2020年广东省深圳市龙华新区中考一模数学试卷

这是一份2020年广东省深圳市龙华新区中考一模数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 3 倒数等于
A. 3B. 13C. −3D. −13

2. 如图，由 5 个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是
A. B.
C. D.

3. 下列计算正确的是
A. 4x3⋅2x2=8x6B. a4+a3=a7
C. −x25=−x10D. a−b2=a2−b2

4. 下图中是中心对称图形而不是轴对称图形的共有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

5. 我县人口约为 530060 人，用科学记数法可表示为
A. 53006×10 人B. 5.3006×105 人
C. 53×104 人D. 0.53×106 人

6. 如图，已知 AB∥DE，∠ABC=75∘，∠CDE=145∘，则 ∠BCD 的值为
A. 20∘B. 30∘C. 40∘D. 70∘

7. 某商店出售两件衣服，每件卖了200元，其中一件赚了25%，而另一件赔了20%．那么商店在这次交易中( )
A. 亏了10元钱B. 赚了10钱C. 赚了20元钱D. 亏了20元钱

8. 在趣味运动会“定点投篮”项目中，我校七年级八个班的投篮成绩（单位：个）分别为：24，20，19，20，22，23，20，22．则这组数据中的众数和中位数分别是
A. 22 个、 20 个B. 22 个、 21 个C. 20 个、 21 个D. 20 个、 22 个

9. 已知二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 的图象如图所示，给出以下结论：
① a+b+c<0；② a−b+c<0；③ b+2a<0；④ abc>0．
其中所有正确结论的序号是
A. ③④B. ②③C. ①④D. ①②③

10. 如图，正六边形 ABCDEF 内接于 ⊙O，⊙O 的半径为 4，则这个正六边形的边心距 OM 和 BC 的长分别为
A. 2，4π3B. 3，πC. 23，8π3D. 23，4π3

11. 如图，在平行四边形 ABCD 中，用直尺和圆规作 ∠BAD 的平分线 AG 交 BC 于点 E，若 BF=6，AB=5，则 AE 的长为
A. 4B. 6C. 8D. 10

12. 如图，正方形 ABCD 的对角线交于点 O，点 O 又是正方形 A1B1C1O 的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形 A1B1C1O 绕点 O 怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的
A. 12B. 13C. 14D. 15

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 分解因式：a3−a= ．

14. 经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转，若这三种的可能性相同，则两辆汽车经过十字路口全部继续直行的概率为 ．

15. 按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第 14 个图案中黑色小正方形地砖的块数是 ．

16. 如图，已知 ⊙O 是 △ABC 的内切圆，且 ∠ABC=60∘，∠ACB=80∘，则 ∠BOC 的度数为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. cs45∘−2sin30∘+−20．

18. 解不等式组 x−2x−3<4,x2−x+1≤2−x 并写出它的整数解．

19. 某校为了解学生对“第二十届中国哈尔滨冰雪大世界”主题景观的了解情况，在全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并把调查结果绘制成如图的不完整的两幅统计图：
（1）本次调查共抽取了多少名学生；
（2）通过计算补全条形图；
（3）若该学校共有 750 名学生，请你估计该学校选择“比较了解”项目的学生有多少名?

20. 如图 1，2 分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知 AB⊥BC 于点 B，底座 BC 的长为 1 米，底座 BC 与支架 AC 所成的角 ∠ACB=60∘，点 H 在支架 AF 上，篮板底部支架 EH∥BC，EF⊥EH 于点 E，已知 AH 长 122 米，HF 长 2 米，HE 长 1 米．
（1）求篮板底部支架 HE 与支架 AF 所成的角 ∠FHE 的度数．
（2）求篮板底部点 E 到地面的距离．（结果保留根号）

21. 某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用 1200 元购书若干本，并按该书定价 7 元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提髙了 20%，他用 1500 元所购该书的数量比第一次多 10 本，当按定价售出 200 本时，出现滞销，便以定价的 4 折售完剩余的书．
（1）第一次购书的进价是多少元?
（2）试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）?若赔钱，赔多少；若赚钱，赚多少?

22. 如图，AN 是 ⊙M 的直径，NB∥x 轴，AB 交 ⊙M 于点 C．
（1）若点 A0,6，N0,2，∠ABN=30∘，求点 B 的坐标；
（2）若 D 为线段 NB 的中点，求证：直线 CD 是 ⊙M 的切线．

23. 如图，已知抛物线 y=−x2+bx+c 与一直线相交于 A1,0，C−2,3 两点，与 y 轴交于点 N，其顶点为 D．
（1）求抛物线及直线 AC 的函数关系式；
（2）若 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一个动点，求 △APC 的面积的最大值及此时点 P 的坐标；
（3）在对称轴上是否存在一点 M，使 △ANM 的周长最小．若存在，请求出 M 点的坐标和 △ANM 周长的最小值；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. B
2. B【解析】从左面看易得第一层有 2 个正方形，第二层最左边有一个正方形．
3. C【解析】A．原式=8x5，错误；
B．原式不能合并，错误；
C．原式=−x10，正确；
D．原式=a2−2ab+b2，错误．
4. B【解析】第一个图形，既是中心对称图形，又是轴对称图形，故错误；
第二个图形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
第三个图形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
第四、五个是中心对称图形而不是轴对称图形，故正确．
故选：B．
5. B
【解析】∵530060 是 6 位数，
∴10 的指数应是 5，
故选：B．
6. C【解析】延长 ED 交 BC 于 F，如图所示：
∵AB∥DE，∠ABC=75∘，
∴∠MFC=∠B=75∘，
∵∠CDE=145∘，
∴∠FDC=180∘−145∘=35∘，
∴∠C=∠MFC−∠MDC=75∘−35∘=40∘．
7. A【解析】【分析】根据题意可以列出相应的方程，求出两件商品的进价，然后用总的售价减去总的进价即可解答本题．
【解析】解：设一件的进件为x元，另一件的进价为y元，
则x(1+25%)=200，y(1−20%)=200，
解得，x=160，y=250，
∴(200+200)−(160+250)=−10，
∴这家商店这次交易亏了10元，
故选：A．
【点评】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出形应的方程．
8. C【解析】在这一组数据中 20 出现了 3 次，次数最多，故众数是 20；
把数据按从小到大的顺序排列：19，20，20，20，22，22，23，24，
处于这组数据中间位置的数 20 和 22，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是 21．
9. C【解析】①当 x=1 时，
结合图象 y=a+b+c<0，
故此选项正确；
②当 x=−1 时，
图象与 x 轴交点负半轴明显小于 −1，
∴y=a−b+c>0，
故本选项错误；
③由抛物线的开口向上知 a>0，
∵ 对称轴为 0 ∴2a>−b，
即 2a+b>0，
故本选项错误；
④对称轴为 x=−b2a>0，
∴a，b 异号，
即 b<0，
图象与坐标相交于 y 轴负半轴，
∴c<0，
∴abc>0，
故本选项正确；
∴ 正确结论的序号为①④．
10. D
【解析】如图所示，连接 OC，OB，
∵ 多边形 ABCDEF 是正六边形，
∴∠BOC=60∘，
∵OA=OB，
∴△BOC 是等边三角形，
∴∠OBM=60∘，
∴OM=OBsin∠OBM=4×32=23，
BC 的长 =60π×4180=4π3．
11. C【解析】连接 EF，AE 与 BF 交于点 O，如图：
∵AB=AF，AO 平分 ∠BAD，
∴AO⊥BF，BO=FO=12BF=3，
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AF∥BE，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴AB=EB，
而 BO⊥AE，
∴AO=OE，
在 Rt△AOB 中，AO=AB2−OB2=52−32=4，
∴AE=2AO=8，
12. C【解析】（1）当正方形绕点 OA1B1C1O 绕点 O 转动到其边 OA1，OC1 分别于正方形 ABCD 的两条对角线重合这一特殊位置时，显然 S两个正方形重叠部分=14S正方形ABCD，
（2）当正方形绕点 OA1B1C1O 绕点 O 转动到如图位置时．
∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴∠OAB=∠OBF=45∘，OA=OB，BO⊥AC，即 ∠AOE+∠EOB=90∘，
又 ∵ 四边形 AʹBʹCʹO 为正方形，
∴∠AʹOCʹ=90∘，即 ∠BOF+∠EOB=90∘，
∴∠AOE=∠BOF，
在 △AOE 和 △BOF 中，
∠AOE=∠BOF,AO=BO,∠OAE=∠OBF,
∴△AOE≌△BOFASA，
∵S两个正方形重叠部分=S△BOE+S△BOF，
又 S△AOE=S△BOF，
∴S两个正方形重叠部分=S△ABO=14S正方形ABCD．
综上所知，无论正方形 A1B1C1O 绕点 O 怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的 14．
第二部分
13. aa+1a−1
【解析】a3−a=aa2−1=aa+1a−1
故答案为：aa+1a−1．
14. 19
【解析】根据题意，画出树状图如图：
一共有 9 种情况，两辆汽车经过十字路口全部继续直行的有 1 种情况，
所以，P两辆汽车经过十字路口全部继续直行=19．
15. 365
【解析】第 1 个图案只有 1 块黑色地砖，
第 2 个图案有黑色与白色地砖共 32=9，其中黑色的有 5 块，
第 3 个图案有黑色与白色地砖共 52=25，其中黑色的有 13 块，
⋯
第 n 个图案有黑色与白色地砖共 2n−12，其中黑色的有 122n−12+1，
当 n=14 时，黑色地砖的块数有 122×14−12+1=12×730=365．
16. 110∘
【解析】∵⊙O 是 △ABC 的内切圆，
∴∠OBC=12∠ABC=30∘，∠OCB=12∠ACB=40∘，
∴∠BOC=180∘−∠OBC−∠OCB=110∘．
第三部分
17. 原式=22−2×12+1=22−1+1=22.
18.
x−2x−3<4, ⋯⋯①x2−x+1≤2−x, ⋯⋯②
由①得
x>2,
由②得
x≤6,
故不等式组的整数解为：
2它的整数解有 3，4，5，6．
19. （1） 本次调查共抽取的学生数是：16÷32%=50（名）．
（2） 不大了解的人数有 50−16−18−10=6（名），补图如下：
（3） 根据题意得：750×1850=270（名），
答：该学校选择“比较了解”项目的学生有 270 名．
20. （1） 在 Rt△EFH 中，cs∠FHE=HEHF=12=22，
∴∠FHE=45∘，
答：篮板底部支架 HE 与支架 AF 所成的角 ∠FHE 的度数为 45∘．
（2） 延长 FE 交 CB 的延长线于 M，过点 A 作 AG⊥FM 于 G，过点 H 作 HN⊥AG 于 N，
则四边形 ABMG 和四边形 HNGE 是矩形，
∴GM=AB，HN=EG，
在 Rt△ABC 中，
∵tan∠ACB=ABBC，
∴AB=BCtan60∘=1×3=3，
∴GM=AB=3，
在 Rt△ANH 中，∠FAN=∠FHE=45∘，
∴HN=AHsin45∘=22×22=12，
∴EM=EG+GM=12+3，
答：篮板底部点 E 到地面的距离是 12+3 米．
21. （1） 设第一次购书的单价为 x 元，根据题意得：
1200x+10=15001+20%x,
解得：
x=5.
经检验，x=5 是原方程的解，
答：第一次购书的进价是 5 元．
（2） 第一次购书为 1200÷5=240（本），
第二次购书为 240+10=250（本），
第一次赚钱为 240×7−5=480（元），
第二次赚钱为 200×7−5×1.2+50×7×0.4−5×1.2=40（元），
所以两次共赚钱 480+40=520（元），
答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了 520 元．
22. （1） ∵A 的坐标为 0,6，N0,2，
∴AN=4，
∵∠ABN=30∘，∠ANB=90∘，
∴AB=2AN=8，
∴ 由勾股定理可知：NB=AB2−AN2=43，
∴B43,2．
（2） 连接 MC，NC，
∵AN 是 ⊙M 的直径，
∴∠ACN=90∘，
∴∠NCB=90∘，
在 Rt△NCB 中，D 为 NB 的中点，
∴CD=12NB=ND，
∴∠CND=∠NCD，
∵MC=MN，
∴∠MCN=∠MNC，
∵∠MNC+∠CND=90∘，
∴∠MCN+∠NCD=90∘，
即 MC⊥CD，
∴ 直线 CD 是 ⊙M 的切线．
23. （1） 将 A1,0，C−2,3 代入 y=−x2+bx+c，得：
−1+b+c=0,−4−2b+c=3,
解得：b=−2,c=3,
∴ 抛物线的函数关系式为 y=−x2−2x+3；
设直线 AC 的函数关系式为 y=mx+nm≠0，
将 A1,0，C−2,3 代入 y=mx+n，
得：m+n=0,−2m+n=3,
解得：m=−1,n=1,
∴ 直线 AC 的函数关系式为 y=−x+1．
（2） 过点 P 作 PE∥y 轴交 x 轴于点 E，交直线 AC 于点 F，过点 C 作 CQ∥y 轴交 x 轴于点 Q，如图 1 所示．
设点 P 的坐标为 x,−x2−2x+3−2 ∴PE=−x2−2x+3，EF=−x+1，
PF=PE−EF=−x2−2x+3−−x+1=−x2−x+2．
∵ 点 C 的坐标为 −2,3，
∴ 点 Q 的坐标为 −2,0，
∴AQ=1−−2=3．
∴S△APC=12AQ⋅PF=−32x2−32x+3=−32x+122+278.
∵−32<0，
∴ 当 x=−12 时，△APC 的面积取最大值，最大值为 278，此时点P的坐标为 −12,154．
（3） 当 x=0 时，y=x2−2x+3=3，
∴ 点 N 的坐标为 0,3．
∵y=x2−2x+3=−x+12+4，
∴ 抛物线的对称轴为直线 x=−1，
∵ 点 C 的坐标为 −2,3，
∴ 点 C，N 关于抛物线的对称轴对称．
令直线 AC 与抛物线的对称轴的交点为点 M，如图 2 所示．
∵ 点 C，N 关于抛物线的对称轴对称，
∴MN=CM，
∴AM+MN=AM+MC=AC，
∴ 此时 △ANM 周长取最小值．
当 x=−1 时，y=−x+1=2，
∴ 此时点 M 的坐标为 −1,2．
∵ 点 A 的坐标为 1,0，点 C 的坐标为 −2,3，点 N 的坐标为 0,3，
∴AC=32+32=32，AN=32+12=10．
∴C△ANM=AM+MN+AN=AC+AN=32+10．
∴ 在对称轴上存在一点 M−1,2，使 △ANM 的周长最小，△ANM 周长的最小值为 32+10．