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中考复习专题十五 圆 知识点总结与练习
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这是一份中考复习专题十五 圆 知识点总结与练习，共12页。
一、圆的概念
1.到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点叫做圆的圆心。
2.连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径（r）。
3.通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径（d）。
4.连接圆上任意两点的线段叫做弦。 最长的弦是直径。
5.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，优弧是用三个字母表示。小于半圆的弧称为劣弧，劣弧用两个字母表示。半圆既不是优弧，也不是劣弧。
字母表示
圆—⊙ ； 半径—r或R（在环形圆中外环半径表示的字母）；直径d或D ；扇形弧长-L ； 周长-C ； 面积-S。
二、圆的性质
⑴圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理
① 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。
圆心角计算公式: θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)（角度制与弧度制：360°=2π）
即圆心角的度数等于它所对的弧的度数；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
③ 如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。
⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理
①一个三角形有唯一确定的外接（∵三点确定一圆）
圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；
②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。
③R=2S△÷L（R：内切圆半径，S△：三角形面积，L：三角形周长）
④两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的直线）
⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
（4）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。
（5）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
（6）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。
（7）圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。
（8）周长相等，圆面积比长方形、正方形、三角形的面积大。
三、公式
1.面积公式
圆的面积：S=πr²=πd²/4
扇形弧长：L=圆心角（弧度制） * r = n°πr/180°（n为圆心角）
扇形面积：S=nπ r²/360=Lr/2（L为扇形的弧长）
圆的直径： d=2r
圆锥侧面积： S=πrl（l为母线长）
圆锥底面半径： r=n°/360°L（L为母线长）（r为底面半径）
2.周长公式
圆的周长：C=2πr 或 C=πd
圆的周长公式推导（此方面涉及到弧微分）
圆在一周内周长的积分：
【抛砖引玉】
【例1】如图,(1)若点O为⊙O的圆心,则线段______是圆O的半径;线段______是圆O的弦,其中最长的弦是______;
(2)若∠A=40∘，则∠ABO=______，∠C=______，∠ABC=______.
【解答】解：连结OD，如图，
(1)若点O为⊙O的圆心,则线段OA或OB或OC是圆O的半径;线段AB或BC或AC是圆O的弦,其中最长的弦是直径AC;弧AB或弧BC是劣弧;弧AC是半圆。
(2)∵OA=OB,∠A=40∘，
∴∠ABO=∠A=40∘，
∵∠AOB+∠ABO+∠A=180∘，
∴∠AOB=100∘，
∠C═12∠AOB=50∘，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90∘.
答案：OA或OB或OC;AB或BC或AC,直径AC;弧AB或弧BC;弧AC；
40∘,50∘,90∘.
【例2】在圆中，圆心与弦的距离（即自圆心作弦的垂线段的长）叫做弦心距，不难证明，在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们的弦心距也 _________ ．反之，如果两条弦的弦心距相等，那么 __________________．
【解答】相等，这两条弦也相等
【例3】一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OB=10,水面宽AB=16,则截面圆心O到水面的距离OC=_________。
【解答】∵OC⊥AB，OC过圆心O点，
∴BC=AC=12AB=12×16=8，
在Rt△OCB中,由勾股定理得：OC===6
【例4】如图，已知⊙O，线段AB与⊙O交于C. D两点，且OA=OB，
求证：AC=BD.
【解答】证明：过点O作OE⊥AB于点E，
∵CD是⊙O的弦，
∴CE=DE，
∵OA=OB，
∴AE=BE，
∴AE−CE=BE−DE，即AC=BD.
【例5】1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?
【解答】设O为圆心,作OD⊥AB于D,交弧AB于C,如图所示：
∵拱桥的跨度AB=37.4m，拱高CD=7.2m，
∴AD=12AB=18.7m，
∴AD2=OA2−(OC−CD)2,即18.72=AO2−(AO−7.2)2，
解得：AO≈27.9m.
即圆弧半径为27.9m.
答：赵州桥的主桥拱半径为27.9m.
【例6】如图,O半径为6厘米,弦AB与半径OA的夹角为30∘.
求：弦AB的长。
【解答】作OD⊥AB于D，则AD=DB，
在Rt△AOD中，
∵∠DAO=30∘
∴OD=12OA=3
∵AD2=OA2−OD2
∴AD=3
∴AB=2AD=6.
【例7】在直径为650mm的圆柱形油罐内装入一些油后,截面如图所示,已知油面宽AB=600mm,则油的最大深度是多少mm？
【解答】先过点O作OD⊥AB于点D,交ABˆ于点C，
∵AB=600mm，OD⊥AB，
∴AD=12AB=12×600=300mm，
∵O的直径为650mm，
∴OA=12×650=325mm，
在Rt△AOD中，
OD===125mm，
∴CD=OC−OD=325−125=200mm.
【例8】如图，已知在⊙O中，弦AB=CD且AB垂直于CD，垂足为H，0E垂直AB于E，OF垂直CD于F，求证：
四边形OEHF是正方形
(2)若CH=3，DH=9，求圆心0到弦AB距离
【解答】①证明：
∵AB⊥CD，OE⊥AB，OF⊥CD
∴∠EHF=∠OEH=∠OFH=90°
∴四边形OEHF是矩形（有3个角是直角的四边形是矩形）
∵AB=CD
∴OE=OF（弦相等，弦心踞相等）
∴四边形OEHF是正方形（邻边相等的矩形是正方形）
②∵CH=3，DH=9
则CD=CH+DH=12
∵OF⊥CD
∴CF=DF=6（垂径定理）
则FH=CF-CH=6-3=3
∵四边形OEHF是正方形
∴OE=FH=3
∵OE⊥AB
∴圆心O到AB的距离为OE=3
【例9】如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C. D两点,设大圆和小圆的半径分别为a、b,求证：AD⋅BD=−.
【解答】证明：作OH⊥AB于H,如图,连结OA、OC，
∵OH⊥AB，
∴CH=DH，AH=BH，
∴AD⋅BD=(AH+DH)(BH−DH)=(AH+CH)(AH−CH)=−，
在Rt△AOH中,=−=−，
在Rt△COH中,=−=−，
∴−=−，
∴AD⋅BD=−
【沙场点兵】
一．选择题
1．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=84°，则∠E等于（ ）
A．42 B．28 C．21 D．20°
2．如图，在△ABC中，AB=AC，O是线段AB的中点，线段OC与以AB为直径的⊙O交于点D，射线BD交AC于点E，∠BAC=90°，那么下列等式成立的是（ ）
A．BD=BC B．AD=OD C．AD=CD D．AE=CD
3．如图，在⊙O中，点A、O、D，点B、O、C以及点E、D、C分别在一条直线上，图中弦的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在上，且不与M、N重合，当P点在上移动时，矩形PAOB的形状，大小随之变化，则AB的长度（ ）
A．不变 B．变小 C．变大 D．不能确定
5．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（ ）
A．26π B．13π C． D．
二．填空题（共5小题）
6．如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA=45°，则弦CD的长为 ．
7．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为 ．
8．如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C= °．
9．如图，等腰△ABC内接于⊙O，已知AB=AC，∠ABC=30°，BD是⊙O的直径，如果CD=，则AD= ．
10．如图，在⊙O 中，已知∠AOB=120°，则∠ACB= ．
三．解答题
11．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD．
（1）求证：AD=AN；
（2）若AB=4，ON=1，求⊙O的半径．
12．如图，AB是半圆O的直径，AC是弦，点P从点B开始沿BA边向点A以1cm/s的速度移动，若AB长为10cm，点O到AC的距离为4cm．
（1）求弦AC的长；
（2）问经过几秒后，△APC是等腰三角形．
【实战演练】
1．已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．
（1）如图1，若∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，求证：AC⊥BD；
（2）如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB=2，DC=4，求⊙O的半径．
2．如图，△ABC内接于⊙O，AB=8，AC=4，D是AB边上一点，P是优弧的中点，连接PA、PB、PC、PD，当BD的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形？并加以证明．
3．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC=30°．
（1）求∠BOC的度数；
（2）求证：四边形AOBC是菱形．
一、圆的概念
1.到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点叫做圆的圆心。
2.连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径（r）。
3.通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径（d）。
4.连接圆上任意两点的线段叫做弦。 最长的弦是直径。
5.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，优弧是用三个字母表示。小于半圆的弧称为劣弧，劣弧用两个字母表示。半圆既不是优弧，也不是劣弧。
字母表示
圆—⊙ ； 半径—r或R（在环形圆中外环半径表示的字母）；直径d或D ；扇形弧长-L ； 周长-C ； 面积-S。
二、圆的性质
⑴圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理
① 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。
圆心角计算公式: θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)（角度制与弧度制：360°=2π）
即圆心角的度数等于它所对的弧的度数；圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。
③ 如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。
⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理
①一个三角形有唯一确定的外接（∵三点确定一圆）
圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；
②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。
③R=2S△÷L（R：内切圆半径，S△：三角形面积，L：三角形周长）
④两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的直线）
⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。
（4）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。
（5）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。
（6）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。
（7）圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。
（8）周长相等，圆面积比长方形、正方形、三角形的面积大。
三、公式
1.面积公式
圆的面积：S=πr²=πd²/4
扇形弧长：L=圆心角（弧度制） * r = n°πr/180°（n为圆心角）
扇形面积：S=nπ r²/360=Lr/2（L为扇形的弧长）
圆的直径： d=2r
圆锥侧面积： S=πrl（l为母线长）
圆锥底面半径： r=n°/360°L（L为母线长）（r为底面半径）
2.周长公式
圆的周长：C=2πr 或 C=πd
圆的周长公式推导（此方面涉及到弧微分）
圆在一周内周长的积分：
【抛砖引玉】
【例1】如图,(1)若点O为⊙O的圆心,则线段______是圆O的半径;线段______是圆O的弦,其中最长的弦是______;
(2)若∠A=40∘，则∠ABO=______，∠C=______，∠ABC=______.
【解答】解：连结OD，如图，
(1)若点O为⊙O的圆心,则线段OA或OB或OC是圆O的半径;线段AB或BC或AC是圆O的弦,其中最长的弦是直径AC;弧AB或弧BC是劣弧;弧AC是半圆。
(2)∵OA=OB,∠A=40∘，
∴∠ABO=∠A=40∘，
∵∠AOB+∠ABO+∠A=180∘，
∴∠AOB=100∘，
∠C═12∠AOB=50∘，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90∘.
答案：OA或OB或OC;AB或BC或AC,直径AC;弧AB或弧BC;弧AC；
40∘,50∘,90∘.
【例2】在圆中，圆心与弦的距离（即自圆心作弦的垂线段的长）叫做弦心距，不难证明，在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们的弦心距也 _________ ．反之，如果两条弦的弦心距相等，那么 __________________．
【解答】相等，这两条弦也相等
【例3】一条排水管的截面如图所示,已知排水管的半径OB=10,水面宽AB=16,则截面圆心O到水面的距离OC=_________。
【解答】∵OC⊥AB，OC过圆心O点，
∴BC=AC=12AB=12×16=8，
在Rt△OCB中,由勾股定理得：OC===6
【例4】如图，已知⊙O，线段AB与⊙O交于C. D两点，且OA=OB，
求证：AC=BD.
【解答】证明：过点O作OE⊥AB于点E，
∵CD是⊙O的弦，
∴CE=DE，
∵OA=OB，
∴AE=BE，
∴AE−CE=BE−DE，即AC=BD.
【例5】1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗?
【解答】设O为圆心,作OD⊥AB于D,交弧AB于C,如图所示：
∵拱桥的跨度AB=37.4m，拱高CD=7.2m，
∴AD=12AB=18.7m，
∴AD2=OA2−(OC−CD)2,即18.72=AO2−(AO−7.2)2，
解得：AO≈27.9m.
即圆弧半径为27.9m.
答：赵州桥的主桥拱半径为27.9m.
【例6】如图,O半径为6厘米,弦AB与半径OA的夹角为30∘.
求：弦AB的长。
【解答】作OD⊥AB于D，则AD=DB，
在Rt△AOD中，
∵∠DAO=30∘
∴OD=12OA=3
∵AD2=OA2−OD2
∴AD=3
∴AB=2AD=6.
【例7】在直径为650mm的圆柱形油罐内装入一些油后,截面如图所示,已知油面宽AB=600mm,则油的最大深度是多少mm？
【解答】先过点O作OD⊥AB于点D,交ABˆ于点C，
∵AB=600mm，OD⊥AB，
∴AD=12AB=12×600=300mm，
∵O的直径为650mm，
∴OA=12×650=325mm，
在Rt△AOD中，
OD===125mm，
∴CD=OC−OD=325−125=200mm.
【例8】如图，已知在⊙O中，弦AB=CD且AB垂直于CD，垂足为H，0E垂直AB于E，OF垂直CD于F，求证：
四边形OEHF是正方形
(2)若CH=3，DH=9，求圆心0到弦AB距离
【解答】①证明：
∵AB⊥CD，OE⊥AB，OF⊥CD
∴∠EHF=∠OEH=∠OFH=90°
∴四边形OEHF是矩形（有3个角是直角的四边形是矩形）
∵AB=CD
∴OE=OF（弦相等，弦心踞相等）
∴四边形OEHF是正方形（邻边相等的矩形是正方形）
②∵CH=3，DH=9
则CD=CH+DH=12
∵OF⊥CD
∴CF=DF=6（垂径定理）
则FH=CF-CH=6-3=3
∵四边形OEHF是正方形
∴OE=FH=3
∵OE⊥AB
∴圆心O到AB的距离为OE=3
【例9】如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C. D两点,设大圆和小圆的半径分别为a、b,求证：AD⋅BD=−.
【解答】证明：作OH⊥AB于H,如图,连结OA、OC，
∵OH⊥AB，
∴CH=DH，AH=BH，
∴AD⋅BD=(AH+DH)(BH−DH)=(AH+CH)(AH−CH)=−，
在Rt△AOH中,=−=−，
在Rt△COH中,=−=−，
∴−=−，
∴AD⋅BD=−
【沙场点兵】
一．选择题
1．如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=84°，则∠E等于（ ）
A．42 B．28 C．21 D．20°
2．如图，在△ABC中，AB=AC，O是线段AB的中点，线段OC与以AB为直径的⊙O交于点D，射线BD交AC于点E，∠BAC=90°，那么下列等式成立的是（ ）
A．BD=BC B．AD=OD C．AD=CD D．AE=CD
3．如图，在⊙O中，点A、O、D，点B、O、C以及点E、D、C分别在一条直线上，图中弦的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，四边形PAOB是扇形OMN的内接矩形，顶点P在上，且不与M、N重合，当P点在上移动时，矩形PAOB的形状，大小随之变化，则AB的长度（ ）
A．不变 B．变小 C．变大 D．不能确定
5．如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M，若AB=12，OM：MD=5：8，则⊙O的周长为（ ）
A．26π B．13π C． D．
二．填空题（共5小题）
6．如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA=45°，则弦CD的长为 ．
7．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD=6，EB=1，则⊙O的半径为 ．
8．如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C= °．
9．如图，等腰△ABC内接于⊙O，已知AB=AC，∠ABC=30°，BD是⊙O的直径，如果CD=，则AD= ．
10．如图，在⊙O 中，已知∠AOB=120°，则∠ACB= ．
三．解答题
11．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD．
（1）求证：AD=AN；
（2）若AB=4，ON=1，求⊙O的半径．
12．如图，AB是半圆O的直径，AC是弦，点P从点B开始沿BA边向点A以1cm/s的速度移动，若AB长为10cm，点O到AC的距离为4cm．
（1）求弦AC的长；
（2）问经过几秒后，△APC是等腰三角形．
【实战演练】
1．已知A，B，C，D是⊙O上的四个点．
（1）如图1，若∠ADC=∠BCD=90°，AD=CD，求证：AC⊥BD；
（2）如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB=2，DC=4，求⊙O的半径．
2．如图，△ABC内接于⊙O，AB=8，AC=4，D是AB边上一点，P是优弧的中点，连接PA、PB、PC、PD，当BD的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形？并加以证明．
3．如图，点A、B、C、D都在⊙O上，OC⊥AB，∠ADC=30°．
（1）求∠BOC的度数；
（2）求证：四边形AOBC是菱形．
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