2020年天津市红桥区高考一模数学试卷

2020年天津市红桥区高考一模数学试卷

1. 已知全集 ，集合 ，，则集合 可以表示为

 A．  B．

 C．  D．

2. 下列函数中，既是奇函数又在区间 上单调递减的是

 A．  B．  C．  D．

3. 方程 的解所在的区间为

 A．  B．  C．  D．

4. 已知圆柱的高为 ，它的两个底面的圆周在直径为 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为

 A．  B．  C．  D．

5. 已知函数 的两条相邻的对称轴的间距为 ，现将 的图象向左平移 个单位后得到一个偶函数，则 的一个可能取值为

 A．  B．  C．  D．

6. 在 中，“”是“”的

 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

7. 已知一个口袋中装有 个红球和 个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖的次数为 ，则 的期望为

 A．  B．  C．  D．

8. 已知双曲线 与抛物线 的一个交点为 ， 为抛物线的焦点，若 ，则双曲线的渐近线方程为

 A．  B．  C．  D．

9. 如图所示，在菱形 中，，， 为 的中点，则 的值是

 A．  B．  C．  D．

10.   是虚数单位，则     ．

11. 函数 的单调减区间是    ．

12. 过原点且倾斜角为 的直线被圆 所截得的弦长为    ．

13.   的二项展开式中的常数项为    （用数字作答）．

14. 若 ，则 的取值范围是    ．

15. 设 与 是定义在同一区间 上的两个函数，若函数 在 上有两个不同的零点，则称 与 在 上是“关联函数”．若 与 在 上是“关联函数”，则实数 的取值范围是    ．

16. 设 的内角 ，， 所对边的长分别是 ，，，且 ，，．

(1)  求 的值；

(2)  求 的值．

17. 如图，在四棱雉 中，，，，底面

为正方形，， 分别为 ， 的中点．

(1)  证明：；

(2)  求直线 与平面 所成角的正弦值；

(3)  求二面角 的余弦值．

18. 已知椭圆 的离心率 ，且右焦点到直线 的距离为 ．

(1)  求椭圆的方程；

(2)  四边形 的顶点在椭圆上，且对角线 ， 过原点 ，若 ．证明：四边形 的面积为定值．

19. 已知数列 是等差数列，其前 项和为 ，数列 是公比大于 的等比数列，且 ，，．

(1)  求数列 和 的通项公式；

(2)  令 ，求数列 的前 项和 ．

20. 已知函数 ．

(1)  若函数 在区间 上是单调函数，求实数 的取值范围；

(2)  当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．

答案

1.  【答案】B

【解析】因为 ，，

所以 ，，，．

2.  【答案】B

【解析】根据题意，依次分析选项：

对于A，，为二次函数，不是奇函数，不符合题意；

对于B，，为反比函数，既是奇函数又在区间 上单调递减，符合题意；

对于C，，为指数函数，不是奇函数，不符合题意；

对于D，，是对数函数，不是奇函数，不符合题意；

3.  【答案】B

【解析】设 ，在 上单调递增．

因为 ，

 ，

所以根据函数的零点存在性定理得出： 的零点在 区间内，

所以方程 的解所在的区间为 ．

4.  【答案】B

【解析】因为圆柱的高为 ，它的两个底面的圆周在直径为 的同一个球的球面上，

所以该圆柱底面圆周半径 ，

所以该圆柱的体积：．

故选：B．

5.  【答案】B

【解析】函数 的两条相邻的对称轴的间距为 ，所以 ，解得 ，

现将 的图象向左平移 个单位后得到一个 为偶函数，

则 ，整理得 ，

当 时，．

6.  【答案】C

【解析】在三角形内 ，

由 ，则 ，

则“”是“”的充要条件．

7.  【答案】A

【解析】一次摸奖中奖的情况是摸到的两个球恰好一红一白，

所以 ．

  的所有可能取值为 ，，，，

则 ，

 ，

 ，

 ．

所以 的分布列为：所以 ．

8.  【答案】C

【解析】因为点 在抛物线 上，，

所以 满足 ，得 ，

因此 ，得 ，

所以点 在双曲线 上，

可得 ，

解之得 ，

所以双曲线标准方程为 ，

得 ，，渐近线方程为 ，即 ．

9.  【答案】A

【解析】因为菱形 ，

所以 ，

10.  【答案】

【解析】因为 ，

所以 ．

11.  【答案】

【解析】函数 的导数为 ，

令 ，解得 ，故函数的单调减区间是 ．

12.  【答案】

【解析】设弦长为 ，

过原点且倾斜角为 的直线为 ，

整理圆的方程为 ，圆心为 ，半径 ，

圆心到直线的距离为 ，

则 ，

所以弦长 ．

故答案为：．

13.  【答案】

【解析】 展开式的通项为 ，

令 ，可得 ，

其常数项为 ．

14.  【答案】

【解析】因为 ，

所以 ，

设 ，，

所以 ，

所以 ，

所以 ，

所以 的取值范围是：．

15.  【答案】

【解析】因为 与 在 上是“关联函数”，

由定义可得，可把问题转化为 有两个零点；

即 与 在 上有两个交点；

因为 ；

所以 在 上递增，在 上递减；

且 ，，；

故实数 的取值范围是：．

16.  【答案】

(1)  因为 ，

所以 ，

可得 ，

可得 ，

因为 ，，

所以 ．

(2)  由 ，可得 ，

因为 ，

 ，

故 ．

17.  【答案】

(1)  因为 ，，所以 ，

且 ，，则 ．

(2)  因为 ，，且 ，

所以 ，

则以点 为原点建立空间直角坐标系（如图），

设 ，

可得 ，，，，，，

向量 ，，．

设 为平面 的法向量，

则 即

不妨令 ，可得 为 平面的一个法向量，设直线 与平面 所成角为 ，

于是有 ．

(3)  因为 为平面 的法向量，

所以 ．

18.  【答案】

(1)  因为右焦点 ，，

到直线 的距离为 ，

解得 ，，，，，

所以 ．

(2)  设 代入 ，

得 ，

则 ，，

因为 ，得 ，

即 ，解得 ，

因为 ，且 ，

又 ，，

整理得 ，

所以 为定值．

19.  【答案】

(1)  设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，

且 ，，．

所以 ，，，，

解得 ，．

所以 ，．

(2)  ．

① 时，数列 的前 项和

令 ，

所以 ，

所以

可得 ．

所以 ．

② 时，数列 的前 项和

所以 ，．

20.  【答案】

(1)  函数 的定义域是 ，

因为 ，

所以 ，

设 ，则 ，

因为函数 在区间 上为单调函数，

所以 ，或 ，

所以 ，或 ，

所以实数 的取值范围是 ．

(2)  不等式 可化为 ．

所以 ．

令 ，则问题可化为 ．

因为 ，

所以 ．

要使上式成立，只需要 是增函数即可，

即 在 上恒成立，即 在 上恒成立，故 ．

所以实数 的取值范围是 ．