多维层次练45-两直线的位置关系学案

这是一份多维层次练45-两直线的位置关系学案，共10页。
1．已知直线l的倾斜角为eq \f(3π,4)，直线l1经过点A(3，2)和B(a，－1)，且直线l与l1平行，则实数a的值为( )
A．0 B．1
C．6 D．0或6
解析：由直线l的倾斜角为eq \f(3π,4)得l的斜率为－1，
因为直线l与l1平行，所以l1的斜率为－1.
又直线l1经过点A(3，2)和B(a，－1)，
所以l1的斜率为eq \f(3,3－a)，故eq \f(3,3－a)＝－1，解得a＝6.
答案：C
2．如果平面直角坐标系内的两点A(a－1，a＋1)，B(a，a)关于直线l对称，那么直线l的方程为( )
A．x－y＋1＝0 B．x＋y＋1＝0
C．x－y－1＝0 D．x＋y－1＝0
解析：因为直线AB的斜率为eq \f(a＋1－a,a－1－a)＝－1，所以直线l的斜率为1，设直线l的方程为y＝x＋b，由题意知直线l过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a－1,2)，\f(2a＋1,2)))，所以eq \f(2a＋1,2)＝eq \f(2a－1,2)＋b，解得b＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.
答案：A
3．(2020·太原模拟)若直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)与原点之间的距离的最小值为( )
A．eq \r(5) B．eq \r(6)
C．2eq \r(3) D．2eq \r(5)
解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2x，,x＋y＝3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2.))把(1，2)代入mx＋ny＋5＝0，可得m＋2n＋5＝0，所以m＝－5－2n.所以点(m，n)与原点之间的距离d＝eq \r(m2＋n2)＝eq \r(（5＋2n）2＋n2)＝eq \r(5（n＋2）2＋5)≥eq \r(5)，当n＝－2，m＝－1时取等号．所以点(m，n)与原点之间的距离的最小值为eq \r(5)，故选A.
答案：A
4．已知A(1，2)，B(3，1)两点到直线l的距离分别是eq \r(2)，eq \r(5)－eq \r(2)，则满足条件的直线l共有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析：当A，B两点位于直线l的同一侧时，一定存在这样的直线l，且有两条．又|AB|＝eq \r(（3－1）2＋（1－2）2)＝eq \r(5)，而点A到直线l与点B到直线l的距离之和为eq \r(2)＋eq \r(5)－eq \r(2)＝eq \r(5)，所以当A，B两点位于直线l的两侧时，存在一条满足条件的直线．综上可知满足条件的直线共有3条．故选C.
答案：C
5．若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为( )
A．eq \f(4\r(2),3) B．4eq \r(2)
C．eq \f(8\r(2),3) D．2eq \r(2)
解析：因为l1∥l2，所以eq \f(1,a－2)＝eq \f(a,3)≠eq \f(6,2a)，解得a＝－1，
所以l1与l2的方程分别为l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋eq \f(2,3)＝0，
所以l1与l2的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(6－\f(2,3))),\r(2))＝eq \f(8\r(2),3).
答案：C
6．(多选题)直线(2m－1)x＋my＋1＝0和直线mx＋3y＋3＝0垂直，则实数m的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：由两直线垂直可得m(2m－1)＋3m＝0，解得m＝0或－1.故选AB.
答案：AB
7．若三条直线x＋y－2＝0，mx－2y＋3＝0，x－y＝0交于一点，则实数m的值为________．
解析：直线x＋y－2＝0，x－y＝0的交点为(1，1)，
所以m－2＋3＝0，解得m＝－1.
答案：－1
8．若直线l与直线2x－y－2＝0关于直线x＋y－4＝0对称，则直线l的方程为________________．
解析：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y－2＝0，,x＋y－4＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝2，))即两直线的交点坐标为(2，2)，在直线2x－y－2＝0上取一点A(1，0)，设点A关于直线x＋y－4＝0的对称点的坐标为(a，b)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(b,a－1)＝1，,\f(a＋1,2)＋\f(b,2)－4＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝4，,b＝3，))即点A关于直线x＋y－4＝0的对称点的坐标为(4，3)，则直线l的方程为eq \f(y－2,3－2)＝eq \f(x－2,4－2)，整理得x－2y＋2＝0.
答案：x－2y＋2＝0
9．已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0.试确定m，n的值，使：
(1)l1与l2相交于点P(m，－1)；
(2)l1∥l2；
(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.
解：(1)由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－8＋n＝0，,2m－m－1＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝1，,n＝7.))
即m＝1，n＝7时，l1与l2相交于点P(m，－1)．
(2)因为l1∥l2，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m2－16＝0，,－m－2n≠0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝4，,n≠－2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－4，,n≠2.))
即m＝4，n≠－2或m＝－4，n≠2时，l1∥l2.
(3)当且仅当2m＋8m＝0，
即m＝0时，l1⊥l2.
又－eq \f(n,8)＝－1，所以n＝8.
即m＝0，n＝8时，l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.
10．正方形的中心为点C(－1，0)，一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．
解：点C到直线x＋3y－5＝0的距离d＝eq \f(|－1－5|,\r(1＋9))＝eq \f(3\r(10),5).
设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝
0(m≠－5)，
则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离d＝eq \f(|－1＋m|,\r(1＋9))＝eq \f(3\r(10),5)，
解得m＝－5(舍去)或m＝7，
所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0.
设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0，
则点C到直线3x－y＋n＝0的距离d＝eq \f(|－3＋n|,\r(9＋1))＝eq \f(3\r(10),5)，
解得n＝－3或n＝9，
所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0.
[综合应用练]
11．已知点A(1，3)，B(5，－2)，在x轴上有一点P，若|AP|－|BP|最大，则P点坐标为( )
A．(3.4，0) B．(13，0)
C．(5，0) D．(－13，0)
解析：作出A点关于x轴的对称点A′(1，－3)，则A′B所在直线方程为x－4y－13＝0.令y＝0得x＝13，所以点P的坐标为(13，0)．
答案：B
12．(多选题)已知直线l1：x－y－1＝0，动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，则下列结论正确的是( )
A．存在k，使得l2的倾斜角为90°
B．对任意的k，l1与l2都有公共点
C．对任意的k，l1与l2都不重合
D．对任意的k，l1与l2都不垂直
解析：对于动直线l2：(k＋1)x＋ky＋k＝0(k∈R)，当k＝0时，斜率不存在，倾斜角为90°，故A正确；由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y－1＝0，,（k＋1）x＋ky＋k＝0，))可得(2k＋1)x＝0，对任意的k，此方程有解，可得l1与l2有交点，故B正确；
当k＝－eq \f(1,2)时，eq \f(k＋1,1)＝eq \f(k,－1)成立，此时l1与l2重合，故C错误；
由于直线l1：x－y－1＝0的斜率为1，动直线l2的斜率为eq \f(k＋1,－k)＝－1－eq \f(1,k)≠－1，故对任意的k，l1与l2都不垂直，故D正确．
答案：ABD
13．已知00，解得a＝3.
(2)假设存在点P，设点P(x0，y0)．
若点P满足条件②，
则点P在与l1，l2平行的直线l′：2x－y＋c＝0上，
且eq \f(|c－3|,\r(5))＝eq \f(1,2)×eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(c＋\f(1,2))),\r(5))，
即c＝eq \f(13,2)或eq \f(11,6)，
所以直线l′的方程为2x0－y0＋eq \f(13,2)＝0或2x0－y0＋eq \f(11,6)＝0；
若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，
有eq \f(|2x0－y0＋3|,\r(5))＝eq \f(\r(2),\r(5))×eq \f(|x0＋y0－1|,\r(2))，
即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，
所以x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0；
由于点P在第一象限，所以3x0＋2＝0不可能．
联立方程得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x0－y0＋\f(13,2)＝0，,x0－2y0＋4＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝－3，,y0＝\f(1,2)，))(舍去)；
联立方程得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x0－y0＋\f(11,6)＝0，,x0－2y0＋4＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝\f(1,9)，,y0＝\f(37,18).))
所以存在点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,9)，\f(37,18)))同时满足三个条件.