高中人教A版 (2019)8.2 一元线性回归模型及其应用背景图课件ppt

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对于一组具有线性相关关系的数据
我们知道其经验回归方程的截距和斜率的最小二乘估计公式分别为：
残差图：作图时纵坐标为残差,横坐标可以选为样本编号，解释变量或响应变量，这样作出的图形称为残差图．
求经验回归直线方程的步骤：
例1.经验表明,对于同一树种,一般树的胸径(树的主干在地面以上1.3m处的直径)越大,树就越高.由于测量树高比测量胸径困难，因此研究人员希望由胸径预测树高.在研究树高与胸径之间的关系时,某林场收集了某种树的一些数据如下表所示,试根据这些数据建立树高关于胸径的经验回归方程.
解: 以胸径为横坐标,树高为纵坐标作散点图如下：
散点大致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明两个变量线性相关，并且是正相关，因此可以用一元线性回归模型刻画树高与胸径之间的关系.
用d表示胸径,h表示树高,根据据最小二乘法,计算可得经验回归方程为
根据经验回归方程，由胸径的数据可以计算出树高的预测值(精确到0.1)以及相应的残差，如下表所示.
以胸径为横坐标，残差为纵坐标，作残差图，得到下图.
观察残差表和残差图，可以看到残差的绝对值最大是 0.8，所有残差分布在以横轴为对称轴、宽度小于2的带状区域内 .可见经验回归方程较好地刻画了树高与胸径的关系，我们可以根据经验回归方程由胸径预测树高.
例2.人们常将男子短跑100m的高水平运动员称为“百米飞人”.下表给出了1968年之前男子短跑100m世界纪录产生的年份和世界纪录的数据.试依据这些成对数据，建立男子短跑100m世界纪录关于纪录产生年份的经验回归方程
以成对数据中的世界纪录产生年份为横坐标,世界纪录为纵坐标作散点图,得到下图
在左图中，散点看上去大致分布在一条直线附近，似乎可用一元线性回归模型建立经验回归方程.
用Y表示男子短跑100m的世界纪录,t表示纪录产生的年份 ,利用一元线性回归模型来刻画世界纪录和世界纪录产生年份之间的关系 . 根据最小二乘法,由表中的数据得到经验回归方程为：
将经验回归直线叠加到散点图，得到下图：
仔细观察：从图中可以看到，经验回归方程较好地刻画了散点的变化趋势，请再仔细观察图形，你能看出其中存在的问题吗?
第一个世界纪录所对应的散点远离经验回归直线，并且前后两时间段中的散点都在经验回归直线的上方，中间时间段的散点都在经验回归直线的下方.
这说明散点并不是随机分布在经验回归直线的周围， 而是围绕着经验回归直线有一定的变化规律， 即成对样本数据呈现出明显的非线性相关的特征.
回顾已有的函数知识，可以发现函数y=-lnx的图象具有类似的形状特征
思考：你能对模型进行修改,以使其更好地反映散点的分布特征吗？
仔细观察左图，可以发现散点更趋向于落在中间下凸且递减的某条曲线附近.
注意到100m短跑的第一个世界纪录产生于1896年, 因此可以认为散点是集中在曲线y=f(t)=c1+c2ln(t-1895)的周围，其中c1、c2为未知参数，且c2