河北省石家庄市2020-2021学年高一下学期第三次月考数学试题+Word版含答案

2020~2021学年度石家庄市高一第二学期第三次月考

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第八章第3节占30%，第八章第4节至第十章第1节占70%。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.下列情况中，适合用全面调查的是

A.检查某人血液中的血脂含量

B.调查某地区的空气质量状况

C.乘客上飞机前的安检

D.调查某市市民对垃圾分类处理的意识

2.高一（1）班30名学生的一次数学考试成绩按从小到大排序结果如下：

51 54 59 60 64 68 68 70 71 72

72 74 75 76 79 80 80 81 82 83

85 87 88 90 91 92 93 95 98 100

则估计这次数学考试成绩的第75百分位数为

A.87     B.88     C.90     D.87.5

3.下列判断正确的是

A.空间中任意三点确定一个平面

B.垂直同一个平面的两条直线互相垂直

C.一个西瓜切3刀最多可切成8块

D.垂直同一个平面的两个平面互相平行

4.某同学从6岁到12岁的年龄与身高的折线图如图所示，根据折线图，下列说法正确的是

A.9岁到10岁的身高增长速度最快

B.从6岁到12岁，每年身高平均增长了5cm

C.7岁时，该同学的身高就超过了120cm

D.9岁到12岁比6岁到9岁的身高增长速度更快

5.连续掷两次骰子，设先后得到的点数为m，n，则的概率是

A.     B.     C.     D.

6.如图，在直三棱柱中，点O为的中点，，，，则异面直线BC与所成角的正切值为

A.     B.     C.     D.

7.已知正四棱锥的所有棱长均为，E，F分别是PC，AB的中点。则

A.     B.     C.     D.

8.已知是互不相等的自然数，且，标准差为2，则该样本数据的极差为

A.4     B.6     C.7     D.8

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列说法错误的是

A.若，则与为相等向量

B.若与方向相反，则与为相反向量

C.若，则A，B，C，D四点一定可以构成平行四边形

D.两个单位向量之和可能仍然是单位向量

10.将颜色分别为红、绿、白、蓝的4个小球随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人一个，则

A.事件“甲分得红球”与事件“乙分得黄球”是互斥不对立事件

B.事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是互斥不对立事件

C.事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”的对立事件是“丙分得白球，T分得红球”

D.当事件“甲分得红球”的对立事件发生时，事件“乙分得红球”发生的概率是

11.在中，内角A，B，C所对的边分别为，，，则

A. 为锐角三角形

B.当时，

C. 周长的最大值为3

D. 面积的最大值为

12.如图1，E，F分别为等腰梯形底边AB，CD的中点，，将四边形EFCB沿EF进行折叠，使BC到达位置，连接，，如图2，使得，则

图1                          图2

A. 平面

B.平面平面

C. 与平面AEFD所成角的正切值为

D.多面体的体积为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.

13.某校高一年级有男生300人，女生200人，已知男生、女生的平均身高分别为170 cm和160 cm，则该校高一年级全体学生的平均身高为     ▲     cm.

14.写出一个复数z，使得z在复平面内对应的点位于第三象限，但z2在复平面内对应的点位于第一象限，则z=     ▲     .

15.梵净山是云贵高原向湘西丘陵过渡斜坡上的第一高峰，是乌江与沅江的分水岭，也是横亘于贵州、重庆、湖南、湖北四省（市）的武陵山脉的最高主峰，某测量小组为测量该山最高的金顶P的海拔，选取了一块海拔为400米的平地，在平地上选取相距885米的两个观测点A与B，如图，在点A处测得P的仰角为，在点B处测得P的仰角为，则金顶P的海拔为     ▲     米. （结果精确到整数部分，取）

16.在长方体中，，，则以点A为球心，半径的球的球面与长方体表面的交线的总长度为     ▲     .

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（10分）

自中国进入工业化进程以来，个人的文化水平往往影响或在某种程度上决定了个人的薪酬高低，文化水平较高的人往往收入较高.将个人的文化水平用数字表示，记“没有接受过系统学习或自学的成年人”为最低分25分，“顶级尖端人才”为最高分95分.为了分析A市居民的受教育程度，从A市居民中随机抽取1000人的文化水平数据X，将样本分成小学[ 25，35），初中[35，45），高中[45，55），专科[55.65），本科[65，75），硕土[75.85），博士[85.95]七组，整理后得到如图所示的频率分布直方图.

（1）求样本数据的众数和中位数（保留一位小数）；

（2）同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，请估计该市居民的平均文化水平.

18. （12分）

如图，已知，，，且，.

（1）求；

（2）设AN与BM交于点P，求的值.

19.（12分）

如图，在正三棱锥中，D，E，F，G分别为SA，SC，BC，AB的中点。

（1）证明：D，E，F，G四点共面，且平面DEFG.

（2）刻画空间弯曲性是几何研究的重要内容，用“曲率”刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制）.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故各个顶点的曲率均为.若正三棱锥在顶点S的曲率为，且，求四边形DEFG的面积.

20.（12分）

“国家品牌计划”是央视对过去的广告招标模式实现的一次创新，为入选企业定制宣传片及企业品牌故事，在央视各频道高频次播出，希望能提升企业品牌形象，以品牌建设驱动产业升级.现在有家具用品类企业36家，医药卫生类企业18家，建筑建材类企业18家，准备参加“国家品牌计划”的招标.

（1）通过分层随机抽样的方法从这3类企业中抽取4家企业，按比例分配样本，求从家具用品类企业中抽取的数量和每一家企业被抽到的概率；

（2）若根据（1）中方法抽取的4家企业中标人围“国家品牌计划”的概率都是，求这4家企业中恰只有1家家具用品类企业和1家医药卫生类企业中标入围的概率.

21.（12分）

如图，在四棱柱中，，，底面ABCD是菱形，，平面平面ABCD，.

（1）证明：平面ABCD.

（2）求四棱锥的体积.

22.（12分）

如图，在平面四边形ABCD中，.

（1）设，证明：为定值.

（2）若，记的面积为，的面积为，，求S的最大值.

2020~2021学年度石家庄市高一第二学期第三次月考

数学参考答案

1.C乘客上飞机前的安检适合用全面调查，只有确认每一名乘客所携带的物品都安全才能保证航班安全.

2.B由，可知样本的第75百分位数为第23项数据，据此估计这次数学考试成绩的第75百分位数为88.

3.C空间中任意三点不一定能确定一个平面，垂直同一个平面的两条直线互相平行，垂直同一个平面的两个平面未必互相平行，一个西瓜切3刀等价于一个正方体被三个平面切割，按照如图所示的方法切割可得最多块数，故C正确，其余选项均错误.

4. D由所给折线图可知，6岁到7岁，身高增长了2cm；7岁到8岁，身高增长了3cm；8岁到9岁，身高增长了5cm；9岁到10岁，身高增长了6 cm；10岁到11岁，身高增长了9 cm；1l岁到12岁，身高增长了3 cm.身高增长速度最快的是10岁到11岁，A错误；从6岁到12岁，每年身高平均增长了，B错误；7岁时，该同学的身高为118 cm，C错误；6岁到9岁的身高增长了10 cm，9岁到12岁的身高增长了18 cm，D正确.

5.D依题意知基本事件的种数为，其的事件为（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），共15种，根据古典概型的概率公式可得所求概率为.

6.A 如图，连接，，设与的交点为E，连接OE，易得点E为的中点，又因为点O为的中点，所以，且，所以即异面直线BC与所成角.在直三棱柱中，，又因为，所以平面，从而平面，可得.因为，，所以，，所以.

7. A如图，设正方形ABCD的中心为O，连接OC，PO，OF，则平面ABCD，.设OC的中点为H，连接EH，FH，则，所以.在中，，，，所以由余弦定理可得，所以.

8.B不妨设，平均数为，方差为，则，解得，即，所以，则.

当时，数据依次为5，6，7，8，9，则样本的方差为

，不满足题意；

当时，数据依次为4，6，7，8，10，则样本的方差为

，满足题意；

当时，，，，此时，方差大于4，不合题意.故样本中最大的数为10，最小的数为4，极差为6.

9.ABC 若，只能表示和的长度相等，不能说明为相等向量，A错误；相反向量是方向相反，模相等的两个向量，B错误；若，则A，B，C，D四点可能共线，不能构成平行四边形，C错误；单位向量是模长等于1的向量，两个单位向量之和的模长可能仍然为1，D正确.

10.BD  事件“甲分得红球”与事件“乙分得黄球”可以同时发生，不是互斥事件，A错误；事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”不能同时发生，是互斥事件，除了甲分得红球或者乙分得红球以外，丙或者丁也可以分得红球，B正确；事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”与事件“丙分得白球，丁分得红球”可以同时发生，不是对立事件，C错误；事件“甲分得红球”的对立事件是“甲没有分得红球”，因此乙、丙、丁三人中有一个人分得红球，事件“乙分得红球”发生的概率是，D正确.

11. BCD  由，可得，化简可得

，因为，所以，可得，A，C的大小不确定，可能为直角或钝角，A错误；当时，，，B正确；由，可得，变形可得，解得，当且仅当时取等号，所以的周长，C正确；由，可得，当且仅当时取等号，所以的面积，D正确.

12. ABC  因为，，，所以平面，A正确.因为，，，，所以平面平面，B正确.如图，延长，EF，BC相交于点H，过作于点G.连接GH.因为平面，所以，则平面AEFD，故为与平面ABCD所成的角.因为，所以，所以.在中，，，可得，，则，所以，C正确.延长AD交于点H，易证多面体为三棱台，，

，，多面体的体积，D错误.

13.    .

14. （答案不唯一）只要满足，，且即可.

15. 2494  设米，依题意可得，，则，因为，所以，则，所以米，故金顶P的海拔为米.

16.    交得的曲线由四段弧构成.如图，其中两段（前侧面和下底面）弧是以A为圆心，半径为，圆心角为的圆弧；另两段（上底面和后侧面）弧是分别以和D为圆心，半径为1，圆心角为的圆弧.

17.解：（1）样本数据的众数为.

的频率为；

的频率为.

所以中位数在区间[65，75）上，中位数为.

（2）平均文化水平

.

18.解：（1），

则，

（2）等于向量和的夹角.

，

，

则.

19. （1）证明：因为D，E，F，G分别为SA，SC，BC，AB的中点，

所以，，

所以，即D，E，F，G四点共面.

又因为平面DEFG，平面DEFG，

所以平面DEFG.

（2）解：由D，E，F，G分别为SA，SC，BC，AB的中点，同理可证.

在正三棱锥中，易知顶点S的三个面角均相等，不妨设面角为，由曲率定义，得，则.

由，可知，，均为斜边为2的等腰直角三角形，为边长为2的正三角形.

如图，记AC的中点为O，连接SO，BO，则，，，

所以平面OBS，则，

所以，四边形DEFG为矩形，

，，

所以四边形DEFG的面积为.

20.解：（1）由题意可得，家具用品类企业、医药卫生类企业、建筑建材类企业的数量之比为2：1：1，

通过分层随机抽样，按比例分配样本，应从家具用品类企业中抽取2家，

记事件A为“任意一家被抽到”，因为任意一家被抽到的概率相等，

所以每一家企业被抽到的概率.

（2）记事件B为“恰有1家家具用品类企业、1家医药卫生类企业中标入围”，

若2家家具用品类企业中标入围分别记为，，没中标入围分别记为，，医药卫生类企业中标入围记为B，没中标入围记为，建筑建材类企业中标入围记为C，没中标入围记为，

可能出现的情况为

共16种，

恰有1家家具用品类企业、1家医药卫生类企业中标入围的情况为，共2种，

所以恰有1家家具用品类企业、1家医药卫生类企业中标入围的概率.

21.（1）证明：连接AC，因为底面ABCD是菱形，所以.

又，，所以平面.

因为平面，所以.

取CD的中点E，连接BE，因为，所以等边三角形，则.

又平面平面，平面平面，

所以平面.

又平面，所以.

因为，所以平面ABCD.

（2）解：因为四边形ABCD是边长为2的菱形，且，所以.

又平面ABCD，所以，

所以，

故.

22.（1）证明：设，则.

在中，因为，所以.

在中，由余弦定理得，

即，

则，即，

故为定值.

（2）解：在中，，

则，即.

，

当时，S取得最大值.