2018_2019学年广州市黄埔区九上期末数学试卷

这是一份2018_2019学年广州市黄埔区九上期末数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列各点中在反比例函数 y=−2x 的图象上的点是
A. −1,−2B. 1,−2C. 1,2D. 2,1

2. 抛物线 y=x−22−1 的对称轴是
A. x=2B. x=−2C. x=−1D. x=1

3. 如图，点 A，B，C 都在 ⊙O 上，∠CAB=70∘，则 ∠COB 的度数为
A. 70∘B. 80∘C. 120∘D. 140∘

4. 如图，点 A，B，C，D，O 都在方格纸的格点上，若 △COD 是由 △AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为
A. 30∘B. 45∘C. 90∘D. 135∘

5. 若方程 3x2+6x−4=0 的两个根为 x1，x2，则
A. x1+x2=6B. x1+x2=−6C. x1+x2=2D. x1+x2=−2

6. “任意画一个三角形，其内角和是 360∘”，这一事件是
A. 必然事件B. 不可能事件
C. 随机事件D. 以上选项均不正确

7. 已知圆的直径为 10 cm，圆心到某直线的距离为 4.5 cm，则该直线与圆的位置关系是
A. 相交B. 相切C. 相离D. 以上都不对

8. 在一个暗箱里放入除颜色外其它都相同的 3 个红球和 11 个黄球，搅拌均匀后随机任取一个球，取到是红球的概率是
A. 311B. 811C. 1114D. 314

9. 函数 y=x2−x+12 的最小值是
A. 12B. −12C. 14D. −14

10. 一次函数 y=−x+1 的图象与反比例函数 y=kx 的图象交点的纵坐标为 2，当 −3A. −2
二、填空题（共6小题；共30分）
11. 点 P−2,−3 关于原点对称的点的坐标是 ．

12. 从一副扑克牌中级抽取一张，①抽到王牌；②抽到Q；③抽到梅花．上述事件，概率最大的是 ．

13. 一个扇形的圆心角是 120∘．它的半径是 3 cm，则扇形的弧长为 cm．

14. 一个矩形的长比宽多 2，面积是 100，若设矩形的宽为 x，列出关于 x 的方程是 ．

15. 如图，点 A，B，C，D 都在 ⊙O 上，AB 是直径，弦 AC=6，CD 平分 ∠ACB，BD=52，则 BC 的长等于 ．

16. 如图，正方形 ABCD 中，AB=3 cm，以 B 为圆心，1 cm 为半径画圆，点 P 是 ⊙B 上一个动点，连接 AP，并将 AP 绕点 A 逆时针旋转 90∘ 至 APʹ，连接 BPʹ，在点 P 移动的过程中，BPʹ 长度的取值范围是 cm．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解方程：x2+2x−3=0（公式法）．

18. 在网格图中，作出 △ABC 绕点 B 顺时针方向旋转 90∘ 得到的 △AʹBʹCʹ．

19. 如图，△ABC．
（1）尺规作图：求作 △ABC 的外接圆 ⊙O；
（2）点 D 在劣弧 AC 上，弧AB=弧DC，连接 BD，CD，求证 △ABC≌△DCB．

20. 二次函数 y=ax2+2x+c 的图象经过 −1,03,0 两点．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）求该二次函数图象与 y 轴交点的坐标．

21. 某公司 25∼30 岁的员工共 5 人，其中 25 岁的只有两人，现从 5 人中任抽两人参加长跑活动，求下列事件的概率：
（1）抽到的两人都是 25 岁；
（2）抽到的两人至多 1 人是 25 岁的．

22. 已知反比例函数 y=w+3x 的图象的一支位于第一象限．
（1）判断该函数图象的另一支所在的象限，并求 w 的取值范围；
（2）点 A 在该反比例函数位于第一象限的图象上，点 B 与点 A 关于 x 轴对称，点 C 与点 A 关于原点 O 对称，若 △ABC 的面积为 4，求 w 的值．

23. 已知关于 x 的一元二次方程 a+4x2+a2+2a+10x−6a+1=0 有一根为 −1．
（1）求 a 的值；
（2）x1，x2 是关于 x 的方程 x2−a+m+2x+m2+m+2a+1=0 的两个根，已知 x1x2=1，求 x12+x22 的值．

24. 如图，在 ⊙O 中，半径 OC=6，D 为半径 OC 上异于 O，C 的点，过点 D 作 AB⊥OC，交 ⊙O 于 A，B，点 E 在线段 AB 上，AE=CE，点 P 在线段 EC 的延长线上，PB=PE．
（1）若 OD=2，求弦 AB 的长；
（2）当点 D 在线段 OC（不含端点）上移动时，直线 PB 与 ⊙O 有怎样的位置关系?请说明理由；
（3）点 Q 是 ⊙O 上的一个动点，若点 D 为 OC 中点时，线段 PQ 的最小值为多少?请说明理由．

25. 已知抛物线 y=x2−2mx+m2−3（m 是常数）．
（1）证明：无论 m 取什么实数，该抛物线与 x 轴都有两个交点；
（2）设抛物线的顶点为 A，与 x 轴两个交点分别为 B，D，B 在 D 的右侧，与 y 轴的交点为 C．
①求证：当 m 取不同值时，△ABD 都是等边三角形；
②当 m≤3，m≠0 时，△ABC 的面积是否有最大值?如果有，请求出最大值；如果没有，请说明理由．
答案
第一部分
1. B【解析】反比例函数 y=−2x，中 k=−2，四个答案中只有B的横纵坐标的积等于 −2．
2. A【解析】∵ 抛物线 y=x−22−1，
∴ 该抛物线的对称轴是直线 x=2．
3. D【解析】∵∠CAB=70∘，
∴∠COB=2∠CAB=140∘．
4. C【解析】如图，设小方格的边长为 1，
得，OC=22+22=22，AO=22+22=22，AC=4，
∵OC2+AO2=222+222=16，AC2=42=16，
∴△AOC 是直角三角形，
∴∠AOC=90∘．
5. D
【解析】∵ 方程 3x2+6x−4=0 的两个根为 x1，x2，
∴x1+x2=−63=−2，x1x2=−43=−43．
6. B【解析】“任意画一个三角形，其内角和是 360∘”，这一事件是不可能事件．
7. A【解析】∵ 圆的直径为 10 cm，
∴ 圆的半径为 5 cm，
∵ 圆心到直线的距离 4.5 cm，
∴ 圆的半径 > 圆心到直线的距离，
∴ 直线于圆相交．
8. D
9. C【解析】∵ y=x2−x+12=x2−x+14+14=x−122+14，
∴ 可得二次函数的最小值为 14．
10. C
【解析】把一个交点的纵坐标是 2 代入 y=−x+1 求出横坐标为 −1，
把 −1,2 代入 y=kx，解得：k=−2，故反比例函数为 y=−2x，
当 x=−3 时，代入 y=−2x 得 y=23，
故 x=−3 时反比例函数的值为：23，
当 x=−1 时，代入 y=−2x 得 y=2，
又知反比例函数 y=−2x 在 −3即当 −3第二部分
11. 2,3
【解析】根据两个点关于原点对称，
∴ 点 P−2,−3 关于原点对称的点的坐标是 2,3．
12. ③抽到梅花
【解析】∵ 一副扑克牌有 54 张，王牌有 2 张，抽到王牌的可能性是 254=127；
Q牌有 4 张，抽到Q牌的可能性是 454=227；
梅花有 13 张，抽到梅花牌的可能性是 1354；
∴ 概率最大的是抽到梅花．
13. 2π
【解析】根据题意，扇形的弧长为 120π×3180=2π．
14. xx+2=100
【解析】设矩形的宽为 x，则矩形的长为 x+2，
根据题意得：xx+2=100．
15. 8
【解析】如图所示，连接 AD．
∵AB 是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90∘，
∵CD 平分 ∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45∘，
∴∠BAD=∠ABD=45∘，
∵BD=52，
∴AB=2BD=10，
∵AC=6，
∴BC=8．
16. 32−1cm≤BP≤32+1
【解析】如图，当 Pʹ 在对角线 BD 上时，BPʹ 最小；当 Pʹ 在对角线 BD 的延长线上时，BPʹ 最大．连接 BP，
①当 Pʹ 在对角线 BD 上时，
由旋转得：AP=APʹ，∠PAPʹ=90∘，
∴∠PAB+∠BAPʹ=90∘，
∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90∘，
∴∠BAPʹ+∠DAPʹ=90∘，
∴∠PAB=∠DAPʹ，
∴△PAB≌△PʹAD，
∴PʹD=PB=1，
在 Rt△ABD 中，
∵AB=AD=3，
由勾股定理得：BD=32+32=32，
∴BPʹ=BD−PʹD=32−1，
即 BPʹ 长度的最小值为 32−1cm．
②当 Pʹ 在对角线 BD 的延长线上时，
同理可得 BD=32+32=32，
∴BPʹ=BD+PʹD=32+1，
即 BPʹ 长度的最大值为 32+1cm．
∴BPʹ 长度的取值范围是 32−1cm≤BP≤32+1cm．
第三部分
17.
Δ=22−4×−3=16,x=−2±42×1.
所以
x1=1,x2=−3.
18. 如图，△AʹBʹCʹ 即为所求．
19. （1） 如图所示，⊙O 即为所求．
（2） ∵AB=CD，
∴AB=CD，∠ACB=∠DBC，
又 ∵∠A=∠D，
∴△ABC≌△DCBAAS．
20. （1） ∵ 二次函数 y=ax2+2x+c 的图象经过 −1,03,0 两点．
∴ a−2+c=0,9a+6+c=0,
解得：a=−1,c=3,
∴ 抛物线的解析式是 y=−x2+2x+3；
（2） 令 x=0，则 y=3，
∴ 该二次函数图象与 y 轴交点的坐标为 0,3．
21. （1） 设其中 25 岁的只有两人为 A，B，其余 3 人分别为 C，D，E，
画树状图，如图所示：
所有等可能的情况有 20 种，
抽到的两人都是 25 岁的情况有 2 种，
∴ 所抽到的两人都是 25 岁的概率 =220=110．
（2） 抽到的两人至多 1 人是 25 岁的有 18 种，
∴ 到的两人至多 1 人是 25 岁的概率 =1820=910．
22. （1） ∵ 反比例函数 y=w+3x 的图象的一支位于第一象限．
∴ 该函数图象的另一支所在的象限是第三象限，w+3>0，w>−3，
即 w 的取值范围是 w>−3．
（2） 设点 A 的坐标为 a,b，
∵ 点 A 在该反比例函数位于第一象限的图象上，点 B 与点 A 关于 x 轴对称，点 C 与点 A 关于原点 O 对称，
∴a>0，b>0，点 B 的坐标是 a,−b，点 C 的坐标是 −a,−b，
∴BC=a−−a=2a，AB=b+b=2b，
∵△ABC 的面积为 4，
∴12×AB×BC=4，
∴12×2a×2b=4，解得：ab=2，
∵A 点在反比例函数 y=w+3x 位于第一象限的图象上，
∴w+3=2，解得：w=−1．
23. （1） 将 x=−1 代入方程，得：a+4−a2−2a−10−6a−6=0，
整理，得：a2+7a+12=0，
解得：a=−3 或 a=−4，
又 a+4≠0，即 a≠−4，
∴ a=−3．
（2） 将 a=−3 代入方程，得：x2−m−1x+m2+m−5=0，
由题意知 x1+x2=m−1，x1x2=m2+m−5，
∵ x1x2=1，
∴m2+m−5=1，即 m2+m−6=0，
解得 m=2 或 m=−3，
当 m=2 时，方程为 x2−x+1=0，此方程无解；
当 m=−3 时，方程为 x2+4x+1=0，此方程有解，且 x1+x2=−4，
则
x12+x22=x1+x22−2x1x2=16−2=14.
24. （1） 如图 1，连接 OB，
∵OB=OC=6，OD=2，
∴BD=OB2−OD2=62−22=42，
则 AB=2BD=82．
（2） 如图 2，连接 OB，OA，OE，
∵OB=OA=OC，
∴∠OBA=∠OAB，
又 ∵OE=OE，AE=CE，
∴△AOE≌△COESSS，
∴∠OAE=∠OCE，
∴∠OCE=∠OBA，
∵PB=PE，
∴∠PBE=∠PEB，
∵AB⊥CD，
∴∠OCE+∠PEB=90∘，
∴∠OBA+∠PBE=90∘，即 ∠PBO=90∘，
∴OB⊥PB，
又 OB 是 ⊙O 的半径，
∴PB 与 ⊙O 相切．
（3） 线段 PQ 的最小值为 221−6，理由如下：
∵D 为 OC 的中点，
∴OD=12OC=12OB，
在 Rt△OBD 中，∠OBD=30∘，
∴∠BOC=60∘，
∵OB=OC，
∴△BOC 是等边三角形，
∵Q 为 ⊙O 任意一点，连接 PQ，OQ，
∵OQ 为半径，是定值 4，则 PQ+OQ 的值最小时，PQ 最小，
当 P，Q，O 三点共线时，PQ 最小，
∴Q 为 OP 与 ⊙O 的交点时，PQ 最小，∠A=12∠COB=30∘，
∴∠PEB=2∠A=60∘，∠ABP=90∘−30∘=60∘，
∴△PBE 是等边三角形，
Rt△OBD 中，BD=62−32=33，
∴AB=2BD=63，
设 AE=x，则 CE=x，ED=33−x，
Rt△CDE 中，x2=32+33−x2，
解得：x=23，
∴BE=PB=63−23=43，
Rt△OPB 中，OP=PB2+OB2=432+62=221，
∴PQ=221−6．
则线段 PQ 的最小值是 221−6．
25. （1） 令 y=0，则有 x2−2mx+m2−3=0．
∵Δ=−2m2−4×1×m2−3=12>0，
∴ 关于 x 的一元二次方程 x2−2mx+m2−3=0 有两个不相等的实数根，
∴ 无论 m 取什么实数，该抛物线与 x 轴都有两个交点．
（2） ∵y=x2−2mx+m2−3=x−m2−3，
∴ 顶点 A 的坐标为 m,−3，
设抛物线对称轴与 x 轴的交点为 E，则点 E 的坐标为 m,0；
当 x=0 时，y=x2−2mx+m2−3=m2−3，
∴ 点 C 的坐标为 0,m2−3；
当 y=0 时，x2−2mx+m2−3=0，即 x−m2=3，
解得：x1=m−3，x2=m+3，
∴ 点 D 的坐标为 m−3,0，点 B 的坐标为 m+3,0．
①在 Rt△ABE 中，AE=3，BE=m+3−m=3，
∴AB=AE2+BE2=23=2BE，
∴∠BAE=30∘．
同理，可得出：∠DAE=30∘，
∴∠BAD=∠BAE+∠DAE=60∘．
又 ∵AB=AD，
∴ 当 m 取不同值时，△ABD 都是等边三角形．
②分两种情况考虑：
（i）当 0 S△ABC=S梯形OCAE+S△ABE−S△OCB=12OE⋅OC+AE+12AE⋅BE−12OC⋅OB=12m⋅3−m2+3+12×3×m+3−m−123−m2m+3=32m2+32m=32m+322−338,
∵32>0，
∴ 当 0 ∴ 当 m=3 时，S△ABC 取得最大值，最大值为 33；
（ii）当 −3≤m<0 时，如图 3 所示．
S△ABC=S梯形EACO+S△OCB−S△ABE=12OE⋅OC+AE+12OC⋅OB−12AE⋅BE=−12m⋅3−m2+3+123−m2m+3−12×3×3=−32m2−32m=−32m+322+338,
∵−32<0，
∴ 当 m=−32 时，S△ABC 取得最大值，最大值为 338．
∵33>338，
∴ 当 m=3 时，△ABC 的面积取得最大值，最大值为 33．