第3.4讲 变式探究题-备战2019中考数学热点难点突破（教师版）学案

这是一份第3.4讲 变式探究题-备战2019中考数学热点难点突破（教师版）学案，共23页。学案主要包含了特殊的四边形的变式题，三角形有关的变式题，图形的旋转与对称变式等内容，欢迎下载使用。
考纲要求:
变式探究题比一般综合题更能考查学生的分析、探索能力以及思维的发散、综合运用知识的能力，难度适中，从而深受命题者的青睐，中考题型以填空题、解答题为主，难度一般不是很大．
基础知识回顾:
解变式探究题时，一般先观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明，解题的过程中通常要结合分类讨论、数型结合、分析综合，归纳猜想等数型思想方法.
应用举例:
类型一、特殊的四边形的变式题
【例1】在正方形ABCD中，AB=8，点P在边CD上，tan∠PBC=，点Q是在射线BP上的一个动点，过点Q作AB的平行线交射线AD于点M，点R在射线AD上，使RQ始终与直线BP垂直．
（1）如图1，当点R与点D重合时，求PQ的长；
（2）如图2，试探索： 的比值是否随点Q的运动而发生变化？若有变化，请说明你的理由；若没有变化，请求出它的比值；
（3）如图3，若点Q在线段BP上，设PQ=x，RM=y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域．
【答案】（1）；（2）；（3）；0≤x≤.
【解析】
（1）由题意，得,
在Rt△中， ∴
∵∴∴
∴
∵ ∴∴
∵∴△∽△
∴ ∴
∴
（2）答： 的比值随点的运动没有变化
理由：如图，
∵∥
∴,
∵∴
∵ ∴
∴ ∴△∽△
∴
∵， ∴
∴的比值随点的运动没有变化,比值为
（3）延长交的延长线于点
∵∥∴
∵∴
∴∴
∵∥, ∥
∴∥∴
∵, ∴
又,
∴
∴
它的定义域是
类型二、三角形有关的变式题
【例2】数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？
经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD．
小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．
（2）小华提出：如图5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．
【答案】（1）BC+CD=AC；（2）BC+CD=2AC•csα．
【解析】
试题解析：（1）BC+CD=AC；
理由：如图1，延长CD至E，使DE=BC，
∵∠ABD=∠ADB=45°，
∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=90°，
∵∠ACB=∠ACD=45°，∴∠ACB+∠ACD=45°，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ADC+∠ADE=180°，
∴∠ABC=∠ADE，
在△ABC和△ADE中，
∵AB=AD，∠ABC=∠ADE，BC=DE，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠ACB=∠AED=45°，AC=AE，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴CE=AC，
∵CE=CE+DE=CD+BC，
∴BC+CD=AC；
（2）BC+CD=2AC•csα．理由：如图2，延长CD至E，使DE=BC，
∵∠ABD=∠ADB=α，
∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=180°﹣2α，
∵∠ACB=∠ACD=α，
∴∠ACB+∠ACD=2α，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ABC=∠ADE，
在△ABC和△ADE中，
∵AB=AD，∠ABC=∠ADE，BC=DE，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠ACB=∠AED=α，AC=AE，
∴∠AEC=α，过点A作AF⊥CE于F，
∴CE=2CF，
在Rt△ACF中，∠ACD=α，CF=AC•cs∠ACD=AC•csα，
∴CE=2CF=2AC•csα，
∵CE=CD+DE=CD+BC，
∴BC+CD=2AC•csα．
类型三、图形的旋转与对称变式
【例3】如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
（1）当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（2）当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H．
①求证：BD⊥CF； ②当AB=2，AD=3 时，求线段DH的长．
【答案】（1）BD=CF，理由见解析；（2）①证明见解析；②DH=．
【解析】
解：(l)、BD＝CF成立．
由旋转得:AC＝AB，∠CAF＝∠BAD＝θ;AF＝AD,
∴△ABD≌△ACF, ∴BD＝CF.
(2) ①、由(1)得，△ABD≌△ACF，
∴∠HFN＝∠ADN，
∵∠HNF＝∠AND,∠AND+∠AND=90°
∴∠HFN+∠HNF＝90° ，∴∠NHF＝90°,
∴HD⊥HF,即BD⊥CF.
②、如图，连接DF，延长AB，与DF交于点M.
∵四边形ADEF是正方形， ∴∠MDA＝45°，
∵∠MAD＝45°，
∴∠MAD＝∠MDA,∠AMD＝90°，
∴AM=DM ∵AD=3 在△MAD中，，
∴AM＝DM＝3.∴MB＝AM-AB=3－2＝1，
在△BMD中，，
∴，
∵∠MAD=∠MDA=45°，
∴∠AMD=90°，又∠DHF=90°，∠MDB=∠HDF，
∴△DMB∽△DHF，
∴DM：DH=DB：DF，即，
解得，DH=．
方法、规律归纳:
解开放型问题时，一般先观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明，解题的过程中通常要结合分类讨论、数型结合、分析综合，归纳猜想等数型思想方法.
实战演练:
1. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA=DC，过点B作BE∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME．
（1）如图1，当∠ADC=90°时，线段MD与ME的数量关系是 ；
（2）如图2，当∠ADC=60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，当∠ADC=α时，求的值．
【答案】（1）MD=ME；（2）MD=ME；（3）tan．
【解析】
（1）MD=ME．如图1，延长EM交AD于F，
∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，
∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，
∴AF=BE，MF=ME，∵DA=DC，∠ADC=90°，
∴∠BED=∠ADC=90°，∠ACD=45°，
∵∠ACB=90°，∴∠ECB=45°，
∴∠EBC=∠BED﹣∠ECB=45°=∠ECB，
∴CE=BE，∴AF=CE，∵DA=DC，∴DF=DE，
∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∴∠MDE=45°，
∴MD=ME，故答案为：MD=ME；
（2）MD=ME，理由：
如图2，延长EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，
∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，
∴AF=BE，MF=ME，∵DA=DC，∠ADC=60°，
∴∠BED=∠ADC=60°，∠ACD=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB=30°，
∴∠EBC=∠BED﹣∠ECB=30°=∠ECB，∴CE=BE，
∴AF=CE，∵DA=DC，∴DF=DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∴∠MDE=30°，在Rt△MDE中，tan∠MDE==，∴MD=ME．
（3）如图3，延长EM交AD于F，∵BE∥DA，∴∠FAM=∠EBM，
∵AM=BM，∠AMF=∠BME，∴△AMF≌△BME，
∴AF=BE，MF=ME，延长BE交AC于点N，∴∠BNC=∠DAC，
∵DA=DC，∴∠DCA=∠DAC，∴∠BNC=∠DCA，
∵∠ACB=90°，∴∠ECB=∠EBC，∴CE=BE，∴AF=CE，
∴DF=DE，∴DM⊥EF，DM平分∠ADC，∵∠ADC=α，∴∠MDE=，
在Rt△MDE中， =tan∠MDE=tan．
2. 如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．
（1）如图1，若△ABC和△ADE是等腰三角形，求证：∠ABD＝∠ACE；
（2）如图2，若∠ADE＝∠ABC＝30°，问：（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）在（1）的条件下，AB＝6，AD＝4，若把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，请直接写出PB的长度．
【答案】（1）见详解
（2）结论仍成立,理由见详解
（3）PB=或.
【解析】
解：（1）∵△ABC和△ADE是等腰三角形，
∴AD=AE,AB=AC,
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠DAB=∠EAC,
∴△DAB≌△EAC（SAS）,
∴∠ABD=∠ACE,
（2）结论仍成立,
理由：∵∠ADE=∠ABC=30°，
∴tan30°=,
由（1）知, ∠DAB=∠EAC,
∴△DAB相似△EAC（相等角的对应边成比例）,
∴∠ABD=∠ACE,
（3）a、如下图中，当点E在AB上时，BE=AB-AE=2,
∵∠EAC=90°，
∴CE== =,
同（1）可证△ADB≌△AEC．
∴∠DBA=∠ECA．
∵∠PEB=∠AEC，
∴△PEB∽△AEC．
∴,即,∴PB=,
b、如下图中，当点E在BA延长线上时，BE=10,
∵∠EAC=90°，
∴CE== =,
同（1）可证△ADB≌△AEC．
∴∠DBA=∠ECA．
∵∠BEP=∠CEA，
∴△PEB∽△AEC，
∴,即,∴PB=,
综上，PB=或.
3．已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别为DE，BE，CD中点．
（1）当△ADE绕点A旋转时，如图1，则△FGH的形状为 ，说明理由；
（2）在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB=3，AD=2，求线段FH的长；
（3）在△ADE旋转的过程中，若AB=a，AD=b（a＞b＞0），则△FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）△FGH是等边三角形；（2）；（3）△FGH的周长最大值为（a+b），最小值为（a﹣b）．
【解析】
（2）如图2中，连接AF、EC．在Rt△AFE和Rt△AFB中，解直角三角形即可；
（3）首先证明△GFH的周长=3GF=BD，求出BD的最大值和最小值即可解决问题；
试题解析：（1）结论：△FGH是等边三角形．理由如下：
如图1中，连接BD、CE，延长BD交CE于M，设BM交FH于点O．
∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴BD=CE，∠ADB=∠AEC，∵EG=GB，EF=FD，∴FG=BD，GF∥BD，∵DF=EF，DH=HC，∴FH=EC，FH∥EC，∴FG=FH，∵∠ADB+∠ADM=180°，∴∠AEC+∠ADM=180°，∴∠DMC+∠DAE=180°，∴∠DME=120°，∴∠BMC=60°
∴∠GFH=∠BOH=∠BMC=60°，∴△GHF是等边三角形，故答案为：等边三角形．
（2）如图2中，连接AF、EC．
易知AF⊥DE，在Rt△AEF中，AE=2，EF=DF=1，∴AF==，在Rt△ABF中，BF= =，∴BD=CE=BF﹣DF=，∴FH=EC=．
（3）存在．理由如下．
由（1）可知，△GFH是等边三角形，GF=BD，∴△GFH的周长=3GF=BD，在△ABD中，AB=a，AD=b，∴BD的最小值为a﹣b，最大值为a+b，∴△FGH的周长最大值为（a+b），最小值为（a﹣b）．
4．请认真阅读下面的数学小探究系列，完成所提出的问题：
探究1：如图1，在等腰直角三角形ABC中，，，将边AB绕点B顺时针旋转得到线段BD，连接求证：的面积为提示：过点D作BC边上的高DE，可证≌
探究2：如图2，在一般的中，，，将边AB绕点B顺时针旋转得到线段BD，连接请用含a的式子表示的面积，并说明理由．
探究3：如图3，在等腰三角形ABC中，，，将边AB绕点B顺时针旋转得到线段BD，连接试探究用含a的式子表示的面积，要有探究过程．
【答案】（1）详见解析；（2）的面积为，理由详见解析；（3）的面积为．
【解析】
如图1，过点D作交CB的延长线于E，
，
由旋转知，，，，
，，
在和中，
，
≌
，
，；
的面积为，
理由：如图2，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，
，
线段AB绕点B顺时针旋转得到线段BE，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
如图3，过点A作与F，过点D作的延长线于点E，
，，
，
，，
，
线段BD是由线段AB旋转得到的，，
在和中，
，
≌，
，
，
的面积为．
5．．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，AC＝2，过点B作直线m∥AC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C（点A，B的对应点分别为A'，B′），射线CA′，CB′分別交直线m于点P，Q．
（1）如图1，当P与A′重合时，求∠ACA′的度数；
（2）如图2，设A′B′与BC的交点为M，当M为A′B′的中点时，求线段PQ的长；
（3）在旋转过程中，当点P，Q分别在CA′，CB′的延长线上时，试探究四边形PA'B′Q的面积是否存在最小值．若存在，求出四边形PA′B′Q的最小面积；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）60°；（2）PQ＝；（3）存在，S△PCQ的最小值＝3，S四边形PA'B′Q＝3﹣
【解析】
（1）由旋转可得：AC=A'C=2．
∵∠ACB=90°，AB，AC=2，∴BC．
∵∠ACB=90°，m∥AC，∴∠A'BC=90°，∴cs∠A'CB，∴∠A'CB=30°，∴∠ACA'=60°；
（2）∵M为A'B'的中点，∴∠A'CM=∠MA'C，由旋转可得：∠MA'C=∠A，∴∠A=∠A'CM，∴tan∠PCB=tan∠A，∴PBBC．
∵∠BQC=∠BCP=∠A，∴tan∠BQC=tan∠A，
∴BQ=BC2，∴PQ=PB+BQ；
（3）∵S四边形PA'B'Q=S△PCQ﹣S△A'CB'=S△PCQ，
∴S四边形PA'B'Q最小，即S△PCQ最小，∴S△PCQPQ×BCPQ，
法一：（几何法）取PQ的中点G．
∵∠PCQ=90°，∴CGPQ，即PQ=2CG，当CG最小时，PQ最小，
∴CG⊥PQ，即CG与CB重合时，CG最小，∴CGmin，PQmin=2，
∴S△PCQ的最小值=3，S四边形PA'B'Q=3；
法二（代数法）设PB=x，BQ=y，由射影定理得：xy=3，∴当PQ最小时，x+y最小，
∴（x+y）2=x2+2xy+y2=x2+6+y2≥2xy+6=12，
当x=y时，“=”成立，∴PQ，
∴S△PCQ的最小值=3，S四边形PA'B'Q=3．
6．已知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形．
（1）如图①所示，连接AE，DB，试判断线段AE和DB的数量和位置关系，并说明理由；
（2）如图②所示，连接DB，将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF，连接AF，试判断线段DE和AF的数量和位置关系，并说明理由．
【答案】（1）AE=DB，AE⊥DB；（2）DE=AF，DE⊥AF．
【解析】
∵△ABC与△DEC是等腰直角三角形，∴AC=BC，EC=DC，在Rt△BCD和Rt△ACE中，∵AC=BC，∠ACE=∠BCD，CE=CD，∴Rt△BCD≌Rt△ACE，∴AE=BD，∠AEC=∠BDC，∵∠BCD=90°，∴∠DHE=90°，∴AE⊥DB；
（2）DE=AF，DE⊥AF．证明如下：
设DE与AF交于N，由题意得，BE=AD，
∵∠EBD=∠C+∠BDC=90°+∠BDC，∠ADF=∠BDF+∠BDC=90°+∠BDC，
∴∠EBD=∠ADF，在△EBD和△ADF中，∵BE=AD，∠EBD=∠ADF，DE=DF，
∴△EBD≌△ADF，∴DE=AF，∠E=∠FAD，∵∠E=45°，∠EDC=45°，
∴∠FAD=45°，∴∠AND=90°，即DE⊥AF．
7．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF．连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG=DE，连接FG，FC．
（1）请判断：FG与CE的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；
（3）如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．
【答案】（1）FG=CE，FG∥CE；（2）成立；（3）成立．
【解析】
（1）FG=CE，FG∥CE；
（2）过点G作GH⊥CB的延长线于点H，∵EG⊥DE，∴∠GEH+∠DEC=90°，∵∠GEH+∠HGE=90°，∴∠DEC=∠HGE，在△HGE与△CED中，∵∠GHE=∠DCE，∠HGE=∠DEC，EG=DE，∴△HGE≌△CED（AAS），∴GH=CE，HE=CD，∵CE=BF，∴GH=BF，∵GH∥BF，∴四边形GHBF是矩形，∴GF=BH，FG∥CH，∴FG∥CE．∵四边形ABCD是正方形，∴CD=BC，∴HE=BC，∴HE+EB=BC+EB，∴BH=EC，∴FG=EC；
（3）∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠FBC=∠ECD=90°，在△CBF与△DCE中，∵BF=CE，∠FBC=∠ECD，BC=DC，∴△CBF≌△DCE（SAS），∴∠BCF=∠CDE，CF=DE，∵EG=DE，∴CF=EG，∵DE⊥EG，∴∠DEC+∠CEG=90°，∵∠CDE+∠DEC=90°，∴∠CDE=∠CEG，∴∠BCF=∠CEG，∴CF∥EG，∴四边形CEGF平行四边形，∴FG∥CE，FG=CE．
8. 如图，∠MAN=60°，AP平分∠MAN，点B是射线AP上一定点，点C在直线AN上运动，连接BC，将∠ABC（0°＜∠ABC＜120°）的两边射线BC和BA分别绕点B顺时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线AM交于点D和点E．
（1）如图1，当点C在射线AN上时，①请判断线段BC与BD的数量关系，直接写出结论；
②请探究线段AC，AD和BE之间的数量关系，写出结论并证明；
（2）如图2，当点C在射线AN的反向延长线上时，BC交射线AM于点F，若AB=4，AC=，请直接写出线段AD和DF的长．
【答案】（1）①BC=BD；②AD+AC=BE；（2）AD=，DF=．
【解析】试题分析：（1）①结论：BC=BD．只要证明△BGD≌△BHC即可．②结论：AD+AC=BE．只要证明AD+AC=2AG=2EG，再证明EB=BE即可解决问题；
（2）如图2中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，AK⊥CF于K．由（1）可知，△ABG≌△ABH，△BGD≌△BHC，易知BH，AH，BC，CH， AD的长，由sin∠ACH=，推出AK的长，设FG=y，则AF=﹣y，BF=，由△AFK∽△BFG，可得，可得关于y的方程，求出y即可解决问题．
试题解析：（1）①结论：BC=BD，
理由：如图1中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，
∵∠MAN=60°，PA平分∠MAN，BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，∴BG=BH，∠GBH=∠CBD=120°，∴∠CBH=∠GBD，∵∠BGD=∠BHC=90°，∴△BGD≌△BHC，∴BD=BC；
②结论：AD+AC=BE，
∵∠ABE=120°，∠BAE=30°，∴∠BEA=∠BAE=30°，∴BA=BE，∵BG⊥AE，∴AG=GE，EG=BE•cs30°=BE，∵△BGD≌△BHC，∴DG=CH，∵AB=AB，BG=BH，∴Rt△ABG≌Rt△ABH，∴AG=AH，∴AD+AC=AG+DG+AH﹣CH=2AG=BE，∴AD+AC=BE；
（2）如图2中，作BG⊥AM于G，BH⊥AN于H，AK⊥CF于K，
由（1）可知，△ABG≌△ABH，△BGD≌△BHC，
易知BH=GB=2，AH=AG=EG=，BC=BD= =，CH=DG=，
∴AD=，∵sin∠ACH=，∴，∴AK=，
设FG=y，则AF=﹣y，BF=，
∵∠AFK=∠BFG，∠AKF=∠BGF=90°，
∴△AFK∽△BFG，∴，∴，解得y=或（舍弃），
∴DF=GF+DG=，即DF=．
9.已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．
（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；
（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；
（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．
【答案】（1）AE=EF=AF；（2）证明见解析；（3）．
【解析】
（1）解：结论AE=EF=AF．
理由：如图1中，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，∴△ABC，△ADC是等边三角形，∴∠BAC=∠DAC=60°
∵BE=EC，∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，∵∠EAF=60°，∴∠CAF=∠DAF=30°，
∴AF⊥CD，∴AE=AF（菱形的高相等），∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF．
（2）证明：如图2中，∵∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠CAE，在△BAE和△CAF中，
∵∠BAE=∠CAF，BA=AC，∠B=∠ACF，
∴△BAE≌△CAF，∴BE=CF．
（3）解：过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，
∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，∴∠AEB=45°，
在RT△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4，∴BG=2，AG=，
在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，∴AG=GE=，∴EB=EG﹣BG=，
∵△AEB≌△AFC，∴AE=AF，EB=CF=，∠AEB=∠AFC=45°，∵∠EAF=60°，AE=AF，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF=∠AFE=60°
∵∠AEB=45°，∠AEF=60°，∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°，
在RT△EFH中，∠CEF=15°，∴∠EFH=75°，∵∠AFE=60°，
∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15°，∵∠AFC=45°，∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30°，
在RT△CHF中，∵∠CFH=30°，CF=，
∴FH=CF•cs30°==，
∴点F到BC的距离为．
考点：1．四边形综合题；2．探究型；3．变式探究．
10．如图，过、作x轴的垂线，分别交直线于C、D两点抛物线经过O、C、D三点．
求抛物线的表达式；
点M为直线OD上的一个动点，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求此时点M的横坐标；若不存在，请说明理由；
若沿CD方向平移点C在线段CD上，且不与点D重合，在平移的过程中与重叠部分的面积记为S，试求S的最大值．
【答案】（1）；（2）或或；（3）．
【解析】
（1）由题意，可得C（1，3），D（3，1）．
∵抛物线过原点，∴设抛物线的解析式为：y=ax2+bx，∴，解得，∴抛物线的表达式为：yx2x．
（2）存在．
设直线OD解析式为y=kx，将D（3，1）代入，求得k，∴直线OD解析式为yx．
设点M的横坐标为x，则M（x，x），N（x，x2x），∴MN=|yM﹣yN|=|x﹣（x2x）|=|x2﹣4x|．
由题意，可知MN∥AC，因为以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形，则有MN=AC=3，∴|x2﹣4x|=3．
若x2﹣4x=3，整理得：4x2﹣12x﹣9=0，解得：x或x；
若x2﹣4x=﹣3，整理得：4x2﹣12x+9=0，解得：x，∴存在满足条件的点M，点M的横坐标为：或或．
（3）∵C（1，3），D（3，1），∴易得直线OC的解析式为y=3x，直线OD的解析式为yx．
如解答图所示，设平移中的三角形为△A'O'C'，点C'在线段CD上．
设O'C'与x轴交于点E，与直线OD交于点P；
设A'C'与x轴交于点F，与直线OD交于点Q．
设水平方向的平移距离为t（0≤t＜2），则图中AF=t，F（1+t，0），Q（1+t，t），C'（1+t，3﹣t）．
设直线O'C'的解析式为y=3x+b，将C'（1+t，3﹣t）代入得：b=﹣4t，∴直线O'C'的解析式为y=3x﹣4t，∴E（t，0）．
联立y=3x﹣4t与yx，解得：xt，∴P（t，t）．
过点P作PG⊥x轴于点G，则PGt，∴S=S△OFQ﹣S△OEPOF•FQOE•PG
（1+t）（t）•t•t
（t﹣1）2
当t=1时，S有最大值为，∴S的最大值为．