专题15 新定义与创新型综合探究问题-2019版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘（教师版）

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2019版突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘
专题15 新定义与创新型综合探究问题
【类型综述】
阅读理解型问题一般都是先提供一个解题思路，或介绍一种解题方法，或展示一个数学结论的推导过程等文字或图表材料，然后要求大家自主探索，理解其内容、思想方法，把握本质，解答试题中提出的问题.对于这类题求解步骤是“阅读——分析——理解——创新应用”，其中最关键的是理解材料的作用和用意，一般是启发你如何解决问题或为了解决问题为你提供工具及素材.因此这种试题是考查大家随机应变能力和知识的迁移能力.
【方法揭秘】
阅读理解问题在中考中的常考点有新定义学习型，新公式应用型，纠错补全型；图表信息问题在中考中的常考点有表格类信息题，函数图象信息题，图形语言信息题，统计图表信息题等。
解决阅读理解与图表信息问题常用的数学思想是方程思想，类比思想，化归思想；常用的数学方法有分析法，比较法等．
【典例分析】
例1 定义：在△ABC中，∠C＝30°，我们把∠A的对边与∠C 的对边的比叫做∠A的邻弦，记作thi A，即thi A＝．请解答下列问题：
已知：在△ABC中，∠C＝30°．
（1）若∠A＝45°，求thi A的值；
（2）若thi A＝，则∠A＝ °；
（3）若∠A是锐角，探究thi A与sinA的数量关系．
思路点拨
(1) 根据已知找到BC和AB的关系，依据定义计算出答案即可；
(2) 过点B向AC所在直线作垂线，根据thi A＝=，利用正弦首先表示出垂线段的长度，再根据正弦分两种情况：当∠A为锐角或钝角时，可得∠A=60°或120°.
(3) 根据题意，由thiA＝, sinA＝, sinC＝＝易得BC＝2BH，进而可得答案．
满分解答
（1）如图，作BH⊥AC，垂足为H．

在Rt△BHC中，sinC＝＝，即BC＝2BH．
在Rt△BHA中，sinA＝＝ ，即AB＝BH．
∴thiA＝＝．
（2）60或120．
（3）在Rt△ABC中，thiA＝．
在Rt△BHA中，sinA＝．
在Rt△BHC中，sinC＝＝，即BC＝2BH．
∴thiA＝2sinA．
例2定义符号的含义为：当时, ；当时, ．如： ， ．
（1）求;
（2）已知, 求实数的取值范围;
（3）当时， ．直接写出实数的取值范围．
思路点拨
（1）比较x2-1与-2的大小，得到答案；
（2）把x2-2x+k化为（x-1）2+k-1的形式，确定k的取值范围；
（3）根据当-2≤x≤3时，y=x2-2x-15的值小于y=m（x+1）的值，解答即可．
满分解答
（1）∵x2≥0，∴x2﹣1≥﹣1，∴x2﹣1＞﹣2．∴min{x2﹣1，﹣2}=﹣2，
（2）∵x2﹣2x+k=（x﹣1）2+k﹣1，∴（x﹣1）2+k﹣1≥k﹣1．
∵min{x2﹣2x+k，﹣3}=﹣3，∴k﹣1≥﹣3．∴k≥﹣2，
（3）对于y=x2﹣2x﹣15，当x=﹣2时，y=﹣7，
当x=3时，y=﹣10，
由题意可知抛物线y=x2﹣2x﹣15与直线y=m（x+1）的
交点坐标为（﹣2，﹣7），（3，10），所以m的范围是：﹣3≤m≤7．
例3类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形．
（）如图，四边形中， 平分， ．求证：四边形为等邻边四边形．
（）如图， 中， ， ， ，将沿的平分线的方向平移，得到，连接、，若平移后的四边形是等邻边四边形，求平移的距离．
（）如图，在等邻边四边形中， ， ， 和为四边形对角线， 为等边三角形，试探究和的数量关系．

思路点拨
（1）由已知条件通过证△ABC≌△ADC可得结论；
（2）由已知易得：平移距离，由， ， ，易得．再分以下四种情况讨论计算即可：①时；②；③时；④时；
（3）如图，把△ABC绕点逆时针转到△ADC′处，连接CC′，通过证△ACC′∽△ABD及证△C′CD是等腰直角三角形即可求得AC与AB间的数量关系.
满分解答
（）∵平分，
∴，
∵， ，
∴≌，
∴， ，
∴是等邻边四边形．
（）由平移可知平移距离，
由， ， ，
∴由勾股定理可得： ．
①时，
∴．
②时，
∴．
③时，如图1，延长C′B′交AB于点H，设B′H=x，
则在Rt△BC′H中，有，
易得， （舍），
∴．
④时，如图1，
则在Rt△BC′H中，有，
易得， （舍），
∴，
∴综上，平移距离可为、、、；

（），理由如下：
将绕旋转至处，连接，
则由旋转的性质和已知可得：∠C′AC=∠DAB，AC′=AC，AD=AB，C′D=BC=DC，
由此可得： ，
∵，∠5=∠2，∠6=∠4，
∴∠1+∠5+∠3+∠6=90°，
∴∠ADC′+∠ADC=180°+180°-90°=270°，
∴∠C′DC=360°-270°=90°.
又∵C′D=BC=DC，
∴△C′DC是等腰直角三角形，
∴，
∴与的相似比为，
∴，
∴．

例4类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
（1） 概念理解：
如图1，在四边形中，添加一个条件，使得四边形是“等邻边四边形”，请写出你添加的一个条件： ．
（2） 问题探究：
如图2，小红画了一个，其中，，，并将沿的平分线方向平移得到，连结、．小红要使平移后的四边形是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段的长）？
（3） 应用拓展：
如图3，“等邻边四边形”中，，，、为对角线，．试探究、、的数量关系．

思路点拨
（1）由“等邻边四边形”的定义易得出结论；
（2）①先利用平行四边形的判定定理得平行四边形，再利用“等邻边四边形”定义得邻边相等，得出结论；
②由平移的性质易得BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，再利用“等邻边四边形”定义分类讨论，由勾股定理得出结论；
（3）由旋转的性质可得△ABF≌△ADC，由全等性质得∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD，利用相似三角形判定得△ACF∽△ABD，由相似的性质和四边形内角和得∠CBF=90°，利用勾股定理，等量代换得出结论．
满分解答
解：（1）AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB（任写一个即可）；
（2）①正确，理由为：
∵四边形的对角线互相平分，∴这个四边形是平行四边形，
∵四边形是“等邻边四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等，
∴这个“等邻边四边形”是菱形；
②∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，
∴AC=，
∵将Rt△ABC平移得到△A′B′C′，
∴BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，
（I）如图1，当AA′=AB时，BB′=AA′=AB=2；

（II）如图2，当AA′=A′C′时，BB′=AA′=A′C′=；

（III）当A′C′=BC′=时，
如图3，延长C′B′交AB于点D，则C′B′⊥AB，

∵BB′平分∠ABC，
∴∠ABB′=∠ABC=45°，
∴∠BB′D=′∠ABB′=45°
∴B′D=B，
设B′D=BD=x，
则C′D=x+1，BB′=x，
∵在Rt△BC′D中，BD2+（C′D）2=（BC′）2
∴x2+（x+1）2=（）2，
解得：x1=1，x2=﹣2（不合题意，舍去），
∴BB′=x=
（Ⅳ）当BC′=AB=2时，如图4，与（Ⅲ）方法一同理可得：BD2+（C′D）2=（BC′）2，

设B′D=BD=x，
则x2+（x+1）2=22，
解得：x1=，x2=（不合题意，舍去），
∴BB′=x=；
（3）BC，CD，BD的数量关系为：BC2+CD2=2BD2，如图5，

∵AB=AD，
∴将△ADC绕点A旋转到△ABF，连接CF，
∴△ABF≌△ADC，
∴∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD，
∴∠BAD=∠CAF，==1，
∴△ACF∽△ABD，
∴==，∴BD，
∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°，
∴∠ABC+∠ADC﹣360°﹣（∠BAD+∠BCD）=360°﹣90°=270°，
∴∠ABC+∠ABF=270°，
∴∠CBF=90°，
∴BC2+FB2=CF2=（BD）2=2BD2，
∴BC2+CD2=2BD2．
考点：1．阅读理解题；2．平移，旋转的图形变换性质；3．三角形全等、相似的判定与性质；4．勾股定理的运用．
例5定义：如图1，平面上两条直线AB、CD相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线AB、CD的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”．根据上述定义，“距离坐标”为（0,0）点有1个，即点O．[来源:ZXXK]
（1）“距离坐标”为（1，0）点有 个；
（2）如图2，若点M在过点O且与直线CD垂直的直线l上时，点M的“距离坐标”为（p，q），且∠BOD=120°．请画出图形，并直接写出p，q的关系式；
（3）如图3，点M的“距离坐标”为（1，），且∠AOB=30°，求OM的长．

思路点拨
（1）由题意可知，“距离坐标”为（1，0）点在直线CD上，所以到直线AB的距离为1的在直线CD上的点有2个；
（2）如图1，过M作MN⊥AB于N,由已知条件可知，∠MON=30°，利用直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半，可直接写出p，q的关系式为；
（3）如图2，分别作点M关于OA、OB的对称点E、F，连接EF、OE、OF、EM、FM，可得△OEC≌△OMC，△OFD≌△OMD，过F做FG⊥CM，交CM延长线于G，由已知条件，可求出FG与EG的长，然后根据勾股定理即可求出EF的长，即OM的长即可．

满分解答
（1）2；
（2）如图1，过M作MN⊥AB于N,
∵直线l⊥CD于O，∠BOD=120°，
∴∠MON=30°．
∵ON=p，OM=q，
∴
（3）如图2，分别作点M关于OA、OB的对称点E、F，连接EF、OE、OF、EM、FM，
∴△OEC≌△OMC，△OFD≌△OMD．
∴∠AOM=∠AOE，∠BOM=∠BOF，
OM=OE=OF．
∴∠EOF=60°．
∴OM=OE=OF=EF．
∵MD=1，MC=，
∴MF=2，ME=．
∵∠AOB=30°，
∴∠CMD=150°．
过F做FG⊥CM，交CM延长线于G，
∴∠FMG=30°．
在Rt△FMG中，FG=1，MG=．
在Rt△EFG中，FG=1，EG=．
∴EF2=，
∴EF=．
∴OM=．

考点：一次函数综合题．

【变式训练】
1．定义新运算“⊕”：a⊕b=+（其中a、b都是有理数），例如：2⊕3=+=，那么3⊕（﹣4）的值是（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【答案】C
【解析】试题解析：3⊕（-4）
=.
故选C．
2．定义新运算，，若a、b是方程（）的两根，则的值为（）
A．0 B．1 C．2 D．与m有关
【答案】A
【解析】根据题意可得，又因为a，b是方程的两根，所以，化简得，同理，，代入上式可得，故选A．
3．对一组数的一次操作变换记为，定义其变换法则如下：；且规定（为大于的整数），如,，，则（ ）
A． B． C． D．[来源:Zxxk.Com]
【答案】D
【解析】试题分析：根据变换的计算法则可得：(1，-1)=(0，2)，(1，-1)= (2，-2)，(1，-1)= (0，4)，(1，-1)= (4，-4)，(1，-1)= (0，8)，(1，-1)= (8，-8)，根据规律我们可以得出=.
点睛：本题主要考查的就是新的运算的应用以及规律的发现和推测问题，解决这个问题理解新定义的计算法则和找出答案的规律是解题的关键.在解决这种问题的时候我们一般都是根据所给出的新定义求出前面几个的答案，然后根据答案找出一般性的规律，最后根据一般性的规律得出答案.
4．将个数、、、排成行、列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做阶行列式．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据定义列出方程得x的值即可.
【详解】
根据定义 =6
整理得：=2，
所以=3=6
故选A.
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，弄清题中的新定义列出方程是解本题的关键．
5．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.8]=1，[﹣1.4]=﹣2，[﹣3]=﹣3．函数y=[x]的图象如图所示，则方程的解为（　　）

A．或 B．0或2 C．1或 D．或
【答案】A
【解析】
【分析】根据新定义和函数图象讨论：当1≤x＜2时，则x2=1；当0≤x