2018_2019学年北京市海淀区九上期末数学试卷

这是一份2018_2019学年北京市海淀区九上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 抛物线 y=x−12+2 的对称轴是
A. 直线 x=−1B. 直线 x=1C. 直线 x=−2D. 直线 x=2

2. 在 △ABC 中，∠C=90∘．若 AB=3，BC=1，则 sinA 的值为
A. 13B. 22C. 223D. 3

3. 如图，线段 BD，CE 相交于点 A，DE∥BC．若 AB=4，AD=2，DE=1.5，则 BC 的长为
A. 1B. 2C. 3D. 4

4. 如图，将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 100∘，得到 △ADE．若点 D 在线段 BC 的延长线上，则 ∠B 的大小为
A. 30∘B. 40∘C. 50∘D. 60∘

5. 如图，△OAB∽△OCD，OA:OC=3:2，∠A=α，∠C=β，△OAB 与 △OCD 的面积分别是 S1 和 S2，△OAB 与 △OCD 的周长分别是 C1 和 C2，则下列等式一定成立的是
A. OBCD=32B. αβ=32C. S1S2=32D. C1C2=32

6. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 从 3,4 出发，绕点 O 顺时针旋转一周，则点 A 不经过
A. 点 MB. 点 NC. 点 PD. 点 Q

7. 如图，反比例函数 y=kx 的图象经过 A4,1，当 y<1 时，x 的取值范围是
A. x<0 或 x>4B. 04

8. 两个少年在绿茵场上游戏．小红从点 A 出发沿线段 AB 运动到点 B，小兰从点 C 出发，以相同的速度沿 ⊙O 逆时针运动一周回到点 C，两人的运动路线如图 1 所示，其中 AC=DB．两人同时开始运动，直到都停止运动时游戏结束，其间他们与点 C 的距离 y 与时间 x（单位：秒）的对应关系如图 2 所示．则下列说法正确的是
A. 小红的运动路程比小兰的长
B. 两人分别在 1.09 秒和 7.49 秒的时刻相遇
C. 当小红运动到点 D 的时候，小兰已经经过了点 D
D. 在 4.84 秒时，两人的距离正好等于 ⊙O 的半径

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 方程 x2−2x=0 的根为 ．

10. 已知 ∠A 为锐角，且 tanA=3，那么 ∠A 的大小是 ∘．

11. 若一个反比例函数图象的每一支上，y 随 x 的增大而减小，则此反比例函数表达式可以是 ．（写出一个即可）

12. 如图，抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为直线 x=1，点 P，点 Q 是抛物线与 x 轴的两个交点，若点 P 的坐标为 4,0，则点 Q 的坐标为 ．

13. 若一个扇形的圆心角为 60∘，面积为 6π，则这个扇形的半径为 ．

14. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，PA，PC 分别与 ⊙O 相切于点 A，点 C，若 ∠P=60∘，PA=3，则 AB 的长为 ．

15. 在同车道行驶的机动车，后车应当与前车保持足以采取紧急制动措施的安全距离．如图，在一个路口，一辆长为 10 m 的大巴车遇红灯后停在距交通信号灯 20 m 的停止线处，小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶．设小张距大巴车尾 x m，若大巴车车顶高于小张的水平视线 0.8 m，红灯下沿高于小张的水平视线 3.2 m，若小张能看到整个红灯，则 x 的最小值为 ．

16. 下面是“作一个 30∘ 角”的尺规作图过程．
已知：平面内一点 A．
求作：∠A，使得 ∠A=30∘．
作法：如图，
（1）作射线 AB；
（2）在射线 AB 上取一点 O，以 O 为圆心，OA 为半径作圆，与射线 AB 相交于点 C；
（3）以 C 为圆心，OC 为半径作弧，与 ⊙O 交于点 D，作射线 AD．∠DAB 即为所求的角．
请回答：该尺规作图的依据是 ．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：2sin30∘−2cs45∘+8．

18. 已知 x=1 是关于 x 的方程 x2−mx−2m2=0 的一个根，求 m2m+1 的值．

19. 如图，在 △ABC 中，∠B 为锐角，AB=32，AC=5，sinC=35，求 BC 的长．

20. 码头工人每天往一艘轮船上装载 30 吨货物，装载完毕恰好用了 8 天时间．轮船到达目的地后开始卸货，记平均卸货速度为 v（单位：吨/天），卸货天数为 t．
（1）直接写出 v 关于 t 的函数表达式：v= （不需写自变量的取值范围）；
（2）如果船上的货物 5 天卸载完毕，那么平均每天要卸载多少吨?

21. 如图，在 △ABC 中，∠B=90∘，AB=4，BC=2，以 AC 为边作 △ACE，∠ACE=90∘，AC=CE，延长 BC 至点 D，使 CD=5，连接 DE．求证：△ABC∽△CED．

22. 古代阿拉伯数学家泰比特 ⋅ 伊本 ⋅ 奎拉对勾股定理进行了推广研究：如图（图 1 中 ∠BAC 为锐角，图 2 中 ∠BAC 为直角，图 3 中 ∠BAC 为钝角）．
在 △ABC 的边 BC 上取 Bʹ，Cʹ 两点，使 ∠ABʹB=∠ACʹC=∠BAC，则 △ABC∽△BʹBA∽△CʹAC，ABBʹB= AB，ACCʹC= AC，进而可得 AB2+AC2= ；（用 BBʹ，CCʹ，BC 表示）
若 AB=4，AC=3，BC=6，则 BʹCʹ= ．

23. 如图，函数 y=kx（x<0）与 y=ax+b 的图象交于 A−1,n 和 B−2,1．
（1）求 k，a，b 的值；
（2）直线 x=m 与 y=kx（x<0）的图象交于点 P，与 y=−x+1 的图象交于点 Q，当 ∠PAQ>90∘ 时，直接写出 m 的取值范围．

24. 如图，A，B，C 三点在 ⊙O 上，直径 BD 平分 ∠ABC，过点 D 作 DE∥AB 交弦 BC 于点 E，在 BC 的延长线上取一点 F，使得 EF=DE．
（1）求证：DF 是 ⊙O 的切线；
（2）连接 AF 交 DE 于点 M，若 AD=4，DE=5，求 DM 的长．

25. 如图，在 △ABC 中，∠ABC=90∘，∠C=40∘，点 D 是线段 BC 上的动点，将线段 AD 绕点 A 顺时针旋转 50∘ 至 ADʹ，连接 BDʹ．已知 AB=2 cm，设 BD 为 x cm，BDʹ 为 y cm．小明根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整．（说明：解答中所填数值均保留一位小数）
（1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如表：
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．
（3）结合画出的函数图象，解决问题：
线段 BDʹ 的长度的最小值约为 cm；
若 BDʹ≥BD，则 x 的取值范围是 ．

26. 已知二次函数 y=ax2−4ax+3a．
（1）该二次函数图象的对称轴是直线 x= ；
（2）若该二次函数的图象开口向下，当 1≤x≤4 时，y 的最大值是 2，求当 1≤x≤4 时，y 的最小值；
（3）若对于该抛物线上的两点 Px1,y1，Qx2,y2，当 t≤x1≤t+1，x2≥5 时，均满足 y1≥y2，请结合图象，直接写出 t 的最大值．

27. 对于 ⊙C 与 ⊙C 上的一点 A，若平面内的点 P 满足：射线 AP 与 ⊙C 交于点 Q（点 Q 可以与点 P 重合），且 1≤PAQA≤2，则点 P 称为点 A 关于 ⊙C 的“生长点”．已知点 O 为坐标原点，⊙O 的半径为 1，A−1,0．
（1）若点 P 是点 A 关于 ⊙O 的“生长点”，且点 P 在 x 轴上，请写出一个符合条件的点 P 的坐标 ；
（2）若点 B 是点 A 关于 ⊙O 的“生长点”，且满足 tan∠BAO=12，求点 B 的纵坐标 t 的取值范围；
（3）直线 y=3x+b 与 x 轴交于点 E，与 y 轴交于点 F，若线段 EF 上存在点 A 关于 ⊙O 的“生长点”，直接写出 b 的取值范围是 ．

28. 在 △ABC 中，∠BAC=90∘，AB=AC．
（1）如图 1，△ABC 的角平分线 BD，CE 交于点 Q，请判断“QB=2QA”是否正确： （填“是”或“否”）；
（2）点 P 是 △ABC 所在平面内的一点，连接 PA，PB，且 PB=2PA．
①如图 2，点 P 在 △ABC 内，∠ABP=30∘，求 ∠PAB 的大小；
②如图 3，点 P 在 △ABC 外，连接 PC，设 ∠APC=α，∠BPC=β，用等式表示 α，β 之间的数量关系，并证明你的结论．
答案
第一部分
1. B
2. A
3. C
4. B
5. D
6. C
7. A【解析】由图象可知，当 y<1 时，x<0 或 x>4．
8. D【解析】由图 2 得，当 x=9.68 时，小红运动到点 B．
∵ 小红是以相同的速度运动，
∴ 小红在 4.84 秒时，运动到点 O，小兰在 ⊙O 上运动，
∴ 两人距离为 ⊙O 的半径．
第二部分
9. x1=0，x2=2
10. 60
11. y=1x（答案不唯一）
12. −2,0
13. 6
14. 2
15. 10
【解析】由三角形相似可知 xx+10+20=0.83.2，解得 x=10．
16. 三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是 60∘，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半（答案不唯一）
【解析】由作法可知，其依据为三条边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个内角都是 60∘，一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半．
第三部分
17. 原式=2×12−2×22+22=1−2+22=1+2.
18. ∵x=1 是关于 x 的方程 x2−mx−2m2=0 的一个根，
∴1−m−2m2=0．
∴2m2+m=1，
∴m2m+1=2m2+m=1．
19. 作 AD⊥BC 于点 D，
∴∠ADB=∠ADC=90∘．
∵AC=5，sinC=35，
∴AD=AC⋅sinC=3．
∴ 在 Rt△ACD 中，CD=AC2−AD2=4．
∵AB=32，
∴ 在 Rt△ABD 中，BD=AB2−AD2=3．
∴BC=BD+CD=7．
20. （1） 240t
（2） 由题意，当 t=5 时，v=240t=48．
答：平均每天要卸载 48 吨．
21. ∵∠B=90∘，AB=4，BC=2，
∴AC=AB2+BC2=25，
∵CE=AC，
∴CE=25，
∵CD=5，
∴ABCE=ACCD，
∵∠B=90∘，∠ACE=90∘，
∴∠BAC+∠BCA=90∘，∠BCA+∠DCE=90∘，
∴∠BAC=∠DCE，
∴△ABC∽△CED．
22. BC；BC；BCBBʹ+CCʹ；116
23. （1） 因为函数 y=kx（x<0）的图象经过 B−2,1，
所以 k−2=1，得 k=−2．
因为函数 y=kx（x<0）的图象还经过 A−1,n，
所以 n=−2−1=2，点 A 的坐标为 −1,2．
因为函数 y=ax+b 的图象经过点 A 和点 B，
所以 −a+b=2,−2a+b=1. 解得 a=1,b=3.
（2） −224. （1） ∵BD 平分 ∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD．
∵DE∥AB，
∴∠ABD=∠BDE．
∴∠CBD=∠BDE．
∵ED=EF，
∴∠EDF=∠EFD．
∵∠EDF+∠EFD+∠EDB+∠EBD=180∘，
∴∠BDF=∠BDE+∠EDF=90∘．
∴OD⊥DF．
∵OD 是 ⊙O 的半径，
∴DF 是 ⊙O 的切线．
（2） 连接 DC，如图，
∵BD 是 ⊙O 的直径，
∴∠BAD=∠BCD=90∘．
在 △ABD 和 △CBD 中，
∠BAD=∠BCD,∠ABD=∠CBD,BD=BD,
∴△ABD≌△CBD．
∴CD=AD=4，AB=BC．
∵DE=5，
∴CE=DE2−DC2=3，EF=DE=5．
∵∠CBD=∠BDE，
∴BE=DE=5．
∴BF=BE+EF=10，BC=BE+EC=8．
∴AB=8．
∵DE∥AB，
∴△ABF∽△MEF．
∴ABME=BFEF，
∴ME=4．
∴DM=DE−EM=1．
25. （1） 0.9
（2） 如图所示．
（3） 0.7；0≤x≤0.9
26. （1） 2
（2） ∵ 该二次函数的图象开口向下，且对称轴为直线 x=2，
∴ 当 x=2 时，y 取到在 1≤x≤4 上的最大值为 2．
∴ 4a−8a+3a=2，
∴ a=−2，y=−2x2+8x−6．
∵ 当 1≤x≤2 时，y 随 x 的增大而增大，
∴ 当 x=1 时，y 取到在 1≤x≤2 上的最小值 0．
∵ 当 2≤x≤4 时，y 随 x 的增大而减小，
∴ 当 x=4 时，y 取到在 2≤x≤4 上的最小值 −6，
∴ 当 1≤x≤4 时，y 的最小值为 −6．
（3） t 的最大值为 4．
27. （1） 2,0（答案不唯一）
（2） 如图，在 x 轴上方作射线 AM，与 ⊙O 交于点 M，且使得 tan∠OAM=12，并在射线 AM 上取点 N，使 AM=MN，并由对称性，将 MN 关于 x 轴作对称，得 MʹNʹ，则由题意，线段 MN 和 MʹNʹ 上的点是满足条件的点 B．
作 MH⊥x 轴于点 H，连接 MC，
∴ ∠MHA=90∘，即 ∠OAM+∠AMH=90∘．
∵ AC 是 ⊙O 的直径，
∴ ∠AMC=90∘，即 ∠AMH+∠HMC=90∘．
∴ ∠OAM=∠HMC．
∴ tan∠HMC=tan∠OAM=12．
∴ MHHA=HCMH=12．
设 MH=y，则 AH=2y，CH=12y，
∴ AC=AH+CH=52y=2，解得 y=45，即点 M 的纵坐标为 45．
又由 AN=2AM，A 为 −1,0，可得点 N 的纵坐标为 85，
故在线段 MN 上，点 B 的纵坐标 t 满足：45≤t≤85．
由对称性，在线段 MʹNʹ 上，点 B 的纵坐标 t 满足：−85≤t≤−45．
∴ 点 B 的纵坐标 t 的取值范围是 −85≤t≤−45 或 45≤t≤85．
（3） −4−3≤b≤−1 或 1≤b≤4−3
28. （1） 否
（2） ①如图 1，作 PD⊥AB 于点 D，
则 ∠PDB=∠PDA=90∘，
∵∠ABP=30∘，
∴PD=12BP
∵PB=2PA，
∴PD=22PA，
∴sin∠PAB=PDPA=22．
由 ∠PAB 是锐角，得 ∠PAB=45∘，
另证：作点 P 关于直线 AB 的对称点 Pʹ，连接 BPʹ，PʹA，PPʹ，如图 2，
则 ∠PʹBA=∠PBA，∠PʹAB=∠PAB，BPʹ=BP，APʹ=AP．
∵∠ABP=30∘，
∴∠PʹBP=60∘，
∴△PʹBP 是等边三角形．
∴PʹP=BP．
∵PB=2PA，
∴PʹP=2PA．
∴PʹP2=PA2+PʹA2．
∴∠PAPʹ=90∘．
∴∠PAB=45∘．
② α+β=45∘，证明：
作 AD⊥AP，并取 AD=AP，连接 DC，DP，如图 3．
∴∠DAP=90∘．
∵∠BAC=90∘，
∴∠BAC+∠CAP=∠DAP+∠CAP，
即 ∠BAP=∠CAD．
在 △BAP 和 △CAD 中，
AB=AC,∠BAP=∠CAD,AP=AD,
∴△BAP≌△CAD．
∴∠1=∠2，PB=CD．
∵∠DAP=90∘，AD=AP，
∴PD=2PA，∠ADP=∠APD=45∘．
∵PB=2PA，
∴PD=PB=CD．
∴∠DCP=∠DPC．
∵∠APC=α，∠BPC=β，
∴∠DPC=α+45∘，∠1=∠2=α−β，
∴∠3=180∘−2∠DPC=90∘−2α，
∴∠ADP=∠1+∠3=90∘−α−β=45∘．
∴α+β=45∘．