2020年广东省深圳市龙华区中考二模数学试卷（期中）

这是一份2020年广东省深圳市龙华区中考二模数学试卷（期中），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 2020 的相反数是
A. 2020B. 12020C. −2020D. −12020

2. 4 月 5 日，龙华区发放 5000 万元餐饮消费券，数据 5000 万元用科学记数法表示为
A. 5×107 元B. 50×106 元C. 0.5×108 元D. 5×103 元

3. 下列几何体中，主视图和左视图都相同的个数有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

4. 下列图形中既是轴对称图形但不是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

5. 下列运算中正确的是
A. 2a3−a3=2B. 2a3⋅a4=2a7C. 2a23=6a5D. a8÷a2=a4

6. 某小组在一次“在线测试”中做对的题数分别是 10，8，6，9，8，7，8，对于这组数据，下列判断中错误的是
A. 众数是 8B. 中位数是 8C. 平均数是 8D. 方差是 8

7. 不等式组 2x−13>−1,1−3x≥−5 的解集在数轴上可表示为
A. B.
C. D.

8. 如图，直线 a∥b∥c，等边三角形 △ABC 的顶点 A，B，C 分别在直线 a，b，c 上，边 BC 与直线 c 所夹的角 ∠1=25∘，则 ∠2 的度数为
A. 25∘B. 30∘C. 35∘D. 45∘

9. 下列命题中，是真命题的是
A. 三角形的外心到三角形三边的距离相等
B. 顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形
C. 方程 x2+2x+3=0 有两个不相等的实数根
D. 将抛物线 y=2x2−2 向右平移 1 个单位后得到的抛物线是 y=2x2−3

10. 甲、乙两个工厂生产同一种类型口罩，每个小时甲厂比乙厂多生产 1000 个这种类型的口罩，甲厂生产 30000 个这种类型的口罩所用的时间与乙厂生产 25000 个这种类型的口罩的时间相同．设甲厂每小时生产这种类型的口罩 x 个，依据题意列方程为
A. 30000x+1000=25000xB. 30000x=25000x+1000
C. 30000x=25000x−1000D. 30000x−1000=25000x

11. 定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的周长值与面积值相等，则这个点叫做和谐点，这个矩形叫做和谐矩形．已知点 Pm,n 是抛物线 y=x2+k 上的和谐点，对应的和谐矩形的面积为 16，则 k 的值为
A. −12B. 0C. 4D. 16

12. 如图，已知四边形 ABCD 是边长为 4 的正方形，E 为 CD 上一点，且 DE=1，F 为射线 BC 上一动点，过点 E 作 EG⊥AF 于点 P，交直线 AB 于点 G．则下列结论中：① AF=EG；②若 ∠BAF=∠PCF，则 PC=PE；③当 ∠CPF=45∘ 时，BF=1；④ PC 的最小值为 13−2．其中正确的有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共4小题；共20分）
13. 分解因式：2a2−8= ．

14. 有 6 张同样的卡片，卡片上分别写上“清明节”、“复活节”、“端午节”、“中秋节”、“圣诞节”、“元宵节”，将这些卡片放在一个不透明的盒子里，搅匀后随机从中抽取一张，抽到标有节日是中国传统节日的概率是 ．

15. 如图，矩形 ABCD 中，AD=2，以 A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 AB，AD 于 M，N 两点，分别以 M，N 为圆心，大于 12MN 的长为半径作弧，两弧相交于点 P，连接 AP 并延长交 CD 于点 E，以 A 为圆心，AE 为半径作弧，此弧刚好过点 B，则 CE 的长为 ．

16. 如图，已知直线 y=−2x+4 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，与双曲线 y=kxx>0 交于 C，D 两点，且 ∠AOC=∠ADO，则 k 的值为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
17. 计算：1−2−13−1+2020−π0−2cs45∘．

18. 先化简，再求值：x2−4x+4x2−1÷1−3x+1，其中 x=tan260∘．

19. 在“停课不停学”期间，某校数学兴趣小组对本校同学观看教学视频所使用的工具进行了调查，并从中随机抽取部分数据进行分析，将分析结果绘制成了两幅不完整的统计表与统计图．
工具人数频率手机44a平板b0.2电脑80c电视20d不确定160.08
请根据上述信息回答下列问题：
（1）所抽取出来的同学共 人，表中 a= ，b= ．
（2）请补全条形统计图．
（3）若该校观看教学视频的学生总人数为 2500 人，则使用电脑的学生人数约 人．

20. 在“停课不停学”期间，小明用电脑在线上课，图 1 是他的电脑液晶显示器的侧面图，显示屏 AB 可以绕 O 点旋转一定角度．研究表明：当眼睛 E 与显示屏顶端 A 在同一水平线上，且望向显示器屏幕形成一个 18∘ 俯角（即望向屏幕中心 P 的的视线 EP 与水平线 EA 的夹角 ∠AEP）时，对保护眼睛比较好，而且显示屏顶端 A 与底座 C 的连线 AC 与水平线 CD 垂直时（如图 2 ）时，观看屏幕最舒适，此时测得 ∠BCD=30∘，∠APE=90∘，液晶显示屏的宽 AB 为 32 cm．
（参考数据：sin18∘≈0.3，cs18∘≈0.9，2≈1.4，3≈1.7）
（1）求眼睛 E 与显示屏顶端 A 的水平距离 AE；（结果精确到 1 cm）
（2）求显示屏顶端 A 与底座 C 的距离 AC．（结果精确到 1 cm）

21. 随着疫情形势稳定向好，“复工复产”成为主旋律．某生产无人机公司统计发现，公司今年 2 月份生产A型无人机 2000 架，4 月份生产A型无人机达到 12500 架．
（1）求该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率；
（2）该公司还生产B型无人机，已知生产 1 架A型无人机的成本是 200 元，生产 1 架B型无人机的成本是 300 元，现要生产A，B两种型号的无人机共 100 架，其中A型无人机的数量不超过B型无人机数量的 3 倍，公司生产A，B两种型号的无人机各多少架时才可能使生产成本最少?

22. 如图，已知 AB 是 ⊙O 的弦，点 C 是弧 AB 的中点，D 是弦 AB 上一动点，且不与 A，B 重合，CD 的延长线交于 ⊙O 点 E，连接 AE，BE，过点 A 作 AF⊥BC，垂足为 F，∠ABC=30∘．
（1）求证：AF 是 ⊙O 的切线；
（2）若 BC=6，CD=3，则 DE 的长为 ；
（3）当点 D 在弦 AB 上运动时，CEAE+BE 的值是否发生变化?如果变化，请写出其变化范围；如果不变，请求出其值．

23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线 y=−33x2+bx+c 与 x 轴交于 A−1,0，B3,0 两点，与 y 轴交于点 C．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）若直线 l:y=−33x+m 与该抛物线交于 D，E 两点，如图．
①连接 CD，CE，BE，当 S△BCE=3S△CDE 时，求 m 的值；
②是否存在 m 的值，使得原点 O 关于直线 l 的对称点 P 刚好落在该抛物线上?如果存在，请直接写出 m 的值；如果不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. C【解析】2020 的相反数是：−2020．
2. A【解析】5000 万 =50000000=5×107（元）．
3. D【解析】圆柱的主视图、左视图都是长方形，故此选项符合题意；
立方体的主视图、左视图都是正方形，故此选项符合题意；
圆锥体的主视图左视图都是三角形，故此选项符合题意；
球的主视图、左视图都是半径相同的圆，故此选项符合题意．
4. D【解析】A．是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意．
5. B
【解析】A、 2a3−a3=a3，故此选项错误；
B、 2a3⋅a4=2a7，正确；
C、 2a23=8a6，故此选项错误；
D、 a8÷a2=a6，故此选项错误．
6. D【解析】平均数 =10+8+6+9+8+7+8÷7=8，
按从小到大排列为：6，7，8，8，8，9，10，
∴ 中位数是 8；
∵8 出现了 3 次，次数最多，
∴ 众数是 8；
方差
s2=1810−82+8−82+6−82+9−82+8−82+7−82+8−82=1.25.
∴ D错误．
7. A【解析】2x−13>−1, ⋯⋯①1−3x≥−5. ⋯⋯②
解①得：x>−1，
解②得：x≤2，
故不等式组的解集为：−1在数轴上表示解集为：
8. C【解析】∵b∥c，
∴∠3=∠1=25∘，
∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=60∘，
∴∠4=∠ABC−∠3=60∘−25∘=35∘，
∴a∥b，
∴∠2=∠4=35∘．
9. B【解析】A．三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原命题是假命题；
B．顺次连接对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是菱形，正确，是真命题；
C．∵Δ=4−4×3×1=−8<0，
∴ 方程 x2+2x+3=0 无实数根，原命题是假命题；
D．将抛物线 y=2x2−2 向右平移1个单位后得到的抛物线是 y=2x−12−2，原命题是假命题．
10. C
【解析】设甲厂每小时生产这种类型的口罩 x 个，
依据题意列方程为：30000x=25000x−1000．
11. A【解析】∵ 点 Pm,n 是抛物线 y=x2+k 上的点，
∴n=m2+k，
∴k=n−m2，
∴ 点 Pm,n 是和谐点，对应的和谐矩形的面积为 16，
∴2∣m∣+2∣n∣=∣mn∣=16，
∴∣m∣=4，∣n∣=4，
当 n≥0 时，k=n−m2=4−16=−12；
当 n<0 时，k=n−m2=−4−16=−20．
12. B【解析】连接 AE，过 E 作 EH⊥AB 于 H，
则 EH=BC，
∵AB=BC，
∴EH=AB，
∵EG⊥AF，
∴∠BAF+∠AGP=∠BAF+∠AFB=90∘，
∴∠EGH=∠AFB，
∵∠B=∠EHG=90∘，
∴△HEG≌△ABFAAS，
∴AF=EG，故①正确；
∵AB∥CD，
∴∠AGE=∠CEG，
∵∠BAF+∠AGP=90∘，∠PCF+∠PCE=90∘，
∵∠BAF=∠PCF，
∴∠AGE=∠PCE，
∴∠PEC=∠PCE，
∴PE=PC，故②正确；
连接 EF，
∵∠EPF=∠FCE=90∘，
∴ 点 E，P，F，C 四点共圆，
∴∠FEC=∠FPC=45∘，
∴EC=FC，
∴BF=DE=1，
同理当 F 运动到 C 点右侧时，
此时 ∠FPC=45∘，且 EPCF 四点共圆，EC=FC=3，
故此时 BF=BC+CF=4+3=7，
因此 BF=1 或 7，故③错误；
取 AE 的中点 O，连接 PO，CO，
∴AO=PO=12AE，
∵∠APE=90∘，
∴ 点 P 在以 O 为圆心，AE 为直径的圆上，
∴ 当 OC 最小时，CP 的值最小，
∵PC≥OC−OP，
∴PC 的最小值 =OC−OP=OC−12AE，
∵OC=22+722=652，AE=42+12=17，
∴PC 的最小值为 652−172，故④错误．
第二部分
13. 2a+2a−2
【解析】2a2−8=2a2−4=2a+2a−2.
14. 23
【解析】∵ 有 6 张同样的卡片，卡片上分别写上“清明节”、“复活节”、“端午节”、“中秋节”、“圣诞节”、“元宵节”，抽到标有节日是中国传统节日的有 4 种，
∴ 抽到标有节日是中国传统节日的概率是 46=23．
15. 22−2
【解析】如图，连接 BE，
根据作图过程可知：
AE 平分 ∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴DC∥AB，∠D=90∘，
∴∠DAE=∠EAB，
∴∠EAB=∠AED，
∴∠DAE=∠AED，
∴DE=AD=2，
∴DE=AD2+DE2=22，
∴DC=AB=AE=22，
∴CE=DC−DE=22−2．
16. 85
【解析】由已知得 OA=2，OB=4，
根据勾股定理得出，AB=25，
如图，过点 C 作 CE⊥x 轴于 E，作 CG⊥y 轴 G，过点 D 作 DH⊥x 轴于 H，作 DF⊥y 轴于 F，连接 GH，GD，CH，
∵ 点 C，D 是反比例图象上的点，
∴S矩形FDHO=S矩形GCEO，
∴12S矩形FDHO=12S矩形GOEC，
∴S△DGH=S△GHC，
∴ 点 C，D 到 GH 的距离相等，
∴CD∥GH，
∴ 四边形 BDHG 和四边形 GHAC 都是平行四边形．
∴BD=GH，GH=CA．
即 BD=AC；
设 AC=BD=m，
∵∠AOC=∠ADO，∠CAO=∠DAO，
∴△AOC∽△ADO，
∴AOAC=ADAO，
∴AO2=AC⋅AD，
∴22=m25−m，
∴m=5±1（舍去 5+1），
过点 C 作 CE⊥x 轴于点 E，
∴△ACE∽△ABO，
∴AEAO=CEOB=ACAB，
∴AE2=CE2=5−125，
∴AE=5−15，CE=25−15，
∴OE=OA−AE=2−5−15=5+15，
∴CE⋅OE=5+15×25−15=85．
第三部分
17. 原式=2−1−3+1−2×22=2−1−3+1−2=−3.
18. 原式=x−22x−1x+1÷x−2x+1=x−22x−1x+1⋅x+1x−2=x−2x−1.
∵x=tan260∘=3，
∴ 当 x=3 时，原式=12．
19. （1） 200；0.22；40
【解析】所抽取出来的同学共有：16÷0.08=200（人），
a=44200=0.22，b=200×0.2=40．
故答案为：200；0.22；40．
（2） 根据（1）求出 b 的值，补全统计图如下：
（3） 1000
【解析】根据题意得：2500×80200=1000（人），
答：使用电脑的学生人数约 1000 人．
故答案为：1000．
20. （1） 由已知得 AP=BP=12AB=16 cm，
在 Rt△APE 中，
∵sin∠AEP=APAE，
∴AE=APsin∠AEP=16sin18∘≈160.3≈53．
答：眼睛 E 与显示屏顶端 A 的水平距离 AE 约为 53 cm．
（2） 如图，过点 B 作 BF⊥AC 于点 F．
∵∠EAB+∠BAF=90∘，∠EAB+∠AEP=90∘，
∴∠BAF=∠AEP=18∘，
在 Rt△ABF 中，
AF=AB⋅cs∠BAF=32×cs18∘≈32×0.9≈28.8，
BF=AB⋅sin∠BAF=32×sin18∘≈32×0.3≈9.6，
∵BF∥CD，
∴∠CBF=∠BCD=30∘，
∴CF=BF⋅tan∠CBF=9.6×tan30∘=9.6×33≈5.44，
∴AC=AF+CF=28.8+5.44≈34cm．
答：显示屏顶端 A 与底座 C 的距离 AC 约为 34 cm．
21. （1） 设该公司生长A型无人机每月产量的平均增长率为 x，
根据题意可得：
20001+x2=12500.
解得：
x1=1.5=150%,x2=−3.5不合题意舍去.
答：该公司生长A型无人机每月产量的平均增长率为 150%．
（2） 设生产A型号无人机 a 架，则生产型B号无人机 100−a 架，需要成本为 w 元，
依据题意可得：
a≤3100−a.
解得：
a≤75.w=200a+300100−a=−100a+3000
，
∵−100<0，
∴ 当 a 的值增大时，w 的值减小，
∵a 为整数，
∴ 当 a=75 时，w 取最小值，此时 100−75=25，
w=−100×75+30000=22500，
∴ 公司生产A型号无人机 75 架，生产B型号无人机 25 架成本最小．
22. （1） 如图 1 中，连接 AC，OC，OA．
∵∠AOC=2∠ABC=60∘，OA=OC，
∴△AOC 是等边三角形，
∴∠CAO=60∘，
∵BC=AC，
∴AB⊥OC，
∴∠OAD=12∠OAC=30∘，
∵∠ABC=30∘，
∴∠ABC=∠OAD，
∴OA∥BF，
∵AF⊥BF，
∴OA⊥AF，
∴AF 是 ⊙O 的切线．
（2） 9
【解析】∵BC=AC，
∴∠CBD=∠BEC，
∵∠BCD=∠BCE，
∴△BCD∽△ECB，
∴BCEC=CDCB，
∴6EC=36，
∴EC=12，
∴DE=EC−CD=12−3=9．
（3） 结论：CEAE+BE=33，CEAE+BE 的值不变．
理由：如图 2 中，连接 AC，OC，OC 交 AB 于 H，作 AN∥EC 交 BE 的延长线于 N．
∵BC=AC，
∴OC⊥AB，CB=CA，
∴BH=AH=12AB，
∵∠ABC=30∘，
∴BH=32BC，
∴AC=33AB，
∵CE∥AN，
∴∠N=∠CEB=30∘，∠EAN=∠AEC=∠ABC=30∘，
∴∠CEA=∠ABC=30∘，∠EAN=∠N，
∴∠N=∠AEC，AE=EN，
∵∠ACE=∠ABN，
∴△ACE∽△ABN，
∴CEBN=ACAB=33，
∴CEAE+BE=33，
∴CEAE+BE 的值不变．
23. （1） 把 A−1,0，B3,0 两点代入 y=−33x2+bx+c，
可得：−33−b+c=0,−33+3b+c=0, 解得：b=233,c=3,
∴ 抛物线的解析式为 y=−33x2+233x+3．
（2） ①如图 1 中，
对于 y=−33x2+233x+3，令 x=0，可得 y=3，
∴C0,3，
∵B3,0，
∴OC=3，OB=3，
∴tan∠CBO=33，
∴∠CBO=30∘，
∵ 直线 l:y=−33x+m 与 x 轴交于 N3m,0 与 y 轴交于 M0,m，
∴tan∠MNO=OMOM=33，
∴∠NMO=30∘=∠CBO，
∴l∥BC，
∵S△BCE=3S△CDE，
∴BC=3DE，
∴ 直线 l 应该在 BC 的上方，
在 BC 上取一点 F，使得 BC=3BF，
∴BF=DE，
∴ 四边形 BEDF 是平行四边形，
∵C0,3，B3,0，BC=3BF，
∴F2,33，
设 Dn,33n+m，则 En+1,−33n+1+m，
将它们代入抛物线的解析式得到：−33n2+233n+3=−33n+m,−33n+12+233n+1+3=−33n+1+m,
解得 n=1,m=533,
∴m 的值为 533．
②如图 2 中，过点 O 作 OM⊥BC 交抛物线于 M 或 Mʹ．
则直线 OM 的解析式为 y=3x，
由 y=3x,y=−33x2+233x+3,
解得 x=−1+132,y=−3+392 或 x=−1−132,y=−3−392,
∴M−1+132,−3+392，Mʹ−1−132,−3−392，
由题意直线 l 经过 OM 或 OMʹ 的中点，
∴−3+394=−33×−1+134+m 或 −3−394=−33×−1−134+m，
解得 m=−3±393．