2018_2019学年天津市河东区九上期末数学试卷

这是一份2018_2019学年天津市河东区九上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 一元二次方程 x2−2x=0 的解是
A. 0B. 2C. 0，−2D. 0，2

2. 抛物线 y=2x2−3 的顶点在
A. 第一象限B. 第二象限C. x 轴上D. y 轴上

3. 下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的个数是
A. 1B. 2C. 3D. 4

4. 对于二次函数 y=2x−12−3，下列说法正确的是
A. 图象开口向下
B. 图象和 y 轴交点的纵坐标为 −3
C. x<1 时，y 随 x 的增大而减小
D. 图象的对称轴是直线 x=−1

5. 一个不透明的布袋里装有 5 个红球，2 个白球，3 个黄球，它们除颜色外其余都相同．从袋中任意摸出 1 个球，是黄球的概率为
A. 12B. 15C. 310D. 710

6. 若关于 x 的方程 x2+2x−a=0 有两个相等的实数根，则 a 的值为
A. −1B. 1C. −4D. 4

7. 如图，在 ⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB⊥CD，垂足为 E，连接 CO，AD，∠BAD=20∘，则下列说法中正确的是
A. AD=2OBB. CE=EO
C. ∠OCE=40∘D. ∠BOC=2∠BAD

8. 如图，反比例函数 y=kx 的图象可能是
A. B.
C. D.

9. 如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，正方形 EFGO 绕点旋转，若两个正方形的边长相等，则两个正方形的重合部分的面积
A. 由小变大B. 由大变小
C. 始终不变D. 先由大变小，然后又由小变大

10. 如图，在 ⊙O 中，∠AOB=120∘，点 P 为弧 AB 上的一点，则 ∠APB 的度数是
A. 100∘B. 110∘C. 120∘D. 130∘

11. 如图，已知 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，AC=6，BC=4，将 △ABC 绕直角顶点 C 顺时针旋转 90∘ 得到 △DEC，若点 F 是 DE 的中点，连接 AF，则 AF=
A. 13B. 5C. 13+2D. 32

12. 如图，在反比例函数 y=2xx>0 的图象上，有点 P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为 1，2，3，4．分别过这些点作 x 轴与 y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为 S1，S2，S3，则 S1+S2+S3=
A. 1B. 1.5C. 2D. 无法确定

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 如图所示的抛物线 y=x2+bx+b2−4 的图象，那么 b 的值是 ．

14. 反比例函数 y=m+2x，若 x>0 时，y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是 ．

15. 如图，转盘中 6 个扇形的面积都相等，任意转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向奇数的概率是 ．

16. 如图，PA，PB，DE 分别切圆 O 于点 A，B，C，如果 PO=10 cm，△PDE 的周长为 12 cm，那么圆 O 的半径为 ．

17. 如图，在边长为 2 的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形 ABCD，则四边形 ABCD 的周长是 ．

18. 二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a≠0）的图象如图所示，下列结论：① abc<0；② 2a+b<0；③ b2−4ac=0；④ 8a+c<0；⑤ a:b:c=−1:2:3，其中正确的结论有 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 解方程：
（1）2x2−4x−1=0（配方法）；
（2）x+12=6x+6．

20. 已知反比例函数 y=k−1x（k 常数，k≠1）．
（1）若点 A2,1 在这个函数的图象上，求 k 的值；
（2）若 k=9，试判断点 B−12,−16 是否在这个函数的图象上，并说明理由．

21. 甲、乙、丙、丁四位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选出两位同学打第一场比赛．
（1）若已确定甲打第一场，再从其余三位同学中随机选取一位，求恰好选中乙同学的概率；
（2）请用树状图法或列表法，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．

22. 如图，已知：AB 是 ⊙O 的直径，点 C 在 ⊙O 上，CD 是 ⊙O 的切线，AD⊥CD 于点 D，点 E 是 AB 延长线上一点，CE 交 ⊙O 于点 F，连接 OC，AC．
（1）求证：AC 平分 ∠DAO．
（2）若 ∠DAO=105∘，∠E=30∘．
①求 ∠OCE 的度数；
②若 ⊙O 的半径为 22，求线段 EF 的长．

23. 某商场试销一种成本为每件 60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于 45%，经试销发现，销售量 y（件）与销售单价 x（元）符合一次函数 y=kx+b，且 x=65 时，y=55；x=75 时，y=45．
（1）求一次函数 y=kx+b 的表达式；
（2）若该商场获得利润为 W 元，试写出利润 W 与销售单价 x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元?

24. 如图①，在 △ABC 中，∠BAC=90∘，AB=AC，点 E 在 AC 上（且不与点 A，C 重合），在 △ABC 的外部作 △CED，使 ∠CED=90∘，DE=CE，连接 AD，分别以 AB，AD 为邻边作平行四边形 ABFD，连接 AF．
（1）请直接写出线段 AF，AE 的数量关系 ；
（2）将 △CED 绕点 C 逆时针旋转，当点 E 在线段 BC 上时，如图②，连接 AE，请判断线段 AF，AE 的数量关系，并证明你的结论．

25. 如图所示，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为 m,m，点 B 的坐标为 n,−n，抛物线经过点 A，O，B 三点，连接 OA，OB，AB，线段 AB 交 y 轴于点 C．已知实数 m，nm（1）求直线 AB 和 OB 的解析式．
（2）求抛物线的解析式．
（3）若点 P 为线段 OB 上的一个动点（不与点 O，B 重合），直线 PC 与抛物线交于点 D，E 两点（点 D 在 y 轴右侧），连接 OD，BD．问 △BOD 的面积是否存在最大值?若存在，求出这个最大值并写出此时点 D 的坐标；若不存在说明理由．
答案
第一部分
1. D【解析】原方程化为：xx−2=0，
解得 x1=0，x2=2．
2. D
3. B【解析】第一个图形是中心对称图形不是轴对称图形，第二个图形、第三个图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，第四个图形是轴对称图形不是中心对称图形．故答案为 2．
4. C【解析】A、 y=2x−12−3，∵a=2>0 ∴ 图象的开口向上，故本选项错误；
B、 y=2x−12−3=2x2−4x−1，即图象和 y 轴的交点的纵坐标式 −1，故本选项错误；
C、 ∵ 对称轴是直线 x=1，开口向上，∴ 当 x<1 时，y 随 x 的增大而减少，故本选项正确；
C、图象的对称轴是直线 x=1，故本选项错误；
5. C
6. A【解析】∵ 方程 x2+2x−a=0 有两个相等的实数根，
∴Δ=22−4×1×−a=4+4a=0，
解得：a=−1．
7. D
8. D【解析】A、 ∵ 反比例函数的图象在第一、三或二、四象限，
∴ 结论A不符合题意；
B、 k=−2×6=−12，k=4×−2=−8，
∵−12≠−8，
∴ 结论B不符合题意；
C、 k=4×2=8，k=−2×−2=4，
∵8≠4，
∴ 结论C不符合题意；
D、 k=4×2=8，k=−2×−4=8，
∵8=8，
∴ 结论D符合题意．
9. C【解析】重叠部分面积不变，总是等于正方形面积的 14．
理由如下：设 OE 与 AB 相交于点 M，OG 与 BC 相交于点 N．
∵ 四边形 ABCD 和四边形 OEFG 都是正方形，
∴OB=OC，∠OBC=∠OCD=45∘，∠BOC=∠EOG=90∘，
∴∠BON=∠MOC．
在 △OBN 与 △OCM 中，
∠OBN=∠OCM,OB=OC,∠BON=∠MOC,
∴△OBN≌△OCMASA，
∴ 四边形 OMCN 的面积等于三角形 BOC 的面积，
即重叠部分面积不变，总是等于正方形面积的 14．
10. C
【解析】在优弧 AB 上取点 C，连接 AC，BC，
由圆周角定理得，∠ACB=12∠AOB=60∘，
由圆内接四边形的性质得到，∠APB=180∘−∠ACB=120∘．
11. B【解析】如图，过点 F 作 FH 垂直 AC 于点 H，过点 F 作 FG 垂直 CD 于点 G，
由旋转的性质可知：CD=CA=6，CE=CB=4，
∵ 点 F 为 ED 中点，
∴GF=CH=EH=2，HF=CG=GD=3，
∴AH=AC−CH=6−2=4，
由勾股定理可知：AF=16+9=5．
12. B
第二部分
13. −2
【解析】由图可知，抛物线经过原点 0,0，
∴02+b×0+b2−4=0，解得 b=±2，
∵ 抛物线的对称轴在 y 轴的右边，
∴−b2×1>0，
∴b<0，
∴b=−2．
14. m<−2
【解析】∵x>0 时，y 随 x 的增大而增大，
∴m+2<0，
解得：m<−2．
15. 23
【解析】图中共有 6 个相等的区域，含奇数的有 1，1，3，3 共 4 个，
转盘停止时指针指向奇数的概率是 46=23．
16. 8 cm
【解析】∵PA，PB，DE 分别切 ⊙O 于点 A，B，C，
∴PA=PB，DA=DC，EC=EB；
∴C△PDE=PD+DE+PE=PD+DA+EB+PE=PA+PB=12 cm；
∴PA=PB=6 cm，
∵PA 切 ⊙O 于点 A，
∴OA⊥PA，
∴△POA 为直角三角形，
∵PO=10 cm，
∴AO=PO2−PA2=8 cm．
17. 8+82
【解析】由题意可得，AD=2+222×2=2+22，
∴ 四边形 ABCD 的周长是：4×2+22=8+82．
18. ①④⑤
【解析】① ∵ 开口向下，
∴a<0．
∵ 与 y 轴交于正半轴，
∴c>0．
∵ 对称轴在 y 轴右侧，
∴b>0，
∴abc<0，故①正确；
∵ 二次函数的对称轴是直线 x=1，即二次函数的顶点的横坐标为 x=−b2a=1，
∴2a+b=0，故②错误；
∵ 抛物线与 x 轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，故③错误；
∵b=−2a，
∴ 可将抛物线的解析式化为：y=ax2−2ax+ca≠0；
由函数的图象知：当 x=−2 时，y<0；即 4a−−4a+c=8a+c<0，故④正确；
∵ 二次函数的图象和 x 轴的一个交点是 −1,0，对称轴是直线 x=1，
∴ 另一个交点的坐标是 3,0，
∴ 设 y=ax2+bx+c=ax−3x+1=ax2−2ax−3a，
即 a=a，b=−2a，c=−3a，
∴a:b:c=a:−2a:−3a=−1:2:3，故⑤正确．
第三部分
19. （1）
x2−2x=12,x2−2x+1=32,x−12=32,x−1=±32=±62,
所以
x1=1+62,x2=1−62.
（2）
x+12−6x+1=0,x+1x+1−6=0,x+1=0或x+1−6=0,
所以
x1=−1,x2=5.
20. （1） ∵ 点 A2,1 在这个函数的图象上，
∴1=k−12，
解得：k=3．
（2） 点 B−12,−16 在这个函数的图象上，
理由如下：
∵−12×−16=8，k−1=8，
∴ 点 B−12,−16 在这个函数的图象上．
21. （1） ∵ 共有乙、丙、丁三位同学，恰好选中乙同学的只有一种情况，
∴P恰好选中乙同学=13．
（2） 画树状图得：
∵ 所有出现的等可能性结果共有 12 种，其中满足条件的结果有 2 种．
∴P恰好选中甲、乙两位同学=16．
22. （1） ∵CD 是 ⊙O 的切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠OCA，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠OAC=∠DAC，
∴AC 平分 ∠DAO；
（2） ① ∵AD∥OC，
∴∠EOC=∠DAO=105∘，
∵∠E=30∘，
∴∠OCE=45∘；
②过点 O 作 OG⊥CE 于点 G，
则 CG=FG=OG，
∵OC=22，∠OCE=45∘，
∴CG=OG=2，
∴FG=2，
在 Rt△OGE 中，∠E=30∘，
∴GE=23，
∴EF=GE−FG=23−2．
23. （1） 根据题意得
65k+b=55,75k+b=45.
解得
k=−1,b=120.
所求一次函数的表达式为 y=−x+120．
（2） W=x−60−x+120=−x2+180x−7200=−x−902+900,
因为抛物线的开口向下，
所以当 x<90 时，W 随 x 的增大而增大，而 60≤x≤87，
所以当 x=87 时，W=−87−902+900=891．
所以当销售单价定为 87 元时，商场可获得最大利润，最大利润是 891 元．
24. （1） AF=2AE
【解析】如图①，
∵ 四边形 ABFD 是平行四边形，
∴AB=DF，
∵AB=AC，
∴AC=DF，
∵DE=EC，
∴AE=EF，
∵∠DEC=∠AEF=90∘，
∴△AEF 是等腰直角三角形，
∴AF=2AE．
（2） AF=2AE．
证明：如图②，连接 EF，DF 交 BC 于点 K．
∵ 四边形 ABFD 是平行四边形，
∴AB∥DF，
∴∠DKE=∠ABC=45∘，
∴∠EKF=180∘−∠DKE=135∘，
∵∠ADE=180∘−∠EDC=180∘−45∘=135∘，
∴∠EKF=∠ADE，
∵∠DKC=∠C=45∘，
∴DK=DC，
∵DF=AB=AC，
∴KF=AD，
在 △EKF 和 △EDA 中，
EK=DE,∠EKF=∠ADE,KF=AD,
∴△EKF≌△EDASAS，
∴EF=EA，∠KEF=∠AED，
∴∠FEA=∠BED=90∘，
∴△AEF 是等腰直角三角形，
∴AF=2AE．
25. （1） 解方程 x2−2x−3=0，得 x1=3，x2=−1．
∵m ∴m=−1，n=3，
∴A−1,−1，B3,−3，
设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，
∴−k+b=−1,3k+b=−3,
解得：k=−12,b=−32,
∴ 直线 AB 的解析式为 y=−12x−32；
设直线 OB 的解析式为 y=kx，
∴3k=−3，
解得：k=−1，
∴ 直线 OB 的解析式为 y=−x．
（2） ∵ 抛物线过原点，设抛物线的解析式为 y=ax2+bxa≠0．
∴a−b=−1,9a+3b=−3,
解得：a=−12,b=12,
∴ 抛物线的解析式为 y=−12x2+12x．
（3） △BOD 的面积是存在最大值；
过点 D 作 DG⊥x 轴，垂足为点 G，交 OB 于点 Q，过点 B 作 BH⊥x 轴，垂足为点 H．
设 Qx,−x，Dx,−12x2+12x．
S△BOD=S△ODQ+S△BDQ=12DQ⋅OG+12DQ⋅GH=12DQOG+GH=12x+−12x2+12x×3=−34x−322+2716,
∵0 ∴ 当 x=32 时，S 取得最大值为 2716，此时 D32,−38．