2C. 12D. −12

2. 下列美丽的图案，是轴对称图形但不是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 用科学记数法表示 316000000 为
A. 3.16×107B. 3.16×108C. 31.6×107D. 31.6×106

4. 下列计算正确的是
A. x+x2=x3B. x2⋅x3=x6C. x32=x6D. x9÷x3=x3

5. 在一个口袋中有 4 个完全相同的小球，把它们分别标号为 1，2，3，4，随机地摸出一个小球不放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号的和为奇数的概率是
A. 13B. 23C. 16D. 56

6. 已知 a，b 满足方程组 a+5b=12,3a−b=4, 则 a+b 的值为
A. −4B. 4C. −2D. 2

7. 等腰三角形的两边分别为 1 和 2，则其周长为
A. 4B. 5C. 4 或 5D. 无法确定

8. 不等式组 3x≥9,x<5 的整数解共有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

9. 如图，直线 m∥n，直角三角板 ABC 的顶点 A 在直线 m 上，则 ∠α 等于
A. 19∘B. 38∘C. 42∘D. 52∘

10. 如图，在 △ABC 中，∠C=90∘，BC=3，D，E 分别在 AB，AC 上，将 △ADE 沿 DE 翻折后，点 A 落在点 Aʹ 处，若 Aʹ 为 CE 的中点，则折痕 DE 的长为
A. 12B. 3C. 2D. 1

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 若二次根式 3x−2 有意义，则 x 的取值范围是 ．

12. 分解因式：m2n−2mn+n= ．

13. 一个扇形的圆心角为 120∘，半径为 3，则这个扇形的面积为 （结果保留 π）．

14. 方程 2x−3=3x 的解是 ．

15. 如图，在平行四边形 ABCD 中，BE 平分 ∠ABC，BC=6，DE=2，则平行四边形 ABCD 的周长等于 ．

16. 若 12n−12n+1=a2n−1+b2n+1，对任意自然数 n 都成立，则 a= ，b= ；计算：m=11×3+13×5+15×7+⋯+119×21= ．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 计算：15−1−20150+12−2sin60∘．

18. 解方程组：2x−y=5,x−1=122y−1.

19. 一副直角三角板如图放置，点 C 在 FD 的延长线上，AB∥CF，∠F=∠ACB=90∘，∠E=45∘，∠A=60∘，AC=10，试求 CD 的长．

20. 已知关于 x 的方程 x2+2x+a−2=0．
（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数 a 的取值范围；
（2）当该方程的一个根为 1 时，求 a 的值及方程的另一根．

21. 课前预习是学习数学的重要环节，为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，王老师对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，A：很好；B：较好；C：一般；D：较差．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：
（1）王老师一共调查了多少名同学?
（2）C类女生有 名，D类男生有 名，将上面条形统计图补充完整；
（3）为了共同进步，王老师想从被调查的A类和D类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．

22. 如图，AC 是 ⊙O 的直径，点 B 在 ⊙O 上，∠ACB=30∘．
（1）利用尺规作 ∠ABC 的平分线 BD，交 AC 于点 E，交 ⊙O 于点 D，连接 CD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，求 △ABE 与 △CDE 的面积之比．

23. 一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y=mx 的图象交于 A1,4，B−2,n 两点．
（1）求 m 和 n 的值；
（2）求 k 和 b 的值；
（3）结合图象直接写出不等式 mx−kx−b>0 的解集．

24. 在 Rt△ABC 中，∠A=90∘，AC=AB=4，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，若等腰 Rt△ADE 绕点 A 逆时针旋转，得到等腰 Rt△AD1E1，设旋转角为 α0<α≤180∘，记直线 BD1 与 CE1 的交点为 P．
（1）如图 1，当 α=90∘ 时，线段 BD1 的长等于 ，线段 CE1 的长等于 （直接填写结果）；
（2）如图 2，当 α=135∘ 时，求证：BD1=CE1，且 BD1⊥CE1；
（3）求点 P 到 AB 所在直线的距离的最大值（直接写出结果）．

25. 已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A−1,0，B3,0，C0,3 三点，直线 l 是抛物线的对称轴．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）设点 P 是直线 l 上的一个动点，当 △PAC 的周长最小时，求点 P 的坐标；
（3）在直线 l 上是否存在点 M，使 △MAC 为等腰三角形?若存在，直接写出所有符合条件的点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）若抛物线顶点为 D，点 Q 为直线 AC 上一动点，当 △DOQ 的周长最小时，求点 Q 的坐标．
答案
第一部分
1. A【解析】12 的倒数是 2．
2. B【解析】A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意．
3. B【解析】将 316000000 用科学记数法表示为：3.16×108．
4. C【解析】A．原式不能合并，错误；
B．原式=x5，错误；
C．原式=x6，正确；
D．原式=x6，错误．
5. B
【解析】列表得：
12341−−−2,13,14,121,2−−−3,24,231,32,3−−−4,341,42,43,4−−−
所有等可能的情况有 12 种，其中之和为奇数的情况有 8 种，则 P=812=23．
6. B【解析】法 1：a+5b=12, ⋯⋯①3a−b=4, ⋯⋯②
①+②×5 得：16a=32，即 a=2，
把 a=2 代入 ① 得：b=2，
则 a+b=4，
法 2：①+② 得：4a+4b=16，
则 a+b=4，
故选：B．
7. B【解析】由题意可知，三角形为等腰三角形．
又由三边关系得出三角形第三边只能是 2，
∴ 周长是 5．
若另一边是 1 的话，则 1+1=2 不成立．
8. B
9. D
10. D
【解析】∵△AʹDE由△ADE 翻折而成，
∴AE=AʹE，
∵Aʹ 为 CE 的中点，
∴AE=AʹE=12CE，
∴AE=13AC，AEAC=13，
∵∠C=90∘，DE⊥AC，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=AEBC=13，DE3=13，解得 DE=1．
第二部分
11. x≥23
【解析】根据题意得 3x−2≥0，解得 x≥23．
12. nm−12
【解析】原式=nm2−2m+1=nm−12.
13. 3π
【解析】由题意得，n=120∘，R=3，
故 S扇形=nπR2360=120π×32360=3π．
故答案为：3π．
14. x=9
【解析】去分母得：2x=3x−9，解得：x=9．
经检验 x=9 是分式方程的解．
15. 20
【解析】∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AE∥BC，AD=BC，AB=CD ．
∴∠AEB=∠EBC ．
∵BE 平分 ∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC ．
∴∠ABE=∠AEB ．
∴AB=AE ．
∴AE+DE=AD=BC=6 ．
∴AE+2=6 ．
∴AE=4 ．
∴AB=CD=4 ．
∴ 平行四边形 ABCD 的周长为 4+4+6+6=20．
16. 12，−12，1021
【解析】12n−12n+1=a2n−1+b2n+1=a2n+1+b2n−12n−12n+1，
可得 2na+b+a−b=1，即 a+b=0,a−b=1,
解得 a=12,b=−12.
m=121−13+13−15+⋯+119−121=121−121=1021．
第三部分
17. 原式=5−1+23−2×32=4+23−3=4+3.
18. 原方程组可化为
2x−y=5, ⋯⋯①x−y=12. ⋯⋯②①−②
得，
x=92.
把 x=92 代入 ① 得，
9−y=5.
解得
y=4.
故方程组的解为
x=92,y=4.
19. 过点 B 作 BM⊥FD 于点 M．

∵∠ACB=90∘，∠A=60∘，AC=10，
∴∠ABC=30∘，BC=103．
∵AB∥CF，
∴∠ABC=∠BCM=30∘．
∵sin∠BCM=BMBC，cs∠BCM=CMBC，
∴BM=BC⋅sin30∘=53，CM=BC⋅cs∠BCM=15．
∵∠F=90∘，∠E=45∘，
∴∠EDF=45∘，
∴BM=DM=53．
∴CD=CM−DM=15−53．
20. （1） 依题意有 Δ=22−4a−2>0，解得 a<3．
（2） 依题意得 1+2+a−2=0，解得 a=−1．
∴ 原方程为 x2+2x−3=0，解得 x1=1，x2=−3．
∴a=−1，方程的另一根为 x2=−3．
21. （1） 6+4÷50%=20．
所以王老师一共调查了 20 名学生．
（2） 3；1；
补充条形统计图：
【解析】C类学生人数：20×25%=5（名），
C类女生人数：5−2=3（名），
D类学生占的百分比：1−15%−50%−25%=10%，
D类学生人数：20×10%=2（名），
D类男生人数：2−1=1（名），
故C类女生有 3 名，D类男生有 1 名．
（3） 由题意画树形图如下：
从树形图看出，所有可能出现的结果共有 6 种，且每种结果出现的可能性相等，
所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果共有 3 种．
所以 P所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学=36=12．
22. （1） 如图所示．
（2） 如图，连接 OD，设 ⊙O 的半径为 r．
∵∠BAE=∠CDE，∠AEB=∠DEC，
∴△ABE∽△DCE，
在 Rt△ACB 中，∠ABC=90∘，∠ACB=30∘，
∴AB=12AC=r，
∵∠ABD=∠ACD=45∘，
∴OD=OC，
∴∠OCD=∠ODC=45∘，
∴∠DOC=90∘，
在 Rt△ODC 中，DC=OD2+OC2=2r，
∴S△ABES△CDE=ABDC2=r2r2=12．
23. （1） ∵ 反比例函数 y=mx 的图象过点 A1,4，B−2,n 两点，
∴4=m1，得 m=4；
∴n=4−2，得 n=−2．
即 m 的值是 4，n 的值是 −2．
（2） ∵ 一次函数 y=kx+b 与反比例函数 y=mx 的图象交于 A1,4，B−2,−2 两点，
∴4=k+b,−2=−2k+b,，得 k=2,b=2, 即 k 的值是 2，b 的值是 2．
（3） 由图象可知，mx−kx−b>0，
不等式 mx−kx−b>0 的解集是 x<−2 或 024. （1） 25；25
【解析】∵∠A=90∘，AC=AB=4，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，
∴AE=AD=2，
∵ 等腰 Rt△ADE 绕点 A 逆时针旋转，得到等腰 Rt△AD1E1，设旋转角为 α0<α≤180∘，
∴ 当 α=90∘ 时，AE1=2，∠E1AE=90∘，
∴BD1=42+22=25，E1C=42+22=25．
（2） 当 α=135∘ 时，如图 2．
∵Rt△AD1E1 是由 Rt△ADE 绕点 A 逆时针旋转 135∘ 得到，
∴AD1=AE1，∠D1AB=∠E1AC=135∘，
在 △D1AB 和 △E1AC 中，
∵AD1=AE1,∠D1AB=∠E1AC,AB=AC,
∴△D1AB≌△E1ACSAS，
∴BD1=CE1，且 ∠D1BA=∠E1CA，
记直线 BD1 与 AC 交于点 F，
∴∠BFA=∠CFP，
∴∠CPF=∠FAB=90∘，
∴BD1⊥CE1．
（3） PG=1+3．
【解析】如图 3，作 PG⊥AB，交 AB 所在直线于点 G．
∵D1，E1 在以 A 为圆心，AD 为半径的圆上，
当 BD1 所在直线与 ⊙A 相切时，直线 BD1 与 CE1 的交点 P 到直线 AB 的距离最大，
此时四边形 AD1PE1 是正方形，PD1=2，则 BD1=42−22=23，
故 ∠ABP=30∘，则 PB=2+23，
故点 P 到 AB 所在直线的距离的最大值为：PG=1+3．
25. （1） 将 A−1,0，B3,0，C0,3 代入抛物线 y=ax2+bx+c 中，得：
a−b+c=0,9a+3b+c=0,c=3,
解得：a=−1,b=2,c=3,
∴ 抛物线的解析式：y=−x2+2x+3．
【解析】∵A−1,0，B3,0，C0,3，
∴y=−x+1x−3，
即 y=−x2+2x+3．
（2） 连接 BC，直线 BC 与直线 l 的交点为 P；
∵ 点 A，B 关于直线 l 对称，
∴PA=PB，
∴BC=PC+PB=PC+PA，
设直线 BC 的解析式为 y=kx+bk≠0，将 B3,0，C0,3 代入上式，
得：3k+b=0,b=3, 解得：k=−1,b=3,
∴ 直线 BC 的函数关系式 y=−x+3；
当 x=1 时，y=2，即 P 的坐标 1,2．
【解析】连接 BC，
∵l 为对称轴，
∴PB=PA，
∴C，B，P 三点共线时，△PAC 周长最小，把 x=1 代入 lBC:y=−x+3，得 P1,2．
（3） 抛物线的对称轴为：x=−b2a=1，设 M1,m，
已知 A−1,0，C0,3，则：MA2=m2+4，MC2=3−m2+1=m2−6m+10，AC2=10；
①若 MA=MC，则 MA2=MC2，
得：m2+4=m2−6m+10，得：m=1；
②若 MA=AC，则 MA2=AC2，
得：m2+4=10，得：m=±6；
③若 MC=AC，则 MC2=AC2，
得：m2−6m+10=10，得：m1=0，m2=6；
当 m=6 时，M，A，C 三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；
综上可知，符合条件的 M 点，且坐标为 M1,61,−61,11,0．
【解析】设 M1,t，A−1,0，C0,3，
∵△MAC 为等腰三角形，
∴MA=MC，MA=AC，MC=AC，
1+12+t−02=1−02+t−32，
∴t=1，
1+12+t−02=−1−02+0−32，
∴t=±6，
1−02+t−32=−1−02+0−32，
∴t1=6，t2=0，
经检验，t=6 时，M，A，C 三点共线，故舍去，
综上可知，符合条件的点有 4 个，M11,6，M21,−6，M31,1，M41,0．
（4） 作点 O 关于直线 AC 的对称点 O 交 AC 于 H，作 HG⊥AO，垂足为 G，
∴∠AHG+∠GHO=90∘，∠AHG+∠GAH=90∘，
∴∠GHO=∠GAH，
∴△GHO∽△GAH，
∴HG2=GO⋅GA，
∵A−1,0，C0,3，
∴lAC:y=3x+3，H−910,310，
∵H 为 OOʹ 的中点，
∴Oʹ−95,35，
∵D1,4，
∴lOʹD:y=1714x+3914，lAC:y=3x+3，
∴x=−325，y=6625，
∴Q−325,6625．