2019-2020学年上海市徐汇区八上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年上海市徐汇区八上期末数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共6小题；共30分）
1. 下列各式中与 3 是同类二次根式的是
A. 6B. 9C. 12D. 18

2. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，CD 是斜边 AB 上的中线，那么下列结论错误的是
A. ∠A+∠DCB=90∘B. ∠ADC=2∠B
C. AB=2CDD. BC=CD

3. 如图，点 P 在反比例函数 y=kx（x>0）第一象限的图象上，PQ 垂直 x 轴，垂足为 Q，设 △POQ 的面积是 s，那么 s 与 k 之间的数量关系是
A. s=k4B. s=k2C. s=kD. 不能确定

4. 如果 y 关于 x 的函数 y=k2+1x 是正比例函数，那么 k 的取值范围是
A. k≠0B. k≠±1C. 一切实数D. 不能确定

5. 如果关于 x 的一元二次方程 a−cx2−2bx+a+c=0 有两个相等的实数根，其中 a，b，c 是 △ABC 的三边长，那么 △ABC 的形状是
A. 直角三角形B. 等腰三角形
C. 等边三角形D. 等腰直角三角形

6. 下列命题的逆命题是假命题的是
A. 同位角相等，两直线平行B. 在一个三角形中，等边对等角
C. 全等三角形三条对应边相等D. 全等三角形三个对应角相等

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 计算：8a÷2a= ．

8. 函数 y=2x−6 的定义域是 ．

9. 在实数范围内因式分解：x2−3x+1= ．

10. 如果 fx=13−x，那么 f2= ．

11. 已知变量 x 和变量 x−2，那么 x−2 是不是 x 的函数?你的结论是： （填“是”或“不是”）．

12. 如果反比例函数 y=kxk≠0 的图象在每个象限内，y 随着 x 的增大而减小，那么请你写出一个满足条件的反比例函数解析式 （只需写一个）．

13. 在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，∠C=∠F=90∘，∠D=30∘，AB=DE，EF=BC，如果 EF=3，那么 AC 的长是 ．

14. 已知关于 x 的方程 x2+mx−6=0 的一个根为 2，那么它的另一个根是 ．

15. 如果点 A3,m 在正比例函数 y=43x 图象上，那么点 A 和坐标原点的距离是 ．

16. 某产品原价每件价格为 200 元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每件售价为 162 元，那么每次降价的百分率是 ．

17. 在一个角的内部（不包括顶点）且到角的两边距离相等的点的轨迹是 ．

18. 在 △ABC 中，AB=AC，MN 垂直平分 AB 分别交 AB，BC 于 M，N．如果 △ACN 是等腰三角形，那么 ∠B 的大小是 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
19. 先化简再计算：a+ba2b+ab2（其中 ab=9）．

20. 解方程：2x−32=xx−5+6．

21. 如图，已知线段 a，b，求作：△ABC，使 AB=AC=a，BC=b．

22. 如图，正比例函数 y=kxk≠0 与反比例函数 y=−2x 的图象交于点 A−1,m 和点 B．求点 B 的坐标．

23. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AC=6，AB=10，DE 垂直平分 AB，分别交 AB，BC 于点 D，E．求 CE 的长．

24. 某商店从厂家以每件 21 元的价格购进一批商品，该店可以自行定价，若每件商品售价为 a 元，则可以卖出 350−10a 件；但物价局限定每件商品加价不能超过进价的 20%，如果商店计划要赚 400 元，那么每件商品售价是多少元?

25. 如图，AD∥BC，∠A=90∘，AB=BC，点 E 是 AB 的中点，BD=CE．
（1）求证：BD⊥CE；
（2）连接 CD，DE，试判断 △DCE 的形状，并证明你的结论．

26. 如图，点 B2,n 是直线 y=k1xk1≠0 上的点，如果直线 y=k1xk1≠0 平分 ∠yOx，BA⊥x 轴于 A，BC⊥y 轴于 C．
（1）求 k1 的值．
（2）如果反比例函数 y=k2xk2≠0 的图象与 BC，BA 分别交于点 D，E，求证：OD=OE．
（3）在（2）的条件下，如果四边形 BDOE 的面积是 △ABO 面积的 43，求反比例函数的解析式．

27. 如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，CD 是斜边 AB 上的中线，BC=3CD．
（1）求 ∠DCB 的大小；
（2）如图 2，点 F 是边 BC 上一点，将 △ABF 沿 AF 所在直线翻折，点 B 的对应点是点 H，直线 HF⊥AB，垂足为 G，如果 AB=2，求 BF 的长；
（3）如图 3，点 E 是 △ACD 内一点，且 ∠AEC=150∘，连接 DE，请判断线段 DE，AE，CE 能否构成直角三角形?如果能，请证明；如果不能，请说明理由．
答案
第一部分
1. C【解析】A．6 与 3 不是同类二次根式，
B．9=3 与 3 不是同类二次根式，
C．12=23 与 3 是同类二次根式，
D．18=32 与 3 不是同类二次根式．
2. D【解析】A．∵ 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，CD 是斜边 AB 上的中线，
∴CD=AD=BD=12AB，
∴∠DCB=∠B，
∵∠ACB=90∘，
∴∠A+∠B=90∘，
∴∠A+∠DCB=90∘，故本选项错误；
B．∵∠DCB=∠B，∠ADC=∠B+∠DCB，
∴∠ADC=2∠B，故本选项错误；
C．∵ 在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，CD 是斜边 AB 上的中线，
∴AB=2CD，故本选项错误；
D．根据已知不能推出 BC=CD，故本选项正确；
故选D．
3. B【解析】∵ 点 P 是反比例函数 y=kx 图象上一点，且 PQ⊥x轴 于点 Q，
∴S△POQ=12∣k∣=s，
解得：∣k∣=2s．
∵ 反比例函数在第一象限有图象，
∴k=2s．即 s=k2．
故选：B．
4. C【解析】因为函数 y=k2+1x 是正比例函数，
所以 k2+1≠0，
所以 k 取全体实数．
5. A
【解析】因为关于 x 的一元二次方程 a−cx2−2bx+a+c=0 有两个相等的实数根，
所以 Δ=0,a−c≠0, 即 −2b2−4a−ca+c=0,a≠c.
解得：a2=b2+c2 且 a≠c，
又因为 a，b，c 是 △ABC 的三边长，
所以 △ABC 为直角三角形．
6. D【解析】A、逆命题为两直线平行，同位角相等，正确，为真命题；
B、逆命题为：在一个三角形中等角对等边，正确，是真命题；
C、逆命题为：三条边对应相等的三角形全等，正确，是真命题；
D、逆命题为：三个角对应相等的三角形全等，错误，为假命题．
第二部分
7. 2
【解析】原式=22a÷2a=2.
8. x≥3
【解析】根据题意得：2x−6≥0，解得 x≥3．
9. x−3+52x−3−52
【解析】∵x2−3x+1=0 的解为：x=3±52，
∴x2−3x+1=x−3+52x−3−52．
10. 3+2
【解析】当 x=2 时，f2=13−2=3+23−23+2=3+2．
11. 是
【解析】∵ 对于变量 x 的每一个确定的值，变量 x−2 有且只有一个值与之对应，
∴ 根据函数的概念可知，x−2 是 x 的函数．
12. y=1x（答案不唯一）
【解析】∵ 反比例函数 y=kxk≠0 的图象在每个象限内，y 随着 x 的增大而减小，
∴k>0，
∴ 满足条件的反比例函数解析式可以是 y=1x．
13. 3
【解析】在 Rt△DEF 中，
∵∠F=90∘，∠D=30∘，
∴DF=3EF=3×3=3，
在 Rt△ABC 和 Rt△DEF 中，
AB=DE,BC=EF,
∴Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴AC=DF=3．
14. −3
【解析】∵ 方程 x2+mx−6=0 的一个根为 2，设另一个为 a，
∴2a=−6，解得：a=−3，则方程的另一根是 −3．
15. 5
【解析】把 A3,m 代入 y=43x 得 m=43×3=4，则点 A 的坐标为 3,4，
∴ 点 A 和坐标原点的距离 =32+42=5．
16. 10%
【解析】设这种衬衫平均每次降价的百分率为 x，根据题意列方程得，
200×1−x2=162，
解得 x1=0.1，x2=−1.9（不合题意，舍去）；
答：这种衬衫平均每次降价的百分率为 10%．
17. 这个角的平分线（除顶点）
【解析】∵ 角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴ 在 ∠AOB 的内部且到这个角的两边距离相等的点的轨迹是 ∠AOB 的平分线（端点除外）．
18. 45∘ 或 36∘
【解析】设 ∠B=x∘，则 ∠C=∠BAN=x∘．
1）当 AN=NC 时，∠CAN=∠C=x∘．
则在 △ABC 中，根据三角形内角和定理可得：4x=180，
解得：x=45，则 ∠B=45∘；
2）当 AN=AC 时，∠ANC=∠C=x∘，而 ∠ANC=∠B+∠BAN，故此时不成立；
3）当 CA=CN 时，∠NAC=∠ANC=180∘−x∘2．
在 △ABC 中，根据三角形内角和定理得到：x+x+x+180−x2=180，
解得：x=36．
即 ∠B 的度数为 45∘ 或 36∘．
第三部分
19. a+ba2b+ab2=a+baba+b=1ab.
当 ab=9 时，原式=19=13．
20. 原方程化为，3x2−7x+3=0 ；
∴ Δ=−72−4×3×3=13 ；
∴ x=7±136 ；
∴ 原方程的根是 x1=7+136，x2=7−136.
21. 如图，△ABC 为所作．
22. 由题意，得 m=−2−1=2，
所以 A−1,2，
又因为 2=−k，
所以 k=−2，
所以 y=−2x，
所以 y=−2x,y=−2x,
解得 x1=1,y1=−2,x2=−1,y2=2.
所以 B1,−2．
23. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，
∴BC=AB2−AC2=102−62=8，
∵DE 垂直平分 AB，分别交 AB，BC 于点 D，E，
∴AE=BE；
设 CE=x，则 AE=BE=8−x，
在 Rt△ACE 中，∠C=90∘，
∴CE2+AC2=AE2，
即 x2+62=8−x2，解得 x=74，即 CE=74．
24. 设每件商品售价是 x 元，
由题意，得
x−21350−10x=400.
化简，得
x2−56x+775=0.
解得
x1=25,x2=31.
又 21×1+0.2=25.2，
∴x=31 不合题意，舍去．
答：每件商品售价是 25 元．
25. （1） ∵AD∥BC，
∴∠A+∠CBE=180∘，
又 ∠A=90∘，
∴∠CBE=90∘；
∵AB=BC，BD=CE，
在 Rt△ABD 和 Rt△BCE 中，
AB=BC,BD=CE,
∴Rt△ABD≌Rt△BCEHL，
∴∠D=∠BEC，
∵∠D+∠ABD=90∘，
∴∠BEC+∠ABD=90∘，
∵∠EFB+∠BEC+∠ABD=180∘，
∴∠EFB=90∘，
∴BD⊥CE．
（2） △DCE 是等腰三角形．
证明如下：
∵Rt△ABD≌Rt△BEC，
∴AD=BE，
又 AB=BC，
点 E 是 AB 的中点，
∴AD=12BC，
如图，过点 D 作 DG⊥BC 于 G，
∴∠DGB=90∘=∠A，
∵AD∥BC，
∴∠GBD=∠ADB，
在 △ABD 和 △GDB 中，
∠A=∠DGB,∠ADB=∠GBD,BD=BD,
∴△ABD≌△GDBAAS，
∴BG=AD=12BC；
∴DF 垂直平分 BC，
∴BD=CD，
又 BD=CE，
∴CD=CE，
∴△DCE 是等腰三角形．
26. （1） 因为直线 y=k1xk1≠0 平分 ∠yOx，BA⊥x 轴于 A，BC⊥y 轴于 C，
所以 AB=BC，又 B2,n，
所以 AB=BC=2，
所以 B2,2，
所以 2=2k1，
所以 k1=1．
（2） 因为反比例函数 y=k2xk2≠0 的图象与 BC，BA 分别交于点 D，E，
所以 Dk22,2，E2,k22，
所以 OD=k222+22=k224+4，OE=22+k222=4+k224，
所以 OD=OE．
（3） 由题意，可得 △BOD≌△BOE，
所以 S△BOE=12S四边形BDOE，
又 S四边形BDOE=43S△AOB，
所以 S△BOE=23S△AOB，
即 12BEOA=23×12ABOA，
所以 BE=23AB=43，
所以 AE=23，
所以 E2,23，
所以 23=k22，
解得 k2=43，
所以 y=43x．
27. （1） 如图 1 中，
在 Rt△ABC 中，CD 是斜边 AB 上的中线，
∴AB=2CD，
设 CD=x，则 AB=2x，BC=3x，
∴AC=AB2−BC2=2x2−3x2=x，
∴AC=DC=12AB，
∴∠B=30∘，
又 CD=BD，
∴∠DCB=∠B=30∘．
（2） 如图 2 中，连接 BH．
△AHF 与 △ABF 关于直线 AF 对称，又点 B 的对应点是点 H，
∴AH=AB，HF=BF，
∵HF⊥AB，∠ABC=30∘，
∴∠BFG=60∘，
∴∠FBH=∠FHB=30∘；
∴∠ABH=60∘，
∴△ABH 是等边三角形，
∴BG=12AB=1，
设 GF=x，
∴BF=2GF=2x，
∴x2+12=2x2，解得 x=33，
∴BF=233．
（3） 线段 DE，AE，CE 能构成直角三角形．
如图 3 中，作 ∠ECP=60∘，截取 CP=CE，连接 AP，PE，ED．
∵PC=CE，∠PCE=60∘，
∴△PCE 是等边三角形，
∴PE=CE，∠PEC=60∘，
∵∠B=30∘，
∴∠BAC=60∘，
又 CD=AD，
∴△ACD 是等边三角形，
∴∠ACD=60∘，AC=CD；
∴∠ACD−∠ACE=∠PCE−∠ACE，即 ∠DCE=∠ACP，
在 △DCE 和 △ACP 中，
AC=CD,∠ACP=∠ECD,CP=CE,
∴△DCE≌△ACP，
∴DE=AP，
又 ∠AEC=150∘，
∴∠AEP=150∘−60∘=90∘，
∴ 线段 DE，AE，CE 能构成直角三角形．