课时过关检测（二十四） 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

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A级——基础达标
1．(2020·全国卷Ⅲ)已知2tan θ－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝7，则tan θ＝( )
A．－2 B．－1
C．1D．2
解析：选D 由已知得2tan θ－eq \f(tan θ＋1,1－tan θ)＝7，得tan θ＝2.
2．tan 18°＋tan 12°＋eq \f(\r(3),3)tan 18°tan 12°＝( )
A．eq \r(3)B．eq \r(2)
C．eq \f(\r(2),2)D．eq \f(\r(3),3)
解析：选D ∵tan 30°＝tan(18°＋12°)＝eq \f(tan 18°＋tan 12°,1－tan 18°tan 12°)＝eq \f(\r(3),3)，∴tan 18°＋tan 12°＝eq \f(\r(3),3)(1－tan 18°tan 12°)，∴原式＝eq \f(\r(3),3).
3．已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝－2，则eq \f(1－sin 2α,cs 2α)＝( )
A．2B．eq \f(1,2)
C．－2D．－eq \f(1,2)
解析：选D 由题意得taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(1＋tan α,1－tan α)＝－2，
所以eq \f(1－sin 2α,cs 2α)＝eq \f(sin α－cs α2,cs2α－sin2α)＝eq \f(cs α－sin α,cs α＋sin α)＝eq \f(1－tan α,1＋tan α)＝－eq \f(1,2).
4．(2021·湖南岳阳一中月考)黄金三角形就是一个等腰三角形，其顶角为36°，底角为72°，底与腰的长度比值约为0.618，这一数值也可以表示为m＝2cs 72°.若n＝cs 36°cs 72°cs 144°，则mn＝( )
A．－1B．eq \f(1,8)
C．－eq \f(1,8)D．1
解析：选C ∵m＝2cs 72°，n＝cs 36°cs 72°cs 144°，
∴mn＝2cs 72°cs 36°cs 72°cs 144°
＝2sin 18°cs 36°·cs 72°cs 144°
＝eq \f(sin 36°cs 36°cs 72°cs 144°,cs 18°)
＝eq \f(sin 72°cs 72° cs 144°,2cs 18°)＝eq \f(sin 144°cs 144°,4cs 18°)
＝eq \f(sin 288°,8cs 18°)＝eq \f(sin18°＋270°,8cs 18°)＝eq \f(－cs 18°,8cs 18°)＝－eq \f(1,8)，
即mn＝－eq \f(1,8).故选C．
5．(多选)下列各式中，值为eq \f(1,2)的是( )
A．cs2eq \f(π,12)－sin2eq \f(π,12)B．eq \f(tan 22.5°,1－tan222.5°)
C．2sin 195°cs 195°D． eq \r(\f(1＋cs \f(π,6),2))
解析：选BC 选项A，cs2eq \f(π,12)－sin2eq \f(π,12)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,12)))＝cs eq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2)，错误；
选项B，eq \f(tan 22.5°,1－tan222.5°)＝eq \f(1,2)·eq \f(2tan 22.5°,1－tan222.5°)＝eq \f(1,2)tan 45°＝eq \f(1,2)，正确；
选项C,2sin 195°cs 195°＝2sin(180°＋15°)cs(180°＋15°)＝2sin 15°cs 15°＝sin 30°＝eq \f(1,2)，正确；
选项D, eq \r(\f(1＋cs \f(π,6),2))＝ eq \r(\f(1＋\f(\r(3),2),2))＝eq \f(\r(2＋\r(3)),2)，错误．故选B、C．
6．(多选)(2021·山东泰安一模)已知sin θ＝－eq \f(2,3)，且cs θ>0，则( )
A．tan θeq \f(4,9)
C．sin2 θ>cs2θD．sin 2θ>0
解析：选AB 因为sin θ＝－eq \f(2,3)且cs θ>0，所以cs θ＝eq \r(1－\f(4,9))＝eq \f(\r(5),3)，所以tan θ＝－eq \f(2\r(5),5)，故A项正确；tan2θ＝eq \f(4,5)>eq \f(4,9)，故B项正确；sin2θ＝eq \f(4,9)，cs2θ＝eq \f(5,9)，所以sin2θ