2020年北京市门头沟区中考二模数学试卷

这是一份2020年北京市门头沟区中考二模数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 如图，是某个几何体的三视图，该几何体是
A. 三棱锥B. 三棱柱C. 圆柱D. 圆锥

2. −3 的相反数是
A. 3B. −3C. ±3D. 13

3. 如果代数式 x−1x 的值为 0，那么实数 x 满足
A. x=1B. x≥1C. x≠0D. x≥0

4. 实数 a，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是
A. a>0B. b>2C. a
5. 下列运算中，正确的是
A. x2+2x2=3x4B. x2⋅x3=x5C. x32=x5D. xy2=x2y

6. 如果 x2−2x+1=0，那么代数式 x−4x÷x+2x2 的值为
A. 0B. 2C. 1D. −1

7. 如图，线段 AB 是 ⊙O 的直径，C，D 为 ⊙O 上两点，如果 AB=4，AC=2，那么 ∠ADC 的度数是
A. 15∘B. 30∘C. 45∘D. 60∘

8. 如图，动点 P 在平面直角坐标系 xOy 中，按图中箭头所示方向运动，第 1 次从原点运动到点 1,2，第 2 次接着运动到点 2,0，第 3 次接着运动到点 3,1，第 4 次接着运动到点 4,0，⋯⋯，按这样的运动规律，经过第 27 次运动后，动点 P 的坐标是
A. 26,0B. 26,1C. 27,1D. 27,2

二、填空题（共8小题；共40分）
9. 如图所示，a∥b，表示直线 a 与 b 之间距离的是线段 的长度．

10. 分解因式：x3−xy2= ．

11. 如果数据 a，b，c 的平均数是 4，那么数据 a+1，b+1，c+1 的平均数是 ．

12. 如图，将一副直角三角板按图中所示位置摆放，保持两条斜边互相平行，那么 ∠1 的度数为 ∘．

13. 方程术是《九章算术》最高的数学成就，其中“盈不足”一章中曾记载“今有大器五小器一容三斛（“斛”是古代的一种容量单位），大器一小器五容二斛，问大小器各容几何?”
译文：有大小两种盛酒的桶，已知 5 个大桶加上 1 个小桶可以盛酒 3 斛，1 个大桶加上 5 个小桶可以盛酒 2 斛，问 1 个大桶和 1 个小桶分别可以盛酒多少斛?
设 1 个大桶可以盛酒 x 斛，1 个小桶可以盛酒 y 斛，依题意，可列二元一次方程组为 ．

14. 在同一时刻，测得身高 1.8 m 的小明同学的影长为 3 m，同时测得一根旗杆的影长为 20 m，那么这根旗杆的高度为 m．

15. 如图，在方格纸中，图形②可以看作是图形①经过若干次图形变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由图形①得到图形②的变化过程： ．

16. 某租赁公司有 A，B 型两种客车，它们的载客量和租金标准如下：
客车类型载客量人/辆租金元/辆A型45400B型30280
如果某学校计划组织 195 名师生到培训基地参加社会实践活动，那么租车的总费用最低为 元．

三、解答题（共12小题；共156分）
17. 计算：1−2+2cs45∘−8+2−2．

18. 解不等式 1+x2≤x+54，并把它的解集在数轴上表示出来．

19. 已知关于 x 的一元二次方程 x2+a+1x+a=0．
（1）求证：此方程总有两个实数根；
（2）如果此方程有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的 a 的值，并求此时方程的根．

20. 下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．
已知：如图 1，直线 l 和直线 l 外一点 P．
求作：直线 PQ，使 直线PQ∥直线l．
作法：如图 2，
① 在直线 l 上任取一点 A，作射线 AP；
② 以 P 为圆心，PA 为半径作弧，交直线 l 于点 B，连接 PB；
③ 以 P 为圆心，PB 长为半径作弧，交射线 AP 于点 C；分别以 B，C 为圆心，大于 12BC 长为半径作弧，在 AC 的右侧两弧交于点 Q；
④ 作直线 PQ；所以直线 PQ 就是所求作的直线．
根据上述作图过程，回答问题．
（1）用直尺和圆规，补全图 2 中的图形；
（2）完成下面的证明：
证明：
由作图可知 PQ 平分 ∠CPB，
∴∠CPQ=∠BPQ=12∠CPB．
又 ∵PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA（ ）（填依据）．
∵∠CPB=∠PAB+∠PBA，
∴∠PAB=∠PBA=12∠CPB．
∴∠CPQ=∠PAB．
∴ 直线 PQ∥直线l（ ）（填依据）．

21. 如图，在平行四边形 ABCD 中，线段 AC 的垂直平分线交 AC 于 O，分别交 BC，AD 于 E，F，连接 AE，CF．
（1）证明：四边形 AECF 是菱形；
（2）在（1）的条件下，如果 AC⊥AB，∠B=30∘，AE=2，求四边形 AECF 的面积．

22. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，以 AC 为直径的 ⊙O 交 BC 于点 D，过点 D 作 ⊙O 的切线 DE 交 AB 于 E．
（1）求证：DE⊥AB；
（2）如果 tanB=12，⊙O 的直径是 5，求 AE 的长．

23. 在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=mx+m 的图象与 x 轴交于点 A，将点 A 向右平移 2 个单位得到点 D．
（1）求点 D 坐标
（2）如果一次函数 y=mx+m 的图象与反比例函数 y=kxx>0 的图象交于点 B，且点 B 的横坐标为 1．
①当 k=4 时，求 m 的值；
②当 AD=BD 时，直接写出 m 的值．

24. 有这样一个问题：探究函数 y=1x2+x 的图象与性质．
小菲根据学习函数的经验，对函数 y=1x2+x 的图象与性质进行了探究．
下面是小菲的探究过程，请补充完整：
（1）函数 y=1x2+x 的自变量 x 的取值范围是 ．
（2）下表是 y 与 x 的几组对应值．
x⋯−3−2−1−23−122312123⋯y⋯−269−74m191272351292294289⋯
表中 m 的值为 ．
（3）如下图，在平面直角坐标系 xOy 中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象．
（4）根据画出的函数图象，写出：
① x=1.5 时，对应的函数值 y 约为 （结果保留一位小数）；
②该函数的一条性质： ．

25. 自从开展“创建全国文明城区”工作以来，门头沟区便掀起了“门头沟热心人”志愿服务的热潮，区教委也号召各校学生积极参与到志愿服务当中．为了解甲、乙两所学校学生一周志愿服务情况，从这两所学校中各随机抽取 40 名学生，分别对他们一周的志愿服务时长（单位：分钟）数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：
a．甲校 40 名学生一周的志愿服务时长的扇形统计图如图（数据分成 5 组：20≤x<40，40≤x<60，60≤x<80，80≤x<100，100≤x<120，120≤x<140）：
b．甲校 40 名学生一周志愿服务时长在 60≤x<80 这一组的是：
6060626365687072737575768080
c．甲、乙两校各抽取的 40 名学生一周志愿服务时长的平均数、中位数、众数如下：
学校平均数中位数众数甲校75m90乙校757685
根据以上信息，回答下列问题．
（1）m= ；
（2）根据上面的统计结果，你认为 所学校学生志愿服务工作做得好（填“甲”或“乙”），理由是 ；
（3）甲校要求学生一周志愿服务的时长不少于 60 分钟，如果甲校共有学生 800 人，请估计甲校学生中一周志愿服务时长符合要求的有 人．

26. 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2−2ax+a2 的顶点为 A，直线 y=x+3 与抛物线交于点 B，C（点 B 在点 C 的左侧）．
（1）求点 A 的坐标；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段 BC 及抛物线在 B，C 两点之间的部分围成的封闭区域（不含边界）记为 W．
①当 a=0 时，结合函数图象，直接写出区域 W 内的整点个数；
②如果区域 W 内有 2 个整点，请求出 a 的取值范围．

27. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，BC 上的两个动点（不与点 A，B，C 重合），且 AE=CF，延长 BC 到 G，使 CG=CF，连接 EG，DF．
（1）依题意将图形补全；
（2）小华通过观察、实验、提出猜想：在点 E，F 运动过程中，始终有 EG=2DF．经过与同学们充分讨论，形成了几种证明的想法：
想法一：连接 DE，DG，证明 △DEG 是等腰直角三角形；
想法二：过点 D 作 DF 的垂线，交 BA 的延长线于 H，可得 △DFH 是等腰直角三角形，证明 HF=EG；
⋯⋯
请参考以上想法，帮助小华证明 EG=2DF．（写出一种方法即可）

28. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，存在半径为 2，圆心为 0,2 的 ⊙W，点 P 为 ⊙W 上的任意一点，线段 PO 绕点 P 逆时针旋转 90∘ 得到线段 POʹ，如果点 M 在线段 POʹ 上，那么称点 M 为 ⊙W 的“限距点”．
（1）在点 A4,0，B1,2，C0,4 中，⊙W 的“限距点”为 ；
（2）如果过点 N0,a 且平行于 x 轴的直线 l 上始终存在 ⊙W 的“限距点”，画出示意图，并直接写出 a 的取值范围；
（3）⊙G 的圆心为 b,2，半径为 1，如果 ⊙G 上始终存在 ⊙W 的“限距点”，请直接写出 b 的取值范围．
答案
第一部分
1. D
2. A
3. A
4. C
5. B
6. D
7. B
8. C
第二部分
9. PB
10. xx+yx−y
11. 5
12. 15
13. 5x+y=3,x+5y=2
14. 12
15. 不唯一
16. 1760
第三部分
17. 1−2+2cs45∘−8+2−2=2−1+2×22−22+14=−34.
18.
1+x2≤x+54.4+2x≤x+5.2x−x≤5−4.x≤1.
所以
19. （1） 由题意，得 Δ=a+12−4a=a2+2a+1−4a=a2−2a+1=a−12，
∵ 当 a 为任意实数时，a−12≥0，
∴ 此方程总有两个实数根．
（2） 略．
20. （1） 略．
（2） 等边对等角；同位角相等，两直线平行
21. （1） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AF∥EC．
∴∠FAC=∠ACE．
∵EF⊥AC，EF 平分 AC，
∴AF=CF，AE=CE，AO=CO．
∵∠FAC=∠ACE，AO=CO，∠FOA=∠EOC，
∴△AOF≌△COE．
∴AF=CE．
∴AF=CF=CE=AE．
∴ 四边形 AECF 是菱形．
（2） ∵AC⊥AB，EF⊥AC，
∴AB∥EF．
∴∠OEC=∠B．
∵∠B=30∘，
∴∠OEC=30∘．
∵ 四边形 AECF 是菱形，
∴EC=AE=2．
∴OC=1，OE=3．
∴AC=2，FE=23．
∴ 四边形 AECF 的面积 =12AC×EF=12×2×23=23．
22. （1） 连接 OD．
∵DE 是 ⊙O 的切线，
∴∠ODE=90∘．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠C．
∴∠B=∠ODC．
∴AB∥OD，
∴∠BED=∠ODE=90∘，
∴DE⊥AB．
（2） 如图，连接 AD．
∵AC 为 ⊙O 直径，
∴∠ADB=∠ADC=90∘．
∵⊙O 的直径是 5，
∴AB=AC=5．
∵∠B+∠BDE=90∘，∠BDE+∠ADE=90∘，
∴∠ADE=∠B．
在 Rt△AED 中，∠AED=90∘，tan∠ADE=tanB=12，
∴ 设 AE=k，
∴DE=2k，BE=4k，AB=5k．
∵AB=5，
∴5k=5．
∴k=1．
∴AE=1．
23. （1） ∵ 一次函数 y=mx+m 的图象与 x 轴交于点 A，
∴0=mx+m，
∴0=mx+1，
∵m≠0，
∴x+1=0，
∴x=−1，
∴A−1,0，
∵ 将点 A 向右平移 2 个单位得到点 D，
∴D1,0．
（2） ① ∵ 反比例函数 y=kxx>0 的图象过点 B，点 B 的横坐标为 1，且 k=4，
∴B1,4，
∵ 一次函数 y=mx+m 的图象过点 B，
∴4=m+m，
∴m=2．
② m=±1．
24. （1） x≠0
（2） 0
（3） 略
（4） ① 1.9
②略
25. （1） 78
（2） 甲；略
（3） 640
26. （1） ∵ 抛物线 y=x2−2ax+a2 的顶点为 A，
∴x=−−2a2=a，y=a2−2a⋅a+a2=0，
∴Aa,0．
（2） ① 4 个．
②如图所示：
当抛物线 y=x2−2ax+a2 经过点 0,2 时，
a2=2，a=±2，
a=2 不符合题意舍去；
当抛物线 y=x2−2ax+a2 经过点 0,1 时，
a2=1，a=±1，
a=1 不符合题意舍去；
∴−227. （1） 补全图形：
（2） 连接 DE，DG．
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=CD，∠A=∠ADC=∠DCB=90∘．
又 ∵ 延长 BC 到 G，使 CG=CF，
∴∠DCG=90∘．
∵AE=CF，∴AE=CG．
在 △DAE 和 △DCG 中，
AD=CD,∠A=∠DCG=90∘,AE=CG,
∴△DAE≌△DCG．
∴DE=DG，∠ADE=∠CDG．
∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=90∘，
∴∠CDG+∠EDC=∠EDG=90∘．
∵DE=DG，∠EDG=90∘，
∴EG=2DG．
又 ∵CG=CF，∠DCB=∠DCG=90∘，
∴DF=DG．
∴EG=2DF．
28. （1） A4,0，C0,4
（2）
2−22≤a≤2+22．
（3） −3≤a≤3−22 或 1≤a≤3+22．