2020-2021学年天津市滨海新区九上期末数学试卷

这是一份2020-2021学年天津市滨海新区九上期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 一元二次方程 4x2+5x=81 化成一般形式后，它的二次项系数和常数项分别是
A. 4，5B. 4，−5C. 4，81D. 4，−81

2. 2020 年 12 月 1 日，《天津市生活垃圾管理条例 》正式施行，标志着本市垃圾分类工作进入法制化、制度化、规范化阶段．生活垃圾分类实施“四分类”标准，即可回收物、厨余垃圾、有害垃圾、其他垃圾，分别对应下面四个图形，那么这些图形中为中心对称图形的是
A. B.
C. D.

3. 下列成语描述的事件为随机事件的是
A. 缘木求鱼B. 水落石出C. 瓮中捉鳖D. 守株待兔

4. 如图，△ABC 是 ⊙O 的内接三角形，AD 是 ⊙O 的直径，若 ∠CAD=50∘，则 ∠ABO 的度数是
A. 30∘B. 40∘C. 50∘D. 60∘

5. 如图，正方形 ABCD 内一点 P，BP=2，把 △ABP 绕点 B 顺时针旋转 90∘ 得到 △CBPʹ，则 PPʹ 的长为
A. 22B. 23C. 3D. 32

6. △ABC 与 △DEF 相似且对应高线之比为 2:3，已知 △ABC 周长为 40，则 △DEF 周长是
A. 10B. 20C. 40D. 60

7. 关于 x 的一元二次方程 xx−2=2x 根的情况是 ．
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 没有实数根D. 无法判断

8. 已知点 −2,y1，−1,y2，1,y3 都在反比例函数 y=kxk<0 的图象上，那么 y1，y2 与 y3 的大小关系是
A. y3
9. 将抛物线 y=−2x2−3 向右平移 2 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度，得到的抛物线解析为
A. y=−2x+22+2B. y=−2x−22−2
C. y=−2x+22−2D. y=−2x−22−5

10. 如图，正六边形 ABCDEF 内接于 ⊙O．过点 O 作 OM⊥边BC 于点 M，若 ⊙O 的半径为 4，则边心距 OM 的长为
A. 23B. 3C. 2D. 22

11. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，∠BAC=40∘，将 △ABC 绕点 A 逆时针方向旋转得 △AEF，其中，E，F 是点 B，C 旋转后的对应点，BE，CF 相交于点 D．若四边形 ABDF 为菱形，则 ∠CAE 的大小是
A. 90∘B. 75∘C. 60∘D. 45∘

12. 如图，已知抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 的部分图象如图所示，则下列结论：① abc>0；②关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根是 −1，3；③ a+2b=c；④ y最大值=43c．其中正确的有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 二次函数 y=x2+2x+3 的顶点坐标是 ．

14. 一个不透明的袋子里装有 6 个只有颜色不同的球，其中 4 个红球，2 个白球．从袋中任意摸出 1 个球，则摸出的球是红球的概率为 ．

15. 如图，过反比例函数 y=kxx>0 的图象上一点 A 作 AB⊥x 轴于点 B，连接 AO，若 S△AOB=4，则 k 的值为 ．

16. 某区 2019 年投入教育经费 2000 万元，预计 2021 年投入教育经费 2880 万元．设这两年投入的教育经费的年平均增长率为 x，则可列方程为 ．

17. 如图，CD 是 △ABC 的边 AB 上的中线，将线段 AD 绕点 D 顺时针旋转 90∘ 后，点 A 的对应点 E 恰好落在 AC 边上，若 AD=2，BC=5，则 AC 的长为 ．

18. 如图，在每个小正方形的边长均为 1 的方格纸中，有线段 AB 和线段 DE，点 A，B，D，E 均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出以 AB 为一边的锐角等腰三角形 ABC，点 C 在小正方形的顶点上，且 △ABC 的面积为 10．
（2）在方格纸中画出以 DE 为一边的直角三角形 DEF，点 F 在小正方形的顶点上，且 △DEF 的面积为 5．
（3）连接 CF，则线段 CF 长为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 解方程：x2+4x+8=2x+11．

20. 如图，有一个可以自由转动的转盘被平均分成 3 个扇形，分别标有 1，2，3 三个数字，小王和小李各转动一次转盘为一次游戏，当每次转盘停止后，指针所指扇形内的数为各自所得的数，一次游戏结束得到一组数（指针指在分界线时取指针右侧扇形的数）．
（1）小王转动一次转盘指针指向 3 所在扇形的概率是 ．
（2）请你用树状图或列表的方法求一次游戏结束后两数之和是 5 的概率．

21. 如图，F 为四边形 ABCD 边 CD 上一点，连接 AF 并延长交 BC 延长线于点 E，已知 ∠D=∠DCE．
（1）求证：△ADF∽△ECF．
（2）若 ABCD 为平行四边形，AB=6，EF=2AF，求 FD 的长度．

22. 如图，已知 AB 为 ⊙O 的直径，AC 为 ⊙O 的切线，连接 CO，过 B 作 BD∥OC 交 ⊙O 于 D，连接 AD 交 OC 于 G，延长 AB，CD 交于点 E．
（1）求证：CD 是 ⊙O 的切线．
（2）若 BE=4，DE=8，求 CD 的长．

23. 某商品每件进货价为 50 元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量 y（件）与每件的售价 x（元）满足一次函数关系 y=−20x+2600．
（1）一批发市场每月想从这种商品销售中获利 24000 元，该如何给这种商品定价?
（2）物价部门规定，该商品的每件售价不得高于 65 元，设这种商品每月的总利润为 w（元），那么售价定为多少元可获得最大利润?最大利润是多少?

24. 如图，△ABC 和 △ECD 都是等边三角形，直线 AE，BD 交于点 F．
（1）如图 1，当 A，C，D 三点在同一直线上时，∠AFB 的度数为 ，线段 AE 与 BD 的数量关系为 ．
（2）如图 2，当 △ECD 绕点 C 顺时针旋转 α0∘≤α<360∘ 时，（1）中的结论是否还成立?若不成立，请说明理由；若成立，请就图 2 给予证明．
（3）若 AC=4，CD=3，当 △ECD 绕点 C 顺时针旋转一周时．请直接写出 BD 长的取值范围．

25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=ax2+bx+52 与 x 轴交于 A5,0，B−1,0 两点，与 y 轴交于点 C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点 M 是抛物线的顶点，连接 AM，CM，求 △AMC 的面积；
（3）若点 P 是抛物线上的一个动点，过点 P 作 PE 垂直 y 轴于点 E，交直线 AC 于点 D 过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为点 F，连接 EF，当线段 EF 的长度最短时，求出点 P 的坐标．
答案
第一部分
1. D【解析】4x2+5x=81 化成一般形式为：4x2+5x−81=0，
∴ 二次项系数、常数项分别为 4，−81．
故选D．
2. C
3. D【解析】A选项：是不可能事件，故A错误；
B选项：是必然事件，故B错误；
C选项：是必然事件，故C错误；
D选项：是随机事件，故D正确．
4. B【解析】∵AD 是 ⊙O 直径，
∴∠ACD=90∘．
∴∠CAD=50∘，
∴∠D=180∘−∠ACD−∠CAD=40∘，
∴∠ABC=∠D=40∘．
5. A
【解析】∵△ABP 绕点 B 顺时针旋转 90∘ 得到 △CBPʹ，
∴BP=BPʹ=2，∠PBPʹ=90∘，
∴PPʹ=BP2+BPʹ2=22+22=22．
6. D【解析】∵△ABC 与 △DEF 的相似比为 2:3，
∴△ABC 与 △DEF 的周长之比为 2:3，
∵△ABC 的周长为 40，
∴△DEF 的周长为 40×3÷2=60．
故选D．
7. B【解析】将方程 xx−2=2x 整理得：x2−4x=0．
∴Δ=−42−4×1×0=16>0，
∴ 原方程有两个不相等的实数根．
8. A【解析】∵y=kx 中 k<0，
∴ 函数图象在二、四象限，且在每一象限内 y 随 x 的增大而增大，
∵−2<0，−1<0，
∴−2,y1，−1,y2 位于第二象限，
∴y1>0，y2>0，
∵−2<−1，
∴0 ∵1>0，
∴1,y3 在第四象限，
∴y3<0，
∴y39. B【解析】∵ 抛物线 y=−2x2−3 向右平移 2 个单位长度，
∴ 平移后解析式为：y=−2x−22−3，
∴ 再向上平移 1 个单位长度所得的抛物线解析式为：y=−2x−22−3+1，
即 y=−2x−22−2．
10. A
【解析】如图所示，连接 OC，OB，
∵ 多边形 ABCDEF 是正六边形，
∴∠BOC=60∘，
∵OA=OB，
∴△BOC 是等边三角形，
∴∠OBM=60∘，
∴OM=OBsin∠OBM=4×32=23．
11. C【解析】∵ 将 △ABC 绕点 A 逆时针方向旋转得 △AEF，
∴∠EAF=∠BAC=40∘，AB=AE，
∵ 四边形 ABDF 为菱形，
∴AF∥BE，
∴∠FAE=∠AEB=40∘，
∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB=40∘，
∴∠BAE=180∘−40∘−40∘=100∘，
∴∠CAE=60∘．
12. C【解析】∵ 抛物线开口向下，
∴a<0，
∵ 抛物线的对称轴为直线 x=−b2a=1，
∴b=−2a>0，
∵ 抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，
∴c>0，
∴abc<0，
∴ ①错误；
∵ 抛物线的对称轴为直线 x=1，抛物线与 x 轴的一个交点坐标为 3,0，
∴ 抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为 −1,0，
∴ 关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根是 −1，3，
∴ ②正确；
∵ 当 x=−1 时，y=0，
∴a−b+c=0, 而 b=−2a，
∴a+2a+c=0，即 c=−3a，
∴a+2b−c=a−4a+3a=0，
即 a+2b=c，
∴ ③正确；
∵ 当 x=1 时，函数有最大值 y=a+b+c，
∴ 函数有最大值 y=a−2a+c=−a+c=13c+c=43c，
∴ ④正确．
第二部分
13. −1,2
【解析】化成顶点式：
y=x2+2x+3=x+12+2，顶点 −1,2．
14. 23
【解析】∵ 一共有 6 个球，红球有 4 个，
∴ 从布袋里任意摸出 1 个球，摸到红球的概率为：46=23．
15. 8
【解析】由题意可设 Aa,ka，则有 AB=ka，OB=a，
∵ S△AOB=4，
∴ S△AOB=12OB⋅AB=12×a×ka=4，
∴ k=8．
16. 2000×1+x2=2880
【解析】设教育经费的年平均增长率为 x，
则 2020 的教育经费为：2000×1+x，
2021 的教育经费为：2000×1+x2．
那么可得方程：2000×1+x2=2880．
17. 3
【解析】如图，连接 BE，
∵CD 是 △ABC 的边 AB 上的中线，
∴AD=BD，
∵ 将线段 AD 绕点 D 顺时针旋转 90∘，
∴AD=DE，∠ADE=90∘，
∴∠A=45∘，AE=2AD=2，AD=DE=BD，
∴∠AEB=90∘，
∴∠A=∠ABE=45∘，
∴AE=BE=2，
∴EC=BC2−EC2=5−4=1，
∴AC=AE+EC=3．
18. （1）依据锐角等腰三角形 ABC，点 C 在小正方形的顶点上，且 △ABC 的面积为 10，即可得到点 C 的位置．
如图所示，
△ABC 即为所求；
（2）依据直角三角形 DEF，点 F 在小正方形的顶点上，且 △DEF 的面积为 5，即可得到点 F 的位置
如图所示，
△DEF 即为所求；
（3）5
【解析】（3）依据勾股定理进行计算即可得出线段 CF 的长．
由勾股定理可得
CF=12+22=5．
第三部分
19.
x2+4x+8=2x+11,x2+2x−3=0,x+3x−1=0,x+3=0,x−1=0,x1=−3,x2=1.
20. （1） 13
【解析】转动一次转盘，指针指向 1，2，3 的情况是等可能的，
所以小王转动一次转盘指针指向 3 的概率是 13．
（2） 列表如下：
12311,12,13,121,22,23,231,32,33,3
由上表得，一次游戏有 9 种等可能的情况，结果为 5 的情况有 2 种，
所以一次游戏结束后两数之和为 5 的概率为 P两数之和为5=29．
21. （1） ∵ 在 △ADF 和 △ECF 中，
∠D=∠FCE,已知∠AFD=∠EFC,对顶角相等
∴△ADF∽△ECF．
（2） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，AB=6，
∴DC=AB=6，
由（1）可得：△ADF∽△ECF，
∴FDFC=AFEF=12，
∴FD=12×DC−FD，
∴2FD=6−FD，
FD=2，
故 FD 的长度为 2．
22. （1） 如图，连接 OD，
∵AB 为 ⊙O 的直径，AC 为 ⊙O 的切线，
∴∠CAB=90∘=∠ADB，
∵OD=OB，
∴∠DBO=∠BDO，
∴CO∥BD，
∴∠AOC=∠COD，
∵AO=OD，CO=CO，
∴△AOC≌△DOCSAS，
∴∠CAO=∠CDO=90∘，
∴OD⊥CD，且 OD 是半径，
∴CD 是 ⊙O 的切线．
（2） 设 ⊙O 的半径为 r，则 OD=OB=r，
在 Rt△ODE 中，
∵OD2+DE2=OE2，
∴r2+82=r+42，解得 r=6，
∴OB=6，
∵CO∥BD，
∴DECD=BEOB，
∴CD=12．
23. （1）
x−50−20x+2600=24000,
解得，
x1=70,x2=110,∵
尽量给客户优惠，
∴ 这种衬衫定价为 70 元．
（2） 由题意可得，w=x−50，
−20x+2600=−20x−902+32000，
∵ 该衬衫的每件利润不允许高于 65 元，每件售价不低于进货价，
∴50≤x，x−50≤65−50，
解得，50≤x≤65，
∴ 当 x=65 时，w 取得最大值，此时 w=19500，
答：售价定为 65 元可获得最大利润，最大利润是 19500 元．
24. （1） 60∘；AE=BD
【解析】∵△ACB 和 △ECD 是等边三角形，
∴∠ACB=∠ECD=60∘，CA=CB，CE=CD，
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE，
即 ∠ACE=∠BCD，
在 △ACE 和 △BCD 中，
CA=CB,∠ACE=∠BCD,CE=CD,
∴△ACE≌△BCDSAS，
∴∠CAE=∠CBD，AE=BD，
根据 8 字模型可得 ∠AFB=∠ACB=60∘．
（2） ∵△ACB 和 △ECD 是等边三角形，
∴∠ACB=∠ECD=60∘，CA=CB，CE=CD，
∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE，
即 ∠ACE=∠BCD，
在 △ACE 和 △BCD 中，
CA=CB,∠ACE=∠BCD,CE=CD,
∴△ACE≌△BCDSAS，
∴∠CAE=∠CBD，AE=BD，
根据 8 字模型可得 ∠AFB=∠ACB=60∘，
∴（1）中结论仍然成立．
（3） 1≤BD≤7．
【解析】∵△CDE 是等边三角形，
∴CE=CD=3，
当 E 在 AC 上时，AE=AC−CE=4−3=1，
当 E 在 AC 延长线上时，AE=AC+CE=4+3=7，
当 A，C，E 不共线时，4−3 ∴1≤AE≤7，
∴AE=BD，
∴1≤BD≤7．
25. （1） 将 A5,0，B−1,0 代入 y=ax2+bx+52 中可得：25a+5b+52=0,a−b+52=0,
解得：a=−12,b=2,
∴ 抛物线的解析式为：y=−12x2+2x+52．
（2） ∵y=−12x2+2x+52=−12x2−4x+4+92=−12x−22+92,
∴ 点 M 的坐标为：2,92．
如图 1 所示，过 M 作 MH⊥y 轴交 AC 于点 H，
设直线 AC 的解析式为：y1=k1x+b1，
代入 A5,0，C0,52 可得：5k1+b1=0,b1=52,
解得 k1=−12,b1=52
∴ 直线 AC 的解析式为：y=−12x+52，
当 x=2 时，y=32，
∴H2,32，
∴MH=yM−yH=92−32=3，
∵S△ACM=S△CMH+S△AMH=12×MH×xM−xC+12MH×xA−xM=12×3×5=152.
（3） 如图 2 所示，作出题中的线，连接 OD，
∵DE⊥y 轴，DF⊥x 轴，
∴∠DEO=∠EOF=∠DFO=90∘ ，
∴ 四边形 DEOF 是矩形，
∴EF=OD，
∴ 当 OD 最小时，EF 最短，
由题可得，当 OD⊥AC 时，OD 最知，
由（2）知，kAC=k1=−12，
∵kOD⋅kAC=−1，
∴kOD=2，
∴ 直线 OD 的解析式为：y=2x，
联立 y=2x,y=−12x+52,
解得 x=1,y=2,
∴yD=yP=2，
∴−12x2+2x+52=2，
x2−4x−1=0，
x=4±16+42=4±252，
解得 x1=2+5，x2=2−5，
∴ 点 P 的坐标为 2+5,2 或 2−5,2．