2020-2021年高中数学新人教A版必修第一册 第1章集合与常用逻辑用语章末综合提升 学案

这是一份2020-2021年高中数学新人教A版必修第一册 第1章集合与常用逻辑用语章末综合提升 学案，共5页。


类型1 集合的概念与运算
集合的运算主要包括交集、并集和补集运算．这也是高考对集合部分的主要考查点．对于较抽象的集合问题，解题时需借助Venn图或数轴等进行数形分析，使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解．
【例1】 (1)(多选)已知集合A＝{2,3}，B＝{x|mx－6＝0}，若B⊆A，则实数m等于( )
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)已知全集U＝{x|x>0}，集合A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2①求A∪B，(∁UA)∩B；
②若C⊆(A∪B)，求a的取值范围．
(1)ACD [当m＝0时，B＝∅，符合题意．
当m≠0时，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(6,m))).
由B⊆A可知，eq \f(6,m)＝2或eq \f(6,m)＝3，即m＝3或2.
综上可知m＝0或2或3，故选ACD.]
(2)[解] ①A∪B＝{x|3≤x<7}∪{x|2②若C＝∅，则5－a≥a，解得a≤eq \f(5,2).
若C≠∅，则2≤5－a综上所述，a≤3，即a的取值范围是{a|a≤3}．
eq \a\vs4\al([跟进训练])
1．已知全集U＝{x∈N|1≤x≤6}，集合A＝{x|x2－6x＋8＝0}，集合B＝{3,4,5,6}．
(1)求A∩B，A∪B；
(2)写出集合(∁UA)∩B的所有子集．
[解] (1)全集U＝{x∈N|1≤x≤6}＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{x|x2－6x＋8＝0}＝{2,4}，集合B＝{3,4,5,6}．
A∩B＝{4}，A∪B＝{2,3,4,5,6}．
(2)∵∁UA＝{1,3,5,6}，∴(∁UA)∩B＝{3,5,6}，它的所有子集是∅，{3}，{5}，{6}，{3,5}，{3,6}，{5,6}，{3,5,6}，共8个．
类型2 充分条件与必要条件
若p⇒q，且qp，则p是q的充分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；若p⇔q，则p是q的充要条件，同时q是p的充要条件．充分必要条件的判断和证明是平时考试的一个重点，常与不等式等知识结合命题，学会用集合的观点分析和解决充分必要条件的判断和求参范围问题．提升转化和化归能力．
【例2】 (1)(多选)对于任意实数a，b，c，下列结论正确的有( )
A．“a＝b”是“ac＝bc”的充分条件
B．“a＋eq \r(5)是无理数”是“a是无理数”的必要条件
C．“a＝b”是“a2＝b2”的充分条件
D．“a>b”是“a>|b|”的必要条件
(2)设p：实数x满足A＝{x|x≤3a或x≥a(a<0)}．q：实数x满足B＝{x|－4≤x<－2}．且q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
(1)ACD [a＝b⇒ac＝bc，A正确；“a＋eq \r(5)是无理数”与a是不是无理数没有关系，B错误；
a＝b⇒a2＝b2，C正确；a>b⇐a>|b|，D正确；故选ACD.]
(2)[解] ∵q是p的充分不必要条件，
∴BA，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a≤－4，,a<0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a≥－2，,a<0，))
解得－eq \f(2,3)≤a<0或a≤－4.
∴a的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)≤a<0或a≤－4)))).
eq \a\vs4\al([跟进训练])
2．已知ab≠0，求证：a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
[证明] 必要性：因为a＋b＝1，所以a＋b－1＝0.
所以a3＋b3＋ab－a2－b2＝(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0.
充分性：因为a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，即(a＋b－1)(a2－ab＋b2)＝0，又ab≠0，所以a≠0且b≠0.
因为a2－ab＋b2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(b,2)))2＋eq \f(3,4)b2>0，所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1.
综上可得，当ab≠0时，a＋b＝1的充要条件是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0.
类型3 全称量词命题和存在量词命题
全称量词强调的是“一切”“每一个”等等，常用符号“∀”表示，而存在量词强调的是部分，常用符号“∃”表示，对于全称量词命题和存在量词命题的否定要把握两点：一是改量词，二是否结论．
【例3】 (1)命题p：“∀x∈R，x2＞0”，则( )
A．p是假命题；p：∃x∈R，x2＜0
B．p是假命题；p：∃x∈R，x2≤0
C．p是真命题；p：∀x∈R，x2＜0
D．p是真命题；p：∀x∈R，x2≤0
(2)已知p：∀x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0，q：∃x∈R，x2＋2x＋2－a＝0.若命题p是真命题，且命题q是真命题，求实数a的取值范围．
(1)B [由于02＞0不成立，故“∀x∈R，x2＞0”为假命题，根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知，“∀x∈R，x2＞0”的否定是“∃x∈R，x2≤0”，故选B.]
(2)[解] 若p：“∀x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0”为真命题，则a小于或等于x的最小值，即a≤1，∴当命题p是真命题时，命题p为假命题，从而a>1.
若q：“∃x∈R，x2＋2x＋2－a＝0”为真命题，则Δ＝4－4(2－a)≥0，解得a≥1.
∵命题p是真命题，且命题q是真命题，
∴需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>1，,a≥1，))解得a>1.
eq \a\vs4\al([跟进训练])
3．(1)下列命题不是存在量词命题的是( )
A．有些实数没有平方根
B．能被5整除的数也能被2整除
C．在实数范围内，有些一元二次方程无解
D．有一个m使2－m与|m|－3异号
(2)命题“能被7整除的数是奇数”的否定是________．
(1)B (2)存在一个能被7整除的数不是奇数 [(1)选项A、C、D中都含有存在量词，故皆为存在量词命题，选项B中不含存在量词，不是存在量词命题．
(2)原命题即为“所有能被7整除的数都是奇数”，是全称量词命题，故该命题的否定是：“存在一个能被7整除的数不是奇数”．]
1．(2020·新高考全国卷Ⅱ)设集合A＝{2,3,5,7}，B＝{1,2,3,5,8}，则A∩B＝( )
A．{1,8} B．{2,5}
C．{2,3,5}D．{1,2,3,5,7,8}
C [因为集合A，B的公共元素为：2,3,5，故A∩B＝{2,3,5}．故选C.]
2．(2020·新高考全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2A．{x|2C．{x|1≤x<4}D．{x|1C [A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|23．(2020·全国卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
C [由题意得，A∩B＝{(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)}，所以A∩B中元素的个数为4，选C.]
4．(2020·天津高考)设a∈R，则“a>1”是“a2>a”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [a>1⇒a2>a，又当a＝－2时，(－2)2>－2，故a>1”是“a2>a”的充分不必要条件，故选A.]
5．(2020·新高考全国卷Ⅰ)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )
A．62%B．56%
C．46%D．42%
C [设只喜欢足球的百分比为x，只喜欢游泳的百分比为y，两个项目都喜欢的百分比为z，
由题意，可得x＋z＝60，x＋y＋z＝96，y＋z＝82，解得z＝46.
∴该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%.故选C.]