课时过关检测（五） 函数及其表示

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1．函数y＝lg2(2x－4)＋eq \f(1,x－3)的定义域是( )
A．(2,3) B．(2，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(2,3)∪(3，＋∞)
解析：选D 由题意，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－4>0，,x－3≠0，))解得x>2且x≠3，所以函数y＝lg2(2x－4)＋eq \f(1,x－3)的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)，故选D.
2．已知函数f(x＋1)的定义域为(－2,0)，则f(2x－1)的定义域为( )
A．(－1,0) B．(－2,0)
C．(0,1) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))
解析：选C 由题意，知－1＜x＋1＜1，则f(x)的定义域为(－1,1)．令－1＜2x－1＜1，得0＜x＜1.∴f(2x－1)的定义域为(0,1)．
3．已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x－1))＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于( )
A.eq \f(7,4) B．－eq \f(7,4)
C.eq \f(4,3) D．－eq \f(4,3)
解析：选A 令t＝eq \f(1,2)x－1，则x＝2t＋2，f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，故f(x)＝4x－1，则f(a)＝4a－1＝6，解得a＝eq \f(7,4).故选A.
4．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同， 则称这些函数为“同族函数”，则函数解析式为y＝x2＋1，值域为{1,3}的同族函数有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C 由x2＋1＝1得x＝0，由x2＋1＝3得x＝±eq \r(2)，所以函数的定义域可以是{0，eq \r(2)}，{0，－eq \r(2)}，{0，eq \r(2)，－eq \r(2)}，故值域为{1,3}的同族函数共有3个．
5.如图，△AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之一圆的扇形，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设AP＝x(0解析：选A 观察可知阴影部分的面积y的变化情况为：(1)当06．(多选)函数f(x)＝eq \f(x,1＋x2)，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，则下列等式成立的是( )
A．f(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x))) B．－f(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))
C.eq \f(1,fx)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x))) D．f(－x)＝－f(x)
解析：选AD 根据题意得f(x)＝eq \f(x,1＋x2)，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝eq \f(\f(1,x),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))2)＝eq \f(x,1＋x2)，所以f(x)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))；f(－x)＝eq \f(－x,1＋－x2)＝－eq \f(x,1＋x2)＝－f(x)，所以f(－x)＝－f(x)，故选A、D.
7．(多选)如图所示是函数y＝f(x)的图象，图中x正半轴曲线与虚线无限接近但是永不相交，则以下描述正确的是( )
A．函数f(x)的定义域为[－4,4)
B．函数f(x)的值域为[0，＋∞)
C．此函数在定义域内是增函数
D．对于任意的y∈(5，＋∞)，都有唯一的自变量x与之对应
解析：选BD 对于A，由函数的图象可知，函数的定义域为[－4,0]∪[1,4)，故A错误；
对于B，由函数的图象可知，函数的值域为[0，＋∞)，故B正确；
对于C，函数在[－4,0]，[1,4)是增函数，结合图象可知，此函数在定义域内不是增函数，故C错误；
对于D，由函数的图象可知，对于任意的y∈(5，＋∞)，都有唯一的自变量x与之对应，故D正确．
故选B、D.
8．(多选)(2021·河北衡水调研)下列函数中，满足f(18x)＝18f(x)的是( )
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋2 D．f(x)＝－2x
解析：选ABD 若f(x)＝|x|，则f(18x)＝|18x|＝18|x|＝18f(x)；若f(x)＝x－|x|，则f(18x)＝18x－|18x|＝18(x－|x|)＝18f(x)；若f(x)＝x＋2，则f(18x)＝18x＋2，而18f(x)＝18x＋18×2，故f(x)＝x＋2不满足f(18x)＝18f(x)；若f(x)＝－2x，则f(18x)＝－2×18x＝18×(－2x)＝18f(x)．
9．已知函数f(x)＝ eq \r(－x2＋2x＋3)，则函数f(3x－2)的定义域为________．
解析：由－x2＋2x＋3≥0，解得－1≤x≤3，
即f(x)的定义域为[－1,3]．
由－1≤3x－2≤3，解得eq \f(1,3)≤x≤eq \f(5,3)，
则函数f(3x－2)的定义域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(5,3))).
答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(5,3)))
10．已知函数f(x)＝ax－b(a>0)，且f(f(x))＝4x－3，则f(x)＝________.
解析：易知f(f(x))＝a(ax－b)－b＝a2x－ab－b，
∴a2x－ab－b＝4x－3(a>0)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,ab＋b＝3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝1.))
∴f(x)＝2x－1.
答案：2x－1
11．设函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－7，x<0，,\r(x)，x≥0，))若f(a)<1，求实数a的取值范围．
解：若a<0，则f(a)<1⇔eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))a－7<1⇔eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))a<8，解得a>－3，故－3若a≥0，则f(a)<1⇔eq \r(a)<1，
解得a<1，故0≤a<1.
综上可得－312．(2021·海南调研)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x≤－1，,x＋1，x>－1，))
(1)求f(f(－2))的值；
(2)求不等式f(x)≥2的解集．
解：(1)根据函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x≤－1，,x＋1，x>－1，))
可得f(－2)＝22＝4，则f(f(－2))＝f(4)＝4＋1＝5.
(2)由不等式f(x)≥2，可得①eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≤－1，,2－x≥2，))或②eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>－1，,x＋1≥2，))
解①得x≤－1，解②得x≥1，
故不等式的解集为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
B级——综合应用
13．如下折线图统计了2020年2月27日至2020年3月11日共14天全国(不含湖北)新冠肺炎新增确诊人数和新增疑似人数．
记2020年2月27日至2020年3月11日的日期为t(t∈N*)，t的取值如下表：
新增确诊人数记为f(t)(图中粗线)，新增疑似人数记为g(t)(图中细线)，则下列结论正确的是( )
A．f(t)与g(t)的值域相同
B．f(9)>g(10)
C．∃t0∈N*，使f(t0)＝g(t0)
D．∀t∈N*，f(t)解析：选D 由题图纵轴可知f(t)与g(t)的值域不相同；f(9)＝3014．(多选)(2021·山东菏泽一中月考)设函数f(x)的定义域为D，∀x∈D，∃y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，则称f(x)为“美丽函数”．下列所给出的函数中，是“美丽函数”的是( )
A．y＝x2 B．y＝eq \f(1,x－1)
C．y＝ln(2x＋3) D．y＝2x＋3
解析：选BCD 函数f(x)的定义域为D，∀x∈D，∃y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，所以函数f(x)的值域关于原点对称．
对于选项A，函数y＝x2的值域为[0，＋∞)，不关于原点对称，不符合题意；
对于选项B，函数y＝eq \f(1,x－1)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，符合题意；
对于选项C，函数y＝ln(2x＋3)的值域为R，关于原点对称，符合题意；
对于选项D，函数y＝2x＋3的值域为R，关于原点对称，符合题意．故选B、C、D.
15．(2021·河南郑州第二次质量检测)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝eq \f(2x＋3,2x＋1)，求函数y＝[f(x)]的值域．
解：f(x)＝eq \f(2x＋3,2x＋1)＝eq \f(2x＋1＋2,2x＋1)＝1＋eq \f(2,2x＋1)，
∵2x＞0，∴1＋2x＞1，
∴0＜eq \f(1,2x＋1)＜1，
则0＜eq \f(2,2x＋1)＜2，
∴1＜1＋eq \f(2,2x＋1)＜3，
即1＜f(x)＜3，
当1＜f(x)＜2时，[f(x)]＝1，
当2≤f(x)＜3时，[f(x)]＝2.
综上，函数y＝[f(x)]的值域为{1,2}．
C级——迁移创新
16．(多选)(2021·山东模拟)函数f(x)的定义域为D，对给定的正数k，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f(x)满足：①f(x)在[a，b]内是单调函数；②f(x)在[a，b]上的值域为[ka，kb]，则称区间[a，b]为y＝f(x)的k级“理想区间”．下列结论正确的是( )
A．函数f(x)＝x2存在1级“理想区间”
B．函数f(x)＝ex不存在2级“理想区间”
C．函数f(x)＝eq \f(4x,x2＋1)(x≥0)存在3级“理想区间”
D．函数f(x)＝tan x，x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))不存在4级“理想区间”
解析：选ABC 易知[0,1]是f(x)＝x2的1级“理想区间”，故A项正确；由于g(x)＝ex－2x无零点，因此f(x)＝ex不存在2级“理想区间”，故B项正确；由h(x)＝eq \f(4x,x2＋1)－3x＝0(x≥0)，得x＝0或x＝eq \f(\r(3),3)，则eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),3)))是f(x)＝eq \f(4x,x2＋1)(x≥0)的一个3级“理想区间”，C项正确；易知y＝tan x的图象与直线y＝4x在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))内有三个交点，因此f(x)＝tan xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))))有4级“理想区间”，故D项错误．故选A、B、C.
日期
2.27
2.28
2.29
3.01
3.02
3.03
3.04
3.05
3.06
3.07
3.08
3.09
3.10
3.11
t
1
2
3
4
5
6
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