2021届江西省临川第一中学暨临川一中实验学校高三第一次月考数学（文）试题（解析版）

这是一份2021届江西省临川第一中学暨临川一中实验学校高三第一次月考数学（文）试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021届江西省临川第一中学暨临川一中实验学校高三第一次月考数学（文）试题


一、单选题
1．若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由，结合元素与集合、集合与集合的关系即可得解.
【详解】
因为，集合，
所以，.
故选：D.
【点睛】
本题考查了元素与集合、集合与集合关系的判断，属于基础题.
2． 设，则“”是“” 的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】分析：求解三次不等式和绝对值不等式，据此即可确定两条件的充分性和必要性是否成立即可.
详解：求解不等式可得，
求解绝对值不等式可得或，
据此可知：“”是“” 的充分而不必要条件.
本题选择A选项.
点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，充分不必要条件的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3．已知，，，则、、的大小关系是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先与0比较，c小于0，再a与b比较，即可判断大小.
【详解】
，

因此
故选：C.
【点睛】
本题考查比较大小、指数函数单调性、对数函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.
4．已知集合，，若，则实数a的值是（ ）
A．1 B． C．1或 D．以上答案都不对
【答案】D
【解析】由，转化为NÍM，分和 两种情况讨论求解.
【详解】
已知集合，，
因为，
所以NÍM，
当时，，符合题意；
当时，，
则，解得，
综上：实数a的值是0或1或-1
故选：D
【点睛】
本题主要考查集合的基本运算和集合的基本关系的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于基础题.
5．若函数是定义在上的奇函数，且，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】A
【解析】本题先根据题意判断函数是周期为4的周期函数，再根据奇函数求解即可.
【详解】
解：∵是上的奇函数，∴，
∵，∴，
∴函数的周期为4，
∴．
故选：A．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与函数的周期性，是基础题.
6．平面向量与的夹角为，，则等于( )
A． B． C．12 D．
【答案】B
【解析】因为，与的夹角为，故，则，应选答案B．
7．高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数的大致图像是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由函数的自变量为水深，函数值为水的体积，得到水深越大，水的体积就越大，而且增的速度先慢后快再慢的，即可求解.
【详解】
由图可知水深越大，水的体积就越大，故函数是个增函数，故排除A，C项，由鱼缸形状可知，下面细中间粗，上面较细，所以随着水深的增加，体积的变化的速度是先慢后快再慢的，所以B正确.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了函数的应用问题，重点考查分析问题和解决问题的能力.
8．已知直线l过点，当直线l与圆相交时，其斜率k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由圆的方程可得圆的圆心和半径，再由直线与圆相交的性质即可得，即可得解.
【详解】
圆的方程可变为，圆心为，半径为1，
因为直线l过点，且斜率为k，所以直线l的方程为即，
若要使直线l与圆相交，则圆心到直线l的距离，
解得.
故选：B.
【点睛】
本题考查了直线与圆位置关系的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
9．已知函数是R上的增函数，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．以上答案都不对
【答案】B
【解析】设，，由在上是增函数，则在时单调递增，在上递增，且，从而可求.
【详解】
函数是上的增函数，
设，，
由分段函数的性质可知，函数在单调递增，函数在单调递增，且，
，
解得
故选：B.
【点睛】
考查分段函数在上的单调性，既需要分段考虑，又需要整体考虑，基础题.
10．定义在上的函数，恒有成立，且，对任意的，则成立的充要条件是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题中条件，先得到关于对称；判定函数单调性，分别讨论，两种情况，结合充分条件和必要条件的概念，即可得出结果.
【详解】
由，得函数关于对称，
由得，
当时，，此时函数为增函数，
当时，，此时函数为减函数，
因为，
若时，函数在上为增函数，满足对任意的，，此时；
若，∵函数关于对称，则，
则，由得，此时，即；
即对任意的，得；
反之也成立，
所以对任意的，则成立的充要条件为“”.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据条件判断函数的对称性和单调性之间的关系，利用条件进行转化是解决本题的关键，属于常考题型.
11．设斜率为的直线与椭圆（）交于不同的两点，且这两个交点在轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，，得，即，所以，
故选C．
点睛：由椭圆的对称性可知，两个焦点关于原点对称，则直线是过原点的直线，且其交点投影恰好是椭圆焦点，由垂径的交点坐标为，则有，整理后同除以得，求出离心率．
12．函数的图象关于直线对称.据此可推测，对任意的非零实数，关于x的方程的解集都不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】方程不同的解的个数可为0,1,2,3,4.若有4个不同解，则可根据二次函数的图像的对称性知道4个不同的解中，有两个的解的和与余下两个解的和相等，故可得正确的选项.
【详解】
设关于的方程有两根，即或.
而的图象关于对称，因而或的两根也关于对称．而选项D中.
故选：D.
【点睛】
对于形如的方程（常称为复合方程），通过的解法是令，从而得到方程组，考虑这个方程组的解即可得到原方程的解，注意原方程的解的特征取决于两个函数的图像特征.


二、填空题
13．函数的值域是________．
【答案】
【解析】由题意结合二次函数、二次根式的性质可得范围，即得值域.
【详解】
因为，所以，
又要使根式有意义，则，所以，
所以，
故函数的值域为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了具体函数值域的求解，属于基础题.
14．已知为奇函数，当时，，则的解析式为______.
【答案】
【解析】由为奇函数，可得的定义域关于原点对称，且，且当时，，将代入可得答案.
【详解】
解：由为奇函数，可得的定义域关于原点对称，且，，
当时，，故，
.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查利用函数的奇偶性求函数解析式，相对简单.
15．若函数对任意的实数且则=_______ .
【答案】 或
【解析】对任意的实数,说明函数图像的一条对称轴为，，则 ， 或.
16．如图，在长方体中，， 点M是棱AD的中点，N在棱上，且满足，是侧面四边形内一动点(含边界)，若∥平面CMN，则线段长度最小值是________.

【答案】
【解析】取的中点,过点在面作的平行线交于
则易知面面,在中作,则为所求.

三、解答题
17．在中，角，，的对边分别为，，．
（1）若，且为锐角三角形，，，求的值；
（2）若，，求的取值范围．

【答案】（1）b＝5（2）
【解析】（1）运用二倍角的余弦公式，化简整理可得，再由余弦定理，解方程可得；
（2）运用正弦定理和两角和差的正弦公式，以及正弦函数的图象和性质，即可得到所求范围；
【详解】
解：（1），
，又为锐角，，
而，即，
解得或（舍去），；
（2）由正弦定理可得，
，
，
，
．
【点睛】
本题考查三角函数的恒等变换，三角形的正弦定理和余弦定理的运用，以及运算能力，属于中档题．
18．某中学高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人.为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，统计了他们期中考试的数学分数，然后按照性别分为男、女两组，将两组的分数分成5组：，，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）从样本分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两恰为一男一女的概率；
（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”？

数学尖子生
非数学尖子生
合计
男生



女生



合计



附：随机变量.

0.25
0.15
0.10
0.05
0.025

1.323
2.072
2.706
3.841
5.024

【答案】（1）；（2）列联表见解析，没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”.
【解析】（1）由分层抽样的概念可得抽取的100名学生中，男女生的人数，进而可得样本中分数小于110分的学生中，男女生的人数，根据列举法可得所有的基本事件数及符合要求的基本事件数，再由古典概型的概率公式即可得解；
（2）由频率分布直方图可得分数不小于130分的学生中，男女生的人数，即可完成列联表，计算出后，与比较即可得解.
【详解】
（1）由题意，抽取的100名学生中，男生人，女生人，
所以分数小于110分的学生中，男生有人，记为，，，
女生有人，记为，，
则从样本分数小于110分的学生中随机抽取2人，有基本事件为：
，，，，，，，，，，共10种；
其中恰为一男一女的基本事件为：，，，，，，共6种；
故所求概率；
（2）分数不小于130分的学生中，男生有人，
女生有人，
所以可得列联表如下：

数学尖子生
非数学尖子生
合计
男生
15
45
60
女生
15
25
40
合计
30
70
100
所以，
所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”.
【点睛】
本题考查了频率分布直方图的应用及古典概型概率的求解，考查了独立性检验的应用，属于中档题.
19．如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，，为的中点．
（I）证明平面；
（II）求四面体的体积.

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).
【解析】试题分析：（Ⅰ）取的中点，然后结合条件中的数据证明四边形为平行四边形，从而得到，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）由条件可知四面体N-BCM的高，即点到底面的距离为棱的一半，由此可顺利求得结果．
试题解析：（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.
又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是.
因为平面，平面，所以平面.

（Ⅱ）因为平面，为的中点，
所以到平面的距离为.
取的中点，连结.由得，.
由得到的距离为，故.
所以四面体的体积.
【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积
【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解．

20．已知椭圆过点，且离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若点与点均在椭圆上，且关于原点对称，问：椭圆上是否存在点（点在一象限），使得为等边三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，．
【解析】试题分析：（1）根据已知条件，列出不等式组，求解，即可求解椭圆的椭圆的方程；（2）设直线的斜率为，则直线，代入椭圆的方程，解得点的坐标，同理可得直线的方程，代入求解所以，即可求解点的坐标．
试题解析：（1）由题意，解得，
所以椭圆的标准方程为．
（2）由题意知直线经过坐标原点，假设存在符合条件的点，则直线的斜率存在且大于零， ①
设直线的斜率为，则直线，
联立方程组，得，
所以 ②
同理可得直线的方程为 ③
将②③代入①式得，
化简得，所以
所以，
综上所述，存在符合条件的点
【考点】椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．
【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到椭圆的几何性质的应用、函数与方程思想等知识点的综合考查，着重考查了学生的推理与运算能力以及转化与化归思想的应用，此类问题的解答中把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，转化为方程的根与系数的关系、判别式和韦达定理的应用是解答的关键，试题运算量大，有一定的难度，属于难题．
21．已知函数，，且与的图象有一个斜率为1的公切线（为自然对数的底数）.
（1）求；
（2）设函数，讨论函数的零点个数.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】（1）由与的图象有一个斜率为1的公切线，分别对与求导并求出切线方程，列出等量关系可得；
（2）利用换元将转化为二次函数，分类讨论对其单调性，对图像特点进行分析，分情况讨论出函数的零点个数.
【详解】
（1）可得.
在处的切线方程为，
即.
.
在处的切线方程为，
故
可得.
（2）由（1）可得，
，
令，则，
，
时，有两根，
且，
，
得：，
在上，，
在上，，
此时，.
又时，时，.
故在和上，
各有1个零点.
时，
最小值为，故仅有1个零点.
时，.
其中，同，
在与上，
各有1个零点，
时，，仅在有1个零点，
时，对方程.
方程有两个正根，.
在上，，在上，，在，.
由，可得，
故.


，
故.
故在上，，
在上，，
在上，有1个零点：.
时，恒成立，
为增函数，仅有1个零点：.
综上，或时，有1个零点，
或时，有2个零点.
【点睛】
本题考查导数的应用，利用导数求切线是常考点，利用导数讨论零点个数是难点，通常结合分类讨论思想进行分析解决，属于难题.
22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）；在以原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若射线与曲线，的交点分别为（异于原点），当斜率时，求的取值范围.
【答案】（1）的极坐标方程为；的直角坐标方程为；（2）.
【解析】（1）由，利用平方关系可得的普通方程，再将代入普通方程中化简求得极坐标方程；曲线的极坐标方程可化为，将代入上式即可得解；
（2）分别联立射线与曲线，的极坐标方程，求出两点的极坐标，进而得出的取值范围．
【详解】
（1）曲线的直角坐标方程为，即，将代入并化简得曲线的极坐标方程为，
由两边同时乘，得，结合得曲线的直角坐标方程为；
（2）设射线的倾斜角为，则射线的极坐标方程为，且.
联立得 ，
联立得，
所以，即的取值范围是.
【点睛】
本题考查三种方程间的互化，考查极坐标方程的应用，考查逻辑思维能力和转化能力，属于中档题.
23．设命题：实数满足，其中，命题：实数满足．
（1）若，且为真，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）若，分别求出，成立的等价条件，利用且为真，求实数的取值范围；
（2）利用是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【详解】
解：由，其中，得，，则：，．
由解得．即：．
（1）若，则：，若为真，则，同时为真，即，解得，
∴实数的取值范围．
（2）若是的充分不必要条件，即是的充分不必要条件，
∴，即，解得．
【点睛】
本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将是的充分不必要条件，转化为是的充分不必要条件是解决本题的关键，属于基础题.