天津市红桥区2020届高三第一次模拟考试数学试题
展开红桥区2020届高三第一次模拟考试
数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答题时，务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利！
参考公式：
柱体的体积公式 ，其中表示柱体的底面积，表示柱体的高．
锥体的体积公式 ，其中表示锥体的底面积，表示锥体的高．
球的体积公式 ，其中表示球的半径．
第Ⅰ卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共9题，每小题5分，共45分。
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）已知全集, 集合, , 则集合可以表示为
(A) (B)
(C) (D)
（2）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递减的是
(A) (B)
(C) (D)
（3）方程的解所在的区间为
(A) (B)
(C) (D)
（4）已知圆柱的高为，它的两个底面的圆周在直径为的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
(A) (B)
(C) (D)
（5）已知函数的两条相邻的对称轴的间距为，现将的图像向左平移个单位后得到一个偶函数，则的一个可能取值为
(A) (B)
(C) (D)
（6）在中，“”是“”的
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
（7）已知一个口袋中装有个红球和个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同则中奖，否则不中奖，设三次摸球中（每次摸球后放回）中奖的次数为，则的期望为
(A) (B)
(C) (D)
（8）已知双曲线与抛物线的一个交点为，为抛物线的焦点，若，则双曲线的渐近线方程为
(A) (B)
(C) (D)
（9）如图所示，在菱形中，，，为的中点，则的值是
(A) (B)
(C) (D)
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
（10）若是虚数单位，则.
（11）函数单调减区间是.
（12）过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为.
（13）的二项展开式中的常数项为.（用数字作答）
（14）若，则的取值范围是.
（15）设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称与在上是“关联函数”．若与在上是“关联函数”，则实数的取值范围是.
三、解答题：本大题共5个小题，共75分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（16）（本小题满分分）
设的内角，，所对边的长分别是，，，且，，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
（17）（本小题满分分）
如图，在四棱锥中，,,,底面为正方形，分别为的中点.
（Ⅰ）证明：//平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角的余弦值.
（18）（本小题满分分）
已知椭圆的离心率,且右焦点到直线的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）四边形的顶点在椭圆上，且对角线过原点,若，
证明：四边形的面积为定值.
（19）（本小题满分分）
已知数列是等差数列，其前项和为，数列是公比大于的等比数列，且 ，，．
（Ⅰ）求数列和的通项公式；
（Ⅱ）令，求数列的前项和．
（20）（本小题满分分）
已知函数.
（Ⅰ）若函数在区间为单调函数，求实数的取值范围；
（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
高三数学 参考答案
一、选择题 每题5分
题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
答案 | B | B | B | D | B | C | A | C | A |
二、填空题 每题5分
10. 11. 或 12.
13. 14. 15.
三、解答题
16.（本小题满分分）
解：（Ⅰ）因为，
所以，..........1分
，..................3分
，................................5分
且，，
所以. ..........................7分
（Ⅱ）由.............................8分
因为..................................9分
.......................................11分
故...............13分
。......................................15分
17.（本小题满分分）
（Ⅰ）因为,所以,.................1分
且平面，.......................................................2分
平面，则//平面........................4分
（Ⅱ）因为,,且，
所以平面............5分
则以点为原点建立空间直角坐标系（如图），设,
可得,，，,。
向量，.......................................................6分
,。
设为平面的法向量，
则即,
不妨令，可得为平面的一个法向量，.......................9分
设直线与平面所成角为，
于是有..........................................10分
..........................................12分
（Ⅲ）因为为平面的法向量，........................13分
所以。......................................15分
- （本小题满分分）
解析：（Ⅰ）因为右焦点，
到直线的距离为..........1分
解得..............2分
， ，
，................................4分
所以；...............................5分
（Ⅱ）设代入，
得，...............6分
则，，...........8分
因为，得，.........9分
即，
解得，..............................10分
因为.............................11分
且，
又..........13分
整理得........14分
所以为定值。.........................................15分
- （本小题满分分）
（Ⅰ） 设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
且 ，，．
所以 ，，...............2分
解得 ，....................4分
所以 ，。.......6分
（Ⅱ）
．.......................7分
① 时，数列的前项和
.............8分
令 ，
所以 ，，...............9分
所以
，
可得 ．...........................11分
所以 ．..........12分
② 时，数列的前项和
.........14分
所以 ．.....15分
（或）
20.（本小题满分分）
（Ⅰ）函数，
则，................................2分
因为在成立，..............................3分
所以，
即，....................................4分
得；...................................................................6分
（Ⅱ）因为，
所以，.....................7分
即，
设，，............................................9分
且，
则，，成立，
得在单调递增，........................11分
即在成立，...................................12分
所以..........................13分
解得。............................15分
