2019-2020学年山东省青岛市崂山区八上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年山东省青岛市崂山区八上期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. 在平面直角坐标系中，点 P2,−3 在
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

2. 方程 y=1−x,3x+2y=5 的公共解是
A. x=3,y=2.B. x=−3,y=4.C. x=3,y=−2.D. x=−3,y=−2.

3. 一次演讲比赛中，小明的成绩如下：演讲内容为 70 分，演讲能力为 60 分，演讲效果为 88 分，如果演讲内容，演讲能力，演讲效果的成绩按 4:2:4 计算，则他的平均分为 分．
A. 74.2B. 75.2C. 76.2D. 77.2

4. 下列说法错误的个数是
①所有无限小数都是无理数；② −32 的平方根是 ±3；③ a2=a；④ 数轴上的点都表示有理数
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

5. 如图，平行线 AB，CD 被直线 AE 所截，若 ∠1=100∘，则 ∠2 等于
A. 70∘B. 80∘C. 90∘D. 110∘

6. 如图，由七个完全一样的小长方形组成的大长方形 ABCD，CD=7，则长方形 ABCD 的周长为
A. 32B. 33C. 34D. 35

7. 如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90∘，AB=6，AC=8，D 为 AC 上一点，将 △ABD 沿 BD 折叠，使点 A 恰好落在 BC 上的 E 处，则折痕 BD 的长是
A. 5B. 34C. 35D. 61

8. 如图，在平面直角坐标系中，点 A1，A2，A3，⋯ 和 B1，B2，B3，⋯ 分别在直线 y=15x+b 和 x 轴上，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，⋯ 是以 A1，A2，A3，⋯ 为顶点的等腰直角三角形．如果点 A11,1，那么点 A2020 的纵坐标是
A. 322019B. 322020C. 232019D. 232020

二、填空题（共6小题；共30分）
9. 64 立方根是 ．

10. 请写出一个 −3 到 −2 之间的无理数： ．

11. 如图，直线 AB∥CD，∠C=44∘，∠E 为直角，则 ∠1= ．

12. 下表记录了甲，乙，丙，丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数与方差：
甲乙丙丁平均数xcm375350375350方差
根据表中数据，要从甲，乙，丙，丁中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加决赛，应该选择 ．

13. 在平面直角坐标系中，若点 Mx,4 到原点的距离是 5，则 x 的值是 ．

14. 在平面直角坐标系中，孔明玩走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第 1 步向右走 1 个单位长度，第 2 步向右走 2 个单位长度，第 3 步向上走 1 个单位长度，第 4 步向右走 1 个单位长度 ⋯ 依此类推，第 n 步的走法是：当 n 能被 3 整除时，则向上走 1 个单位长度；当 n 被 3 除，余数为 1 时，则向右走 1 个单位长度；当 n 被 3 除，余数为 2 时，则向右走 2 个单位长度，当走完第 100 步时，棋子所处位置的坐标是 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
15. A，B，C 点在格点上，作出 △ABC 关于 y 轴对称的 △A1B1C1，并写出点 B1 的坐标为 ．

16. 计算：
（1）614−3−4+58+−54×−23；
（2）312−213+48÷23．

17. 如图，直线 AB∥CD，BC 平分 ∠ABD，∠1=65∘，求 ∠2 的度数．

18. 某商店两次购进一批同型号的热水壶和保温杯，第一次购进 12 个热水壶和 15 个保温杯，共用去资金 2850 元，第二次购进 20 个热水壶和 30 个保温杯，用去资金 4900 元（购买同一商品的价格不变）．
（1）求每个热水壶和保温杯的采购单价各是多少元?
（2）若商场计划再购进同种型号的热水壶和保温杯共 80 个，求所需购货资金 w（元）与购买热水壶的数量 m（个）的函数表达式．

19. 如图在四边形 ABCD 中，AD=1，AB=BC=2，DC=3，AD⊥AB，求 S四边形ABCD

20. 某校 260 名学生参加植树活动，要求每人植树 4∼7 棵，活动结束后随机抽查了 20 名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：4 棵；B：5 棵；C：6 棵；D：7 棵．将各类的人数绘制成扇形图（如图 1）和条形图（如图 2），经确认扇形图是正确的，而条形图尚有一处错误．
回答下列问题：
（1）写出条形图中存在的错误，并说明理由；
（2）写出这 20 名学生每人植树量的众数和中位数；
（3）求这 20 名学生每人植树量的平均数，并估计这 260 名学生共植树多少棵?

21. 甲，乙两车从A城出发沿一条笔直公路匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲，乙两车离开A城的距离 y（千米）与甲车行驶的时间 t（小时）之间的函数关系如图所示．
（1）A，B两城相距 千米，乙车比甲车早到 小时；
（2）甲车出发多长时间与乙车相遇?
（3）若两车相距不超过 20 千米时可以通过无线电相互通话，则两车都在行驶过程中可以通过无线电通话的时间有多长?

22. 面对资源紧缺与环境保护问题，发展电动汽车成为汽车工业发展的主流趋势．我国某著名汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装 240 辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人：他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1 名熟练工和 2 名新工人每月可安装 8 辆电动汽车；2 名熟练工和 3 名新工人每月可安装 14 辆电动汽车．
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车?
（2）如果工厂招聘 m0（3）在（2）的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发 8000 元的工资，给每名新工人每月发 4800 元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额 W（元）尽可能的少?

23. 观察下列各式及其验证过程：
2+23=223，验证：2+23=83=22×23=223．
3+38=338，验证：3+38=278=32×28=338．
（1）按照上述两个等式及其验证过程，猜想 4+415 的变形结果并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用 a（a 为自然数，且 a≥2）表示的等式，并进行验证；
（3）用 a（a 为任意自然数，且 a≥2）写出三次根式的类似规律，并进行验证．

24. 直线 MN 与直线 PQ 垂直相交于 O，点 A 在射线 OP 上运动，点 B 在射线 OM 上运动，连接 AB．
（1）如图 1，已知 AC，BC 分别是 ∠BAP 和 ∠ABM 角的平分线．
①点 A，B 在运动的过程中，∠ACB 的大小是否发生变化?若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出 ∠ACB 的大小．
②如图 2，将 △ABC 沿直线 AB 折叠，若点 C 落在直线 PQ 上，记作点 Cʹ，则 ∠ABO= ∘；如图 3，将 △ABC 沿直线 AB 折叠，若点 C 落在直线 MN 上，记作点 Cʺ，则 ∠ABO= ∘．
（2）如图 4，延长 BA 至 G，已知 ∠BAO，∠OAG 的角平分线与 ∠BOQ 的角平分线交其延长线交于 E，F，在 △AEF 中，如果有一个角是另一个角的 32 倍，求 ∠ABO 的度数．
答案
第一部分
1. D【解析】∵ 横坐标为正，纵坐标为负，
∴ 点 P2,−3 在第四象限．
2. C【解析】把方程 y=1−x 代入 3x+2y=5，得 3x+21−x=5，解得：x=3．
把 x=3 代入方程 y=1−x，得 y=−2．
3. B【解析】根据题意得：70×4+60×2+88×44+2+4=75.2（分）．
4. C【解析】无限不循环小数才是无理数，①错误；
−32=3，3 的平方根是 ±3，②正确；
a2=∣a∣，③错误；
数轴上的点可以表示所有有理数和无理数，④错误
5. B
【解析】∵AB∥CD，
∴∠1+∠2=180∘．
∵∠1=100∘，
∴∠2=80∘．
6. C【解析】设小长方形的长为 x，宽为 y，依题意可知：
x+y=7,2x=5y,
解得：x=5,y=2,
∴ 长方形 ABCD 的周长为 22x+7=4x+14=4×5+14=34．
故选C．
7. C【解析】∵∠A=90∘，AB=6，AC=8，
∴BC=10．
根据折叠的性质，AB=BE，AD=DE，∠A=∠DEB=90∘．
∴EC=10−6=4．
在 △CDE 中，设 AD=DE=x，则 CD=8−x，
根据勾股定理得 8−x2=x2+42．
解得 x=3．
∴DE=3．
∴BD=BE2+DE2=62+32=35．．
8. A【解析】∵A11,1 在直线 y=15x+b，
∴b=45，
∴y=15x+45，
设 A2x2,y2，A3x3,y3，A4x4,y4，⋯，A2020x2020,y2019，
则有 y2=15x2+45，y3=15x3+45，⋯，y2020=15x2020+45，
又 ∵△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，⋯ 都是等腰直角三角形，
∴x2=2y1+y2，x3=2y1+2y2+y3，⋯，x2020=2y1+2y2+2y3+⋯+2y2019+y2020．
将点坐标依次代入直线解析式得到：
y2=12y1+1，y3=12y1+12y2+1=32y2，y4=32y3，⋯，y2020=32y2019，
又 ∵y1=1，
∴y2=32，y3=322，y4=323，⋯，y2020=322019．
第二部分
9. 2
【解析】∵64=8，38=2，
∴64 的立方根是 2．
10. −5（答案不唯一）
【解析】∵−3=−9，−2=−4，
∴−3 到 −2 之间的无理数有 −5．
11. 134∘
【解析】如图，过 E 作 EF∥AB，
根据平行于同一直线的两直线互相平行，求出 AB∥CD∥EF，
根据平行线的性质得出 ∠C=∠FEC=44∘，∠BAE=∠FEA，
求出 ∠BAE=90∘−44∘=46∘，即可求出 ∠1=180∘−46∘=134∘．
12. 丙
13. 3 或 −3
【解析】∵ 点 Mx,4 到原点的距离是 5，
∴x2+42=5，解得：x=3 或 −3．
14. 100,33
【解析】由题意得，每 3 步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右 4 个单位，向上 1 个单位，
∵100÷3=33 余 1，
∴ 走完第 100 步，为第 34 个循环组的第 1 步，
所处位置的横坐标为 33×3+1=100，纵坐标为 33×1=33，
∴ 棋子所处位置的坐标是 100,33．
第三部分
15. 如图，作出 △ABC 关于 y 轴对称的 △A1B1C1；
4,−3
16. （1） 614−3−4+58+−54×−23=254−3−278+54×−8=52+32+−10=−6.
（2） 312−213+48÷23=3×23−233+43÷23=2833÷23=143.
17. ∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠1=65∘，
∵BC 平分 ∠ABD，
∴∠ABD=2∠ABC=130∘，
∴∠BDC=180∘−∠ABD=50∘，
∴∠2=∠BDC=50∘．
18. （1） 设每个热水壶的采购单价是 x 元，的采购单价保温杯的采购单价是 y 元，
根据题意得
12x+15y=2850,20x+30y=4900.
解得
x=200,y=30.
答：每个热水壶的采购单价是 200 元，每个保温杯的采购单价是 30 元．
（2） 根据题意得：w=200m+3080−m=170m+2400．
19. 连接 BD，
在直角 △ABD 中，AC 为斜边，且 AB=BC=2，AD=1 则 BD=22+12=5，
∴BC2+BD2=CD2，
即 △ACD 为直角三角形，且 ∠DAC=90∘，
四边形ABCD的面积=S△ABD+S△BCD=12AB×AD+12BD×BC=12×2×1+12×2×5=1+5.
答：四边形 ABCD 的面积为 1+5．
20. （1） 条形统计图中D类型的人数错误，
D类的人数是：20×10%=2（人）．
（2） 众数为 5，中位数为 5；
【解析】由统计图可知：B类型的人数最多，且为 8 人，所以众数为 5，由条形统计图可知中位数为B类型对应的 5；
（3） x=4×4+5×8+6×6+7×220=5.3（棵）．
估计 260 名学生共植树 5.3×260=1378（棵）．
21. （1） 300；1；
（2） 设甲车离开A城的距离 y 与 t 的关系式为 y甲=kt，
把 5,300 代入可求得 k=60，
所以 y甲=60t，
设乙车离开A城的距离 y 与 t 的关系式为 y乙=mt+n，
把 1,0 和 4,300 代入可得，m+n=0,4m+n=300, 解得：m=100,n=−100.
所以 y乙=100t−100，
令 y甲=y乙，可得：60t=100t−100，解得：t=2.5，
即甲，乙两直线的交点横坐标为 t=2.5，
所以甲车出发 2.5 小时与乙车相遇．
（3） 当 y甲−y乙=20 时，60t−100t+100=20，t=2；
当 y乙−y甲=20 时，100t−100−60t=20，t=3，
所以 3−2=1（小时），
所以两车都在行驶过程中可以通过无线电通话的时间有 1 小时．
22. （1） 设每名熟练工和新工人每月分别可以安装 x，y 辆电动汽车，
根据题意，得
x+2y=8,2x+3y=14.
解得
x=4,y=2.
答：每名熟练工和新工人每月分别可以安装 4，2 辆电动汽车；
（2） 设工厂有 a 名熟练工，
根据题意，得 124a+2m=240，2a+m=10，m=10−2a，
又 a，m 都是正整数，0所以 m=8,6,4,2．
即工厂有 4 种新工人的招聘方案．
① m=8，a=1，即新工人 8 人，熟练工 1 人；
② m=6，a=2，即新工人 6 人，熟练工 2 人；
③ m=4，a=3，即新工人 4 人，熟练工 3 人；
④ m=2，a=4，即新工人 2 人，熟练工 4 人；
（3） 结合（2）知：要使新工人的数量多于熟练工，则 m=8，a=1；或 m=6，a=2；或 m=4，a=3，
根据题意，得 W=8000a+4800n=8000a+480010−2a=48000−1600a，
要使工厂每月支出的工资总额 W（元）尽可能地少，则 a 应最大，
显然当 m=4，a=3 时，（即新工人 4 人，熟练工 3 人），工厂每月支出的工资总额 W（元）尽可能地少．
23. （1） 4+415=4415，
理由是：4+415=6415=42×415=4415．
（2） 由（1）中的规律可知 3=22−1，8=32−1，15=42−1，
∴a+aa2−1=aaa2−1，
验证：a+aa2−1=a3a2−1=aaa2−1；
正确．
（3） 3a+aa3−1=a3aa3−1（a 为任意自然数，且 a≥2），
验证：3a+aa3−1=3a4−a+aa3−1=a3aa3−1．
24. （1） ① ∠ACB 的大小不变，
∵ 直线 MN 与直线 PQ 垂直相交于 O，
∴∠AOB=90∘，
∴∠OAB+∠OBA=90∘，
∴∠PAB+∠ABM=270∘，
∵AC，BC 分别是 ∠BAP 和 ∠ABM 角的平分线，
∴∠BAC=12∠PAB，∠ABC=12∠ABM，
∴∠BAC+∠ABC=12∠PAB+∠ABM=135∘，
∴∠ACB=45∘；
② 30；60
【解析】② ∵ 图 2 中，将 △ABC 沿直线 AB 折叠，若点 C 落在直线 PQ 上，
∴∠CAB=∠BAQ，
∵AC 平分 ∠PAB，
∴∠PAC=∠CAB，
∴∠PAC=∠CAB=∠BAO=60∘，
∵∠AOB=90∘，
∴∠ABO=30∘，
∵ 图 3 中，将 △ABC 沿直线 AB 折叠，若点 C 落在直线 MN 上，
∴∠ABC=∠ABN，
∵BC 平分 ∠ABM，
∴∠ABC=∠MBC，
∴∠MBC=∠ABC=∠ABN，
∴∠ABO=60∘．
（2） ∵∠BAO 与 ∠BOQ 的角平分线相交于 E，
∴∠EAO=12∠BAO，∠EOQ=12∠BOQ，
∴∠E=∠EOQ−∠EAO=12∠BOQ−∠BAO=12∠ABO，
∵AE，AF 分别是 ∠BAO 和 ∠OAG 的角平分线，
∴∠EAF=90∘．
在 △AEF 中，
∵ 有一个角是另一个角的 32 倍，故有：
① ∠EAF=32∠E，∠E=60∘，∠ABO=120∘（不合题意，舍去）；
② ∠EAF=32∠F，∠E=30∘，∠ABO=60∘；
③ ∠F=32∠E，∠E=36∘，∠ABO=72∘；
④ ∠E=32∠F，∠E=54∘，∠ABO=108∘（不合题意，舍去）．
∴∠ABO 为 60∘ 或 72∘．