025开普勒三定律的理解与应用 精讲精练-2022届高三物理一轮复习疑难突破微专题学案

一.必备知识

1.开普勒三定律

2. 开普勒三定律的理解与应用

（1）微元法解读开普勒第二定律：行星在近日点、远日点时的速度方向与两点连线垂直，若行星在近日点、远日点到太阳的距离分别为a、b，取足够短的时间Δt，则行星在Δt时间内的运动可看作匀速直线运动，由Sa＝Sb知va·Δt·a＝vb·Δt·b，可得va＝。行星到太阳的距离越大，行星的速率越小，反之越大。

（2）行星绕太阳的运动通常按匀速圆周运动处理。半径等于半长轴。

（3）开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。

（4）开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，故该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。

二.经典例题精讲：

例1　：(2017·全国卷Ⅱ)(多选)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中(　　)

A．从P到M所用的时间等于

B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大

C．从P到Q阶段，速率逐渐变小

D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功

 思维引导：

(1)从P到M与从M到Q的平均速率相等吗？

提示：不相等。

(2)从Q到N除万有引力做功之外，还有其他力对海王星做功吗？

提示：没有。

答案：CD

解析：由开普勒第二定律可知，相等时间内，太阳与海王星连线扫过的面积都相等，A错误；由机械能守恒定律知，从Q到N阶段，除万有引力做功之外，没有其他的力对海王星做功，故机械能守恒，B错误；从P到Q阶段，万有引力做负功，动能转化成海王星的势能，所以动能减小，速率逐渐变小，C正确；从M到N阶段，万有引力与速度的夹角先是钝角后是锐角，即万有引力对它先做负功后做正功，D正确。

三.举一反三，巩固练习

1.(2016·全国卷Ⅲ·14)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是(　　)

A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律

B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律

C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因

D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律

答案　B

解析　开普勒在天文观测数据的基础上总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，牛顿发现了万有引力定律．

2.火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知(　　)

A．太阳位于木星运行轨道的中心

B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等

C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方

D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积

答案　C

解析　由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，故A错误．火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，故B错误．根据开普勒第三定律(周期定律)知太阳系中所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数，故C正确．对于太阳系某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同时间内扫过的面积不相等，故D错误．

3.(2021全国甲卷18，6分). 2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105m。已知火星半径约为3.4×106m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为（　　）

A. 6×105m B. 6×106m C. 6×107m D. 6×108m

【答案】C

【解析】忽略火星自转则①   可知

设与为1.8×105s的椭圆形停泊轨道周期相同的圆形轨道半径为，由万引力提供向心力可知

②

设近火点到火星中心为③

设远火点到火星中心为④

由开普勒第三定律可知⑤

由以上分析可得

故选C。

4.2020年是我国第一颗人造地球卫星“东方红一号”卫星成功发射50周年。已知该卫星发射后先以近地点M点所在的圆为轨道做圆周运动，稳定后再变轨为如图所示的椭圆轨道。下列说法正确的是(　　)

A．卫星在圆轨道上运动的周期小于在椭圆轨道上运动的周期

B．卫星在椭圆轨道上运动时，在M点的线速度小于在N点的线速度

C．卫星在变轨为椭圆轨道时需要减速

D．卫星从M点运动到N点的过程中，地球对卫星的引力做正功，卫星的动能增大

答案　A

解析　根据开普勒第三定律，卫星的轨道半长轴越大，周期越大，A正确；由开普勒第二定律得，卫星在近地点的速度大于在远地点的速度，B错误；卫星在M点由圆轨道变为椭圆轨道是离心运动，需要加速，C错误；卫星从M点运动到N点的过程中，远离地球，地球对卫星的引力做负功，卫星的动能减小，D错误。

5.如图所示，已知地球半径为R，甲、乙两颗卫星绕地球运动。卫星甲做匀速圆周运动，其轨道直径为4R，C是轨道上任意一点；卫星乙的轨道是椭圆，椭圆的长轴长为6R，A、B是轨道的近地点和远地点。不计卫星间相互作用，下列说法正确的是(　　)

A．卫星甲在C点的速度一定小于卫星乙在B点的速度

B．卫星甲的周期大于卫星乙的周期

C．卫星甲在C点的速度一定小于卫星乙在A点的速度

D．在任意相等的时间内，卫星甲与地心的连线扫过的面积一定等于卫星乙与地心的连线扫过的面积

答案　C

解析　假设卫星乙以B点到地心的距离为轨道半径做匀速圆周运动，线速度大小为vB，由G＝m得v＝，因为rB>r甲C，可知v甲C>vB，由于卫星乙从以B点到地心的距离为轨道半径的圆轨道在B点减速做近心运动才能进入椭圆轨道，则卫星乙在B点的速度小于vB，所以卫星甲在C点的速度一定大于卫星乙在B点的速度，故A错误；由题意可知，卫星甲的轨道半径小于卫星乙做椭圆运动的半长轴，由开普勒第三定律＝k可知，卫星甲的周期小于卫星乙的周期，故B错误；假设卫星乙以A点到地心的距离为轨道半径做匀速圆周运动，线速度大小为vA，由G＝m得v＝，因为r甲C>rA，可知v甲C<vA，由于卫星乙从以A点到地心的距离为轨道半径的圆轨道在A点加速做离心运动才能进入椭圆轨道，则卫星乙在A点的速度大于vA，所以卫星甲在C点的速度一定小于卫星乙在A点的速度，故C正确；由开普勒第二定律可知，卫星在同一轨道上运动时与地心的连线在相等时间内扫过的面积相等，故D错误。

6.(2019·江苏高考)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动。如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G。则(　　)

A．v1>v2，v1＝   B.v1>v2，v1>

C．v1<v2，v1＝   D.v1<v2，v1>

答案　B

解析　卫星绕地球运动，由开普勒第二定律知，近地点的速度大于远地点的速度，即v1>v2。若卫星以近地点到地心的距离r为半径做圆周运动，则有＝m，得运行速度v近＝ ，由于卫星沿椭圆轨道运动，则v1>v近，即v1> ，B正确。