2020-2021学年10.5 可化为一元一次方程的分式方程及其应用教学设计

《可化为一元一次方程的分式方程及其应用》教案

教学目标

1．了解分式方程的概念．

2．会用去分母的方法解可化为一元一次方程的简单的分式方程，体会化归思想和程序化思想．

3．能够列分式方程解决简单的实际问题．

教学重、难点

利用分式方程解决实际问题．

教学过程

一、创设问题，激发兴趣

问题1：为了解决引言中的问题，我们得到了方程．仔细观察这个方程，未知数的位置有什么特点？

像这样分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

你可以再写出几个类似这样的方程吗？

问题2：你能试着解分式方程吗？

问题3：这些解法有什么共同特点？

总结：这些解法的共同特点是先去分母，将分式方程转化为整式方程，再解整式方程．

思考：

(1)如何把分式方程转化为整式方程呢？

(2)怎样去分母？

(3)在方程两边乘以什么样的式子才能把每一个分母都约去呢？

(4)这样做的依据是什么？

总结：

(1)分母中含有未知数的方程，通过去分母就化为整式方程了．

(2)利用等式的性质可以在方程两边都乘同一个式子，即为各分母的最简公分母．

问题4：解分式方程：

为去分母，在方程两边同乘最简公分母，得到整式方程：．解得：．将代入原分式方程检验，发现这时分母和的值都为0，相应的分式无意义．因此不是原分式方程的解．

原因：

在去分母的过程中，对原分式方程进行了变形，而这种变形是否引起分式方程解的变化，主要取决于所乘的最简公分母是否为0．

检验的方法主要有两种：

(1)将整式方程的解代入原分式方程，看左右两边是否相等；

(2)将整式方程的解代入最简公分母，看是否为0．

问题5：你能概括出解分式方程的基本思路和一般步骤吗？解分式方程应该注意什么？

基本思路：将分式方程化为整式方程．

一般步骤：

(1)去分母；

(2)解整式方程；

(3)检验．

注意：由于去分母后解得的整式方程的解不一定是原分式方程的解，所以需要检验．

二、知识应用，巩固提高

例1．解方程．

解：方程两边同时乘以x2-1得

x+1=2解这个整式方程，得x=1.

例2．解方程

解：方程两边同时乘以x(x-7)约去分母，得

100(x-7)=30x

解这个整式方程得x=10.

检验：把x=10代入x(x-7)，得10×(10-7)=30≠0.

所以x=10是原方程的解.

x+1=2解这个整式方程，得x=1.

同学们掌握了分式方程的解法，能否用它解决实际问题呢？

例3．用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两位程序员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，两人各输入2640个数据，已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.这两个操作员每分钟各能输入多少个数据？

解:设乙每分钟能输入x个数据，则甲每分钟能输入2x个数据，根据题意，得

解得x=11.

经检验x=11是原方程的解.并且，当x=11时，2x=2×11=22，所以乙用了240分钟，甲用了120分钟，甲比乙少用了120分钟，符合题意.

教师在黑板上板书上述例题的过程，说明列方程的思想和技巧，并详细说明解方程的步骤．

例4远大中学组织同学到离学校15km的郊区进行社会调查.一部分同学骑自行车前往，另一部分同学在骑自行车的同学出发40min后，乘汽车沿相同的路线行进，结果骑自行车的与乘汽车的同学同时到达目的地.已知汽车速度是自行车速度的3倍，求自行车和汽车的速度.

例5 已知：公式，其中p1，p2，V1，V2均不等于零.试用p2，V1，V2表示p1.

三、课堂小结

(1)本节课学习了哪些主要内容？

(2)解分式方程的基本思路和一般步骤是什么？解分式方程应该注意什么？

(3)列分式方程解应用题的步骤是什么？与列整式方程解应用题的过程有什么区别和联系？