数学九年级上册22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质教学设计及反思

这是一份数学九年级上册22.1.4 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质教学设计及反思，共8页。


课题
22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
单元
第22章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
1.会画二次函数一般式y=ax2+bx+c的图象；
2.熟记二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标公式；
3.会用公式法和配方法求二次函数一般式y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴.
重点
1.熟记二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标公式.
2.会用公式法和配方法求二次函数一般式y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴．
难点
理解一般式与顶点式的联系.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
复习回顾：1.说出二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质？
抛物线
y=a(x-h)2+k
a、k符号
a>0、k>0
a>0、k<0
a<0、k>0
a<0、k<0
图象
开口方向
向上
向下
对称轴
x=h
顶点坐标
(h,k)
最值
最小值
最大值
增减性
当 xh 时，y 随 x 增大而增大.
当 xh 时，y 随 x 增大而减小.
2.平移规律？
上加下减，左加右减
学生回忆并回答问题.
回顾二次函数顶点式的图象和性质以及平移的规律.
讲授新课
环节一：二次函数一般式转变为顶点式
我们已经知道二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论二次函数图象和性质?怎样将 转换成y=a(x-h)2+k形式？
配方：
配方步骤：1、“提”：提出二次项系数；
“配”：括号内配成完全平方；
3、“化”：化成顶点式.
称为一般式；
称为顶点式.
一般式通过配方得到顶点式.
练习：将下面的函数解析式改为顶点式
(1)y=x2-6x+10 (2)y=-4x2-16x+1
解：(1)y=x2-6x+10
=x2-6x+9-9+10
=(x-3)2+1
解： (2)y=-4x2-16x+1
=-4(x2+4x)+1
=-4(x2+4x+4-4)+1
=-4(x+2)2+16+1
=-4(x+2)2+17
环节二：探究二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴
由配方的结果可知， 的顶点是(6,3)，对称轴是x=6.
因此，的顶点是(6,3)，对称轴是x=6.
根据前面的知识，我们可以先画出二次函数 的图象，然后把这个图象向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数 的图象.
思考：还有其他平移方法吗？
先画出二次函数的图象，然后把这个图象向上平移3个单位长度，再向右平移6个单位长度，得到二次函数的图象.
图象如下：
除了平移的函数图象，还可以用描点法画图象.
用描点法画二次函数的图象
(1) 列表
x
...
3
4
5
6
7
8
9
...
...
7.5
5
3.5
3
3.5
5
7.5
...
(2) 描点
(3) 连线
二次函数的图象是抛物线；
开口向上；
轴对称图形，对称轴为直线x=6
抛物线与对称轴的交点叫做顶点，y=x2的顶点为(0，0)，顶点是最低点；
在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大.
思考：不画图象，用上面的方法讨论二次函数y=x2-6x+10和y=-4x2-16x+1的性质.
∵y=x2-6x+10 =(x-3)2+1
∴y=x2-6x+10的性质为：
(1)开口向上；(2)对称轴：直线x=3；(3)顶点坐标（3,1）；(4)增减性：对称轴左侧，从左向右下降，y随x增大而减小；对称轴右侧，从左向右上升，y随x增大而增大.
∵y=-4x2-16x+1 =-4(x+2)2+17
∴y=-4x2-16x+1的性质为：
(1)开口向下；(2)对称轴：直线x=-2；(3)顶点坐标（-2,17）；(4)增减性：对称轴左侧，从左向右上升，y随x增大而增大；对称轴右侧，从左向右下降，y随x增大而减小.
探究：将二次函数y=ax2+bx+c配成顶点式，并画出它的图象，说出它的性质.
因此，二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为，顶点是
如果a>0，当时，y随x增大而减小，当 时，y随x增大而增大 ；
如果a<0，当时，y随x增大而增大，当 时，y随x增大而减小.
x
y
O
y
x
O
a>0图象 a<0图象
环节三：合作探究
例1 一个二次函数的图象经过(-1,10)、(1,4)、(2,7)三点，求这个二次函数的解析式.
分析：两点可以确定一次函数，即求出这个一次函数的解析式.
由几点的坐标可以确定二次函数？这几个点满足什么条件？
二次函数的解析式y=ax2+bx+c中需要确定a、b、c的值，由不在同一直线的三点（任意两点的连线不与y轴平行）的坐标，列出关于a、b、c的三元一次方程组就可求出a、b、c的值.
解: 设所求二次函数为y=ax2+bx+c，
将(-1,10)、(1,4)、(2,7)代入解析式得
解得
答：所求二次函数为y＝2x2-3x＋5
归纳：求二次函数的解析式y=ax2+bx+c，需要确定a、b、c的值.
由已知条件（如二次函数图象上三个点的坐标）列出关于a、b、c的三元一次方程组，求出a、b、c的值，就可以写出二次函数的解析式.
环节四：课堂练习
1. 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．（用顶点公式）
(1)y＝3x2＋2x；
(2)y＝－x2－2x ；
(3)y＝－2x2＋8x－8
(4)y＝0.5x2－4x+3
(1)开口向上，对称轴是x=，顶点坐标是
（，）
(2)开口向下，对称轴是x=-1，顶点坐标是（-1，1）
(3)开口向下，对称轴是x=2，顶点坐标是（2，0）
(4)开口向上，对称轴是x=4，顶点坐标是（4，-5）
2.二次函数y＝ax2＋4x＋a的最大值是3，则a＝-1
3.二次函数y＝mx2＋2mx＋3(m＞0)的图象的对称轴x=-1.
4.抛物线y＝ax2＋2x＋c的顶点是(－1，2)，则a=1，c=-3.
5. (1)已知函数y=2(x+1)2+1，当x<-1时，y随x增大而减小，当x>-1时，y随x增大而增大 ；
(2)已知函数y=-2x2+x-4，当x<时，y随x增大而增大，当x>时，y随x增大而减小.
6. 一个二次函数的图象经过(0,0)、(-1,-1)、(1,9)三点，求这个二次函数的解析式.
解：设所求二次函数为y=ax2+bx+c，
将(0,0)、(-1,-1)、(1,9)代入解析式得
解得
答：所求二次函数为y＝4x2+5x.
通过配方法将二次函数一般式转变为顶点式，并探究其性质.
通过环节一的练习，总结规律，找出y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴.
学会用三点坐标求二次函数解析式的一般式.
学生练习、板演解题过程，师生互评，进行订正.
会用配方法求二次函数一般式y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴.
从具体问题到一般规律获得二次函数y =a x2的性质.
引导学生学会总结规律
学会运用待定系数法求二次函数解析式.
培养学生运用数学知识解决问题的能力和对知识的应用意识.
y=ax2的图象和性质
课堂小结
抛物线
图象
开口方向
性质
对称轴
顶点
增减性
解析式
师生共同梳理本节课的知识点.
强化本节课的知识点.
板书
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
图象：抛物线
性质：开口方向
对称轴
顶点
增减性
对称性
解析式（一般式、顶点式）：待定系数法
例1 练习
教师展示本节课的内容.
展示本节课的内容.