江苏省连云港市东海县2020-2021学年九年级上学期期末数学试卷 解析版

这是一份苏科版九年级上册本册综合巩固练习，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．方程x2＝x的解是（ ）
A．x1＝3，x2＝﹣3B．x1＝1，x2＝0C．x1＝1，x2＝﹣1D．x1＝3，x2＝﹣1
2．已知⊙O的半径为4，点P在⊙O外，OP的长可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．在一次田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如表所示：
这些运动员跳高成绩的中位数是（ ）
A．1.65B．1.70C．4D．3
4．把抛物线y＝﹣x2向右平移1个单位所得的新抛物线的函数表达式是（ ）
A．y＝﹣x2+1B．y＝﹣x2﹣1C．y＝﹣（x﹣1）2D．y＝﹣（x+1）2
5．如图，是由半圆和长方形拼成一个转盘，其中点O是半圆的圆心，半圆的直径与长方形的宽相等，直径和过点O的长方形长边的平行线，把转盘分成4个部分，若任意转动指针，指针停止的位置是等可能的，则指针指向阴影部分的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．因长方形的长没有告知，所以概率不确定
6．如图，A、B、C是⊙O上的三个点，若∠C＝35°，则∠OAB的度数是（ ）
A．35°B．55°C．65°D．70°
7．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干、小分支的总数是91．设每个支干长出x个分支，则可列方程为（ ）
A．x2+x+1＝91B．（x+1）2＝91C．x2+x＝91D．x2+1＝91
8．如图，现要在抛物线y＝x（4﹣x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，四人的说法如下，
甲：若b＝﹣1，则点P的个数为3；乙：若b＝0，则点P的个数为1；丙：若b＝4，则点P的个数为1；丁：若b＝5，则点P的个数为0．
其中说法正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．若抛物线y＝（a﹣1）x2开口向上，则a的取值范围是
10．如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取1个数，那么取到的数恰好是3的倍数的概率是 ．
11．计算一组数据的方差时，小明列了一个算式：S2＝[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+…+（x10﹣3）2]，则这组数据的平均数是 ．
12．若二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是 ．
13．用一个半径为10cm半圆纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的高为 ．
14．如图是一座截面图为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面l为4米，则当水面下降2米时，水面宽度增加 米．
15．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣6）（0≤x≤6），记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3，过抛物线C1，C3顶点的直线与C1、C2、C3围成的如图中的阴影部分，那么该阴影部分的面积为 ．
16．已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5（1≤a＜），当3≤x≤4时，对应的y的整数值有 个．
三、解答题（本题共10小题，共102分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解下列方程：
（1）2x2+6x+3＝0；
（2）（x+2）2＝3（x+2）．
18．已知x＝2时，二次三项式x2﹣2mx+4的值等于4．
（1）x为何值时，这个二次三项式的值为3；
（2）是否存在x的值，使得这个二次三项式的值为﹣1？说明理由．
19．已知二次函数y＝x2﹣6x+5．
（1）在如图所示的网格中画出这个二次函数的图象；
（2）当x满足 时，y随的增大而减小；
（3）当0≤x≤6时，函数y的取值范围是 ；
（4）当y≥0时，自变量x的取值范围是 ．
20．近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查，调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他．该小组随机对某超市一周内某些时段购买者的支付方式进行调查统计，得到两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了 名购买者；
（2）在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为 度；
（3）若该超市这一周内有1600名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？
21．某校合唱团为了开展线上“同唱一首赞歌”活动，需招收新成员，小东、小海、小富、小美四名同学报名参加了应聘活动，其中小东、小海来自八年级，小富、小美来自九年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试．
（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小东同学的概率为 ；
（2）若随机抽取两名同学，请用画树状图或列表法求两名同学均来自九年级的概率．
22．在下列正方形网格中，点A是⊙O上一点（点A和圆心O均为格点）．
（1）在图①中不过点A画⊙O的3条弦（要求弦的端点均为格点），使这3条弦与⊙O组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；
（2）在图②中不过点A画⊙O的3条弦（要求弦的端点均为格点），使这3条弦与⊙O组成的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形；
（3）在图③中不过点A画⊙O的5条弦（要求弦的端点均为格点），使这5条弦与⊙O组成的图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．
23．如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，以O为圆心，以OA的长为半径作⊙O，交AB于点D，交OB于点E，过点B和点O分别作OA、AB的平行线，交于点C，连接CD．
（1）若∠OAB＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积；
（2）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
24．某超市销售一种时尚玩具，进价为每件10元，售价为每件12元时，当天的销售量为200件，在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少10件．设当天销售单价统一为每件x元（x≥12，且是按着0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若当天销售利润为640元，求当天的销售单价；
（3）若每件玩具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件玩具的售价应为多少元？并求出最大利润．
25．如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0）．
（1）求抛物线的函数关系式．
（2）如图1，点C是抛物线在第四象限内图象上的一点，过点C作CP⊥y轴，P为垂足，求CP+OP的最大值；
（3）如图2，设抛物线的顶点为点D，点N的坐标为（﹣2，﹣16），问在抛物线的对称轴上是否存在点M，使线段MN绕点M顺时针旋转90°得到线段MN'，且点N'恰好落在抛物线上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
26．思考发现：
（1）如图1，点A和点B均在⊙O上，且∠AOB＝60°，点P和点Q均在射线AM上，若∠APB＝30°，则点P与⊙O的位置关系是 ；若∠AQB＞30°，则点Q与⊙O的位置关系是 ．
问题解决：
如图2，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠DAB＝135°，且AB＝2，AD＝4．
（2）若点P是BC边上任意一点，且∠APD＝45°，求BP的长；
（3）如图3，以B为圆心，BC为半径作弧，交BA的延长线于点E，若点Q为弧EC上的动点，过点Q作QH⊥BC于点H，设点I为△BQH的内心，连接BI，QI，当点Q从点C运动到点E时，则内心I所经过的路径长为 ．（直接填空）
2020-2021学年江苏省连云港市东海县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．方程x2＝x的解是（ ）
A．x1＝3，x2＝﹣3B．x1＝1，x2＝0C．x1＝1，x2＝﹣1D．x1＝3，x2＝﹣1
【分析】方程变形后分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：方程变形得：x2﹣x＝0，
分解因式得：x（x﹣1）＝0，
可得x＝0或x﹣1＝0，
解得：x1＝1，x2＝0．
故选：B．
2．已知⊙O的半径为4，点P在⊙O外，OP的长可能是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据题意可以求得OP的取值范围，从而可以解答本题．
【解答】解：∵O的半径为4，点P在⊙O外，
∴OP＞4，
故选：D．
3．在一次田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如表所示：
这些运动员跳高成绩的中位数是（ ）
A．1.65B．1.70C．4D．3
【分析】根据表格中的数据和中位数的定义，可以得到这些运动员跳高成绩的中位数，本题得以解决．
【解答】解：由表格中的数据可知，成绩按照从小到大排列的第8个数据是1.70，
故这些运动员跳高成绩的中位数是1.70，
故选：B．
4．把抛物线y＝﹣x2向右平移1个单位所得的新抛物线的函数表达式是（ ）
A．y＝﹣x2+1B．y＝﹣x2﹣1C．y＝﹣（x﹣1）2D．y＝﹣（x+1）2
【分析】直接利用二次函数的平移规律，左加右减得出答案即可．
【解答】解：把抛物线y＝﹣x2向右平移1个单位所得的新抛物线的函数表达式是：y＝﹣（x﹣1）2．
故选：C．
5．如图，是由半圆和长方形拼成一个转盘，其中点O是半圆的圆心，半圆的直径与长方形的宽相等，直径和过点O的长方形长边的平行线，把转盘分成4个部分，若任意转动指针，指针停止的位置是等可能的，则指针指向阴影部分的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．因长方形的长没有告知，所以概率不确定
【分析】根据圆周角等于360°，结合几何概率的计算公式即可求解．
【解答】解：∵任意转动指针，指针停止的位置是等可能的，
∴指针指向阴影部分的概率是＝．
故选：A．
6．如图，A、B、C是⊙O上的三个点，若∠C＝35°，则∠OAB的度数是（ ）
A．35°B．55°C．65°D．70°
【分析】先根据圆周角定理求出∠AOB的度数，再由等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵∠AOB与∠C是同弧所对的圆心角与圆周角，
∴∠AOB＝2∠C＝2×35°＝70°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝＝＝55°．
故选：B．
7．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干、小分支的总数是91．设每个支干长出x个分支，则可列方程为（ ）
A．x2+x+1＝91B．（x+1）2＝91C．x2+x＝91D．x2+1＝91
【分析】由题意设每个支干长出x个小分支，因为主干长出x个（同样数目）支干，则又长出x2个小分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程．
【解答】解：设每个支干长出x个小分支，
根据题意列方程得：x2+x+1＝91．
故选：A．
8．如图，现要在抛物线y＝x（4﹣x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，四人的说法如下，
甲：若b＝﹣1，则点P的个数为3；乙：若b＝0，则点P的个数为1；丙：若b＝4，则点P的个数为1；丁：若b＝5，则点P的个数为0．
其中说法正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【分析】把P点的坐标代入函数的解析式，再根据根的判别式逐个判断即可．
【解答】解：甲：当b＝﹣1时，（4﹣a）＝﹣1，
整理得：a2﹣4a﹣1＝0，
△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣1）＝20＞0，
方程有两个不相等的实数根，
即此时点P的个数为2，故甲的说法错误；
乙：当b＝0时，a（4﹣a）＝0，
解得：a＝0或4，
即此时点P的个数为2，故乙的说法错误；
丙：当b＝4时，a（4﹣a）＝4，
整理得：a2﹣4a+4＝0，
△＝（﹣4）2﹣4×1×4＝0，
方程有两个相等的实数根，
即此时点P的个数为1，故丙的说法正确；
丁：当b＝5时，a（4﹣a）＝5，
整理得：a2﹣4a+5＝0，
△＝（﹣4）2﹣4×1×5＝﹣4＜0，
方程没有实数根，
即此时点P的个数为0，故丁的说法正确；
所以正确的个数是2个，
故选：C．
二．填空题（共8小题）
9．若抛物线y＝（a﹣1）x2开口向上，则a的取值范围是 a＞1
【分析】利用二次函数图象与系数的关系得到a﹣1＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵抛物线y＝（a﹣1）x2开口向上，
∴a﹣1＞0，
∴a＞1，
即a的取值范围是a＞1．
故答案为a＞1．
10．如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取1个数，那么取到的数恰好是3的倍数的概率是 ．
【分析】直接利用概率公式计算得出答案．
【解答】解：∵从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取1个数，取到的数恰好是3的倍数有3，6，9，
∴取到的数恰好是3的倍数的概率是：．
故答案为：．
11．计算一组数据的方差时，小明列了一个算式：S2＝[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+…+（x10﹣3）2]，则这组数据的平均数是 3 ．
【分析】根据方差的计算公式即可得出答案．
【解答】解：∵S2＝[（x1﹣3）2+（x2﹣3）2+…+（x10﹣3）2]，
∴这组数据的平均数是3，
故答案为：3．
12．若二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围是 k＞﹣1 ．
【分析】根据二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，可知判别式△＞0，列出不等式并解之即可求出k的取值范围．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴有两个交点，
∴△＝4﹣4×（﹣1）•k＞0，
解得：k＞﹣1，
故答案为：k＞﹣1．
13．用一个半径为10cm半圆纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥的高为 5cm ．
【分析】易得圆锥的母线长为10cm，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以2π即为圆锥的底面半径，进而利用勾股定理即可求得圆锥的高．
【解答】解：圆锥的侧面展开图的弧长为2π×10÷2＝10π（cm），
∴圆锥的底面半径为10π÷2π＝5（cm），
∴圆锥的高为：＝5（cm）．
故答案是：5cm．
14．如图是一座截面图为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面2米高时，水面l为4米，则当水面下降2米时，水面宽度增加 （4﹣4） 米．
【分析】建立平面直角坐标系，根据题意设出抛物线的解析式，利用待定系数法求出解析式，根据题意计算可得结果．
【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示：
则抛物线顶点C的坐标为（0，2），
设抛物线的解析式为y＝ax2+2，
将A点坐标（﹣2，0）代入，可得：0＝4a+2，
解得：a＝﹣，
故抛物线的解析式为y＝﹣x2+2，
当水面下降2米，即当y＝﹣2时，求对应的抛物线上两点之间的距离，
也就是直线y＝﹣2与抛物线相交的两点之间的距离，
将y＝﹣2代入抛物线解析式得出：﹣2＝﹣x2+2，
解得：x＝±2，
所以水面宽度为4米，
故水面宽度增加了（4﹣4）米，
故答案为：4﹣4．
15．如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣6）（0≤x≤6），记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3，过抛物线C1，C3顶点的直线与C1、C2、C3围成的如图中的阴影部分，那么该阴影部分的面积为 108 ．
【分析】根据题意和函数解析式，可以求得y＝﹣x（x﹣6）与x轴的交点坐标、顶点坐标，再根据图形可知阴影部分的面积等于矩形C1DEC3的面积，然后计算即可．
【解答】解：∵y＝﹣x（x﹣6）＝﹣（x﹣3）2+9，
∴点O的坐标为（0，0），点A1的坐标为（6，0），顶点坐标为（3，9），
由已知可得，阴影部分的面积等于矩形C1DEC3的面积，
∵矩形C1DEC3的面积是：（6×2）×9＝12×9＝108，
∴阴影部分的面积是108，
故答案为：108．
16．已知二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5（1≤a＜），当3≤x≤4时，对应的y的整数值有 3 个．
【分析】由二次函数的性质根据题意得到﹣3a﹣5≤y＜﹣5，因为1≤a＜，即可得到y的值为﹣8，﹣7，﹣6共3个．
【解答】解：∵y＝ax2﹣4ax﹣5，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，
∵1≤a＜，
∴开口向上，
∵2＜3≤x≤4，
∴对应的y：﹣3a﹣5≤y＜﹣5，
∵1≤a＜，
∴y的值为﹣8，﹣7，﹣6，
故答案为3．
三．解答题
17．解下列方程：
（1）2x2+6x+3＝0；
（2）（x+2）2＝3（x+2）．
【分析】（1）利用配方法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）∵2x2+6x+3＝0，
∴2x2+6x＝﹣3，
则x2+3x＝﹣，
∴x2+3x+＝﹣+，即（x+）2＝，
则x+＝±，
∴x1＝，x2＝；
（2）∵（x+2）2﹣3（x+2）＝0，
∴（x+2）（x﹣1）＝0，
则x+2＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝1．
18．已知x＝2时，二次三项式x2﹣2mx+4的值等于4．
（1）x为何值时，这个二次三项式的值为3；
（2）是否存在x的值，使得这个二次三项式的值为﹣1？说明理由．
【分析】（1）令代数式的值为4，求出m的值，进而求出所求；
（2）令二次三项式为﹣1，利用根的判别式判断即可．
【解答】解：（1）当x＝2时，x2﹣2mx+4＝4，即4﹣4m+4＝4，
解得：m＝1，即二次三项式为x2﹣2x+4，
令x2﹣2x+4＝3，
解得：x1＝x2＝1；
（2）不存在，理由为：
令x2﹣2x+4＝﹣1，即x2﹣2x+5＝0，
∵b2﹣4ac＝4﹣20＝﹣16＜0，
∴方程无解，
则不存在x的值，使得这个二次三项式的值为﹣1．
19．已知二次函数y＝x2﹣6x+5．
（1）在如图所示的网格中画出这个二次函数的图象；
（2）当x满足 x＜3 时，y随的增大而减小；
（3）当0≤x≤6时，函数y的取值范围是 ﹣4≤y≤5 ；
（4）当y≥0时，自变量x的取值范围是 x≤1或x≥5 ．
【分析】（1）根据题目中的函数解析式，可以画出相应的函数图象；
（2）根据函数图象，可以写出y随的增大而减小时x的取值范围；
（3）根据函数图象，可以写出当0≤x≤6时，函数y的取值范围；
（4）根据函数图象，可以写出当y≥0时，自变量x的取值范围．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4＝（x﹣1）（x﹣5），
∴该函数的顶点坐标为（3，﹣4），与x轴的交点坐标为（1，0），（5，0），过点（0，5）、（6，5），
函数图象如右图所示；
（2）由图象可得，
当x＜3时，y随x的增大而减小，
故答案为：x＜3；
（3）由图象可得，
当0≤x≤6时，函数y的取值范围是﹣4≤y≤5，
故答案为：﹣4≤y≤5；
（4）由图象可得，
当y≥0时，自变量x的取值范围是x≤1或x≥5，
故答案为：x≤1或x≥5．
20．近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查，调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他．该小组随机对某超市一周内某些时段购买者的支付方式进行调查统计，得到两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次一共调查了 200 名购买者；
（2）在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为 108 度；
（3）若该超市这一周内有1600名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？
【分析】（1）根据B的数量和所占的百分比可以求得本次调查的购买者的人数；
（2）先根据统计图中的数据可以求得选择A和D的人数，再由A种支付方式所对应的圆心角的度数＝360°×所占比例可得答案；
（3）利用样本估计总体的方法可得计算出使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名．
【解答】解：（1）本次调查购买者人数为：56÷28%＝200（人），
故答案为：200；
（2）D方式支付的有：200×20%＝40（人），
A方式支付的有：200﹣56﹣44﹣40＝60（人），
所以在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为：360°×＝108°，
故答案为：108；
（3）1600×＝928（名），
答：使用A和B两种支付方式的购买者共有928名．
21．某校合唱团为了开展线上“同唱一首赞歌”活动，需招收新成员，小东、小海、小富、小美四名同学报名参加了应聘活动，其中小东、小海来自八年级，小富、小美来自九年级，现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试．
（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小东同学的概率为 ；
（2）若随机抽取两名同学，请用画树状图或列表法求两名同学均来自九年级的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）先画树状图列出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解即可得出答案．
【解答】解：（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小东同学的概率为，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
总共有12种可能结果，其中两名均来自九年级的结果有2种，
所以．
22．在下列正方形网格中，点A是⊙O上一点（点A和圆心O均为格点）．
（1）在图①中不过点A画⊙O的3条弦（要求弦的端点均为格点），使这3条弦与⊙O组成的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形；
（2）在图②中不过点A画⊙O的3条弦（要求弦的端点均为格点），使这3条弦与⊙O组成的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形；
（3）在图③中不过点A画⊙O的5条弦（要求弦的端点均为格点），使这5条弦与⊙O组成的图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．
【分析】（1）利用轴对称图形的意义得出答案即可；
（2）利用中心对称图形的意义得出答案即可；
（3）利用轴对称图形的意义及中心对称图形的意义得出答案即可．
【解答】解：（1）如图1是轴对称图形，但不是中心对称图形；答案不唯一．
．
（2）如图2是中心对称图形，但不是轴对称图形；答案不唯一．
．
（3）如图3既是中心对称图形，又是轴对称图形；答案不唯一．
．
23．如图，在Rt△OAB中，∠AOB＝90°，以O为圆心，以OA的长为半径作⊙O，交AB于点D，交OB于点E，过点B和点O分别作OA、AB的平行线，交于点C，连接CD．
（1）若∠OAB＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积；
（2）试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
【分析】（1）连接OD，由已知条件求得OB＝2，进而求出S△OAB＝2，根据等腰三角形的判定定理和等边三角形的判定定理证得DB＝DO＝DA，可得S△ODB＝S△OAB＝，由扇形的面积公式求得S扇形ODE＝，根据阴影部分面积为S△ODB﹣S扇形ODE即可求得结论；
（2）由已知得到四边形OABC是平行四边形，且∠COB＝∠ABO，根据平行四边形的性质得到AB＝OC，根据三角形的外角定理和角的和差得到∠A＝∠COD，根据全等三角形的判定证得△ABO≌△OCD，根据全等三角形的性质得到∠ODC＝∠AOB＝90°，由圆的切线的判定定理即可证得结论．
【解答】解：（1）在Rt△OAB中，连接OD，
∵∠AOB＝90°，∠OAB＝60°，OA＝2，
∴AB＝4，∠ABO＝30°，
∴OB＝＝＝2，
∴S△OAB＝×2×2＝2，
∵OA＝OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，DO＝DA，
∴∠DOE＝30°，
∴∠ABO＝∠DOE，
∴DB＝DO＝DA，
∴S△ODB＝S△OAB＝，
∴S扇形ODE＝＝，
∴阴影部分面积为S△ODB﹣S扇形ODE＝；
（2）CD与⊙O相切．
理由如下：
∵AB∥OC，AO∥BC，
∴四边形OABC是平行四边形，且∠COB＝∠ABO，
∴AB＝OC，
∵∠ADO＝∠ABO+∠BOD，∠COD＝∠COB+∠BOD，
∴∠ADO＝∠COD，
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO，
∴∠A＝∠COD，
在△ABO和△OCD中，
，
∴△ABO≌△OCD（SAS），
∴∠ODC＝∠AOB＝90°，
又∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
24．某超市销售一种时尚玩具，进价为每件10元，售价为每件12元时，当天的销售量为200件，在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少10件．设当天销售单价统一为每件x元（x≥12，且是按着0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y元．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）若当天销售利润为640元，求当天的销售单价；
（3）若每件玩具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件玩具的售价应为多少元？并求出最大利润．
【分析】（1）根据总利润＝单件利润×总销量，化简即可得到解析式；
（2）根据（1）中的式子，令y＝640，求出相应的x；
（3）根据利润的范围以及二次函数解析式求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：y＝（x﹣10）[200﹣（x﹣12）÷0.5]
＝20x2+640x﹣4400，
故答案为：y与x的函数关系式为：y＝20x2+640x﹣4400；（2）由题意得：﹣20x2+640x﹣4400＝640 解得：x1＝14，x2＝18，
答：当天的销售单价为14元或18元．
（3）每件利润不超过80%，
∴x﹣10≤10×80%，得x≤18，
∴文具的售价为：12≤x≤18，
∴y＝﹣20x2+640x﹣4400＝﹣20（x﹣16）2+720，
∴当x＝16时，y有最大值720元，
所以当x＝16时，y有最大值720元．
答：当每件售价为16元时，当天利润最大．
25．如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）、B（6，0）．
（1）求抛物线的函数关系式．
（2）如图1，点C是抛物线在第四象限内图象上的一点，过点C作CP⊥y轴，P为垂足，求CP+OP的最大值；
（3）如图2，设抛物线的顶点为点D，点N的坐标为（﹣2，﹣16），问在抛物线的对称轴上是否存在点M，使线段MN绕点M顺时针旋转90°得到线段MN'，且点N'恰好落在抛物线上？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A．B两点坐标代入抛物线的解析式，解方程组可得结论．
（2）设点C坐标为（a，a2﹣4a﹣12），根据二次函数，利用二次函数的性质求解即可．
（3）分两种情形：如图2﹣1中，当点M在D点下方时，当点M在D点上方时，如图2﹣2中，分别求出点N′的坐标，利用待定系数法求解即可．
【解答】解：（1）由题意得，
解得，
所以函数关系式为y＝x2﹣4x﹣12．
（2）设点C坐标为（a，a2﹣4a﹣12），
则，
∵﹣1＜0，
∴当a＝时，CP+OP有最大值，最大值为．
（3）如图2﹣1中，当点M在D点下方时，
根据抛物线函数关系式可知D（2，﹣16），
过点M作x轴平行线，分别过点N、N'，向所画直线作垂线，分别交于E、F，可得△ENM≌△FMN'，
设点M（2，m），EM＝FN'＝4，EN＝DM＝MF＝﹣16﹣m，则N'坐标为（﹣14﹣m，4+m），
代入抛物线函数关系式解得4+m＝（﹣14﹣m）2﹣4（﹣14﹣m）﹣12，
解得：（舍去），．
当点M在D点上方时，如图2﹣2中，同法可得，（舍去），
综上可知或．
26．思考发现：
（1）如图1，点A和点B均在⊙O上，且∠AOB＝60°，点P和点Q均在射线AM上，若∠APB＝30°，则点P与⊙O的位置关系是 在圆上 ；若∠AQB＞30°，则点Q与⊙O的位置关系是 在圆内 ．
问题解决：
如图2，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠DAB＝135°，且AB＝2，AD＝4．
（2）若点P是BC边上任意一点，且∠APD＝45°，求BP的长；
（3）如图3，以B为圆心，BC为半径作弧，交BA的延长线于点E，若点Q为弧EC上的动点，过点Q作QH⊥BC于点H，设点I为△BQH的内心，连接BI，QI，当点Q从点C运动到点E时，则内心I所经过的路径长为 π ．（直接填空）
【分析】（1）根据点Y2圆的位置关系判断即可．
（2）过点D作DE垂直于BC交于点E，过点A作AF垂直于DE．以点F为圆心，DF为半径作圆，交BC于点P，连接AP，PD，则∠APD＝∠AFD＝45°，分两种情形分别求解即可．
（3）如图3中，连接IC，以BC为斜边，向下作等腰直角三角形△BCT，证明∠BIC＝∠BIQ＝135°，推出点I在△BCT的外接圆上运动，利用弧长公式求解即可．
【解答】解：（1）如图1中，
∵∠APB＝30°，∠AOB＝60°，
∴∠APB＝∠AOB，
∴点P在⊙O上，
当∠AQB＞30°，时 点Q在⊙O内部，
故答案为：在圆上，在圆内．
（2）过点D作DE垂直于BC交于点E，过点A作AF垂直于DE．
∵∠AFE＝∠FEB＝∠B＝90°，
∴四边形ABEF是矩形，
∴∠BAF＝90°，
∵∠BAD＝135°，
∴∠DAF＝135°﹣90°＝45°，
∵∠AFD＝90°，
∴∠FAD＝∠FDA＝45°，
∴FA＝FD，
以点F为圆心，DF为半径作圆，交BC于点P，连接AP，PD，则∠APD＝∠AFD＝45°，
当点P在E点右侧时，∵∠DAF＝45°，AB＝FE＝2，，
∴FP＝FA＝4，
∴EP＝＝＝2，即．
当点P在E点左侧时，．
（3）如图3中，连接IC，以BC为斜边，向下作等腰直角三角形△BCT，
∵BQ＝BC，∠QBI＝∠CBI，BI＝BI，
∴∠∠BIQ＝∠BIC，
∵I是△BHQ的内心，∠BHQ＝90°，
∴∠BIQ＝180°﹣×90°＝135°，
∴∠BIC＝∠BIQ＝135°，
∴点I在△BCT的外接圆上运动，
由（2）可知BC＝BE+EC＝4+6＝10，
∴BT＝TC＝×10＝5，
∴点I的运动路径的长＝＝．
故答案为：π．
成绩（m）
1.50
1.55
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
人数
1
1
1
4
3
3
2
成绩（m）
1.50
1.55
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
人数
1
1
1
4
3
3
2