2020-2021学年河南省信阳市新县八年级（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年河南省信阳市新县八年级（下）期末数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．5，12，13B．1，2，C．1，，2D．4，5，6
3．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）都在直线y＝﹣2x+2上，则y1、y2的大小关系是（ ）
A．y1＝y2B．y1＜y2C．y1＞y2D．y1≥y2
4．（3分）下面给出了四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．1：2：3：4B．2：2：3：3C．2；3：2：3D．2：3：3：2
5．（3分）“龟兔赛跑”这则寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先，但它因为骄傲在途中睡觉，而乌龟一直坚持爬行最终赢得比赛，下列函数图象可以体现这一故事过程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（3分）实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（ ）
A．2a+bB．﹣2a+bC．bD．2a﹣b
7．（3分）如图，菱形ABCD中，AB＝4，E、F分别是AB、BC的中点，P是AC上一动点，则PF+PE的最小值是（ ）
A．3B．C．4D．
8．（3分）如图，正方形ABCD的边长为3，将正方形折叠，使点A落在边CD上的点A′处，点B落在点B′处，折痕为EF．若A'C＝2，则DF的长是（ ）
A．1B．C．D．2
9．（3分）如图，直线y1＝mx经过P（2，1）和Q（﹣4，﹣2）两点，且与直线y2＝kx+b交于点P，则不等式kx+b＞mx的解集为（ ）
A．x＞2B．x＜2C．x＞﹣4D．x＜﹣4
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S9的值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
11．（3分）直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为7cm2，8cm2，则以斜边为边长的正方形的面积为 cm2．
12．（3分）已知|2019﹣a|+＝a，求a﹣20192的值是 ．
13．（3分）如图，正方形ABCD的对角线长为8，E为AB上一点，若EF⊥AC于点F，EG⊥BD于点G，则EF+EG＝ ．
14．（3分）直线y＝2x﹣1沿y轴平移3个单位，则平移后直线与y轴的交点坐标为 ．
15．（3分）如图，长方形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm．点E是BC边上一点，连接AE并将△AEB沿AE折叠，得到△AEB′，以C，E，B′为顶点的三角形是直角三角形时，BE的长为 cm．
三、解答题。（本大题共8小题，共75分）
16．（8分）计算．
（1）；
（2）．
17．（8分）先化简，后求值：（1﹣）÷，其中a＝+1．
18．（9分）如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，求调整后的楼梯AC的长．
19．（9分）如图，在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE，
（1）求证：四边形BECF是菱形；
（2）若四边形BECF为正方形，求∠A的度数．
20．（10分）先阅读解题过程，再回答后面的问题．
如果m、n是正整数，且和在二次根式的加减法中可以合并成一项，求m、n的值．
解：∵和可以合并，
∴，即，解得．
∵m、n是正整数，
∴此题无解．
问：（1）以上解法是否正确？如果不正确，错在哪里？
（2）给出正确的解答过程．
21．（10分）正比例函数与一次函数的图象如图所示，其中交点坐标为A（4，3），B为一次函数与y轴交点，且OA＝2OB．
（1）求正比例函数与一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
22．（10分）如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．
（1）如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；
（2）如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．
23．（11分）某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）个羽毛球，供社区居民免费借用，该社区附近A，B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销活动：
A超市：所有商品均打九折（按标价的90%销售）；
B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．
设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB（元）．请解答下列问题：
（1）分别写出yA，yB与x之间的关系式；
（2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？
2020-2021学年河南省信阳市新县八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）下列是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝2，故A不是最简二次根式；
（C）原式＝，故C不是最简二次根式；
（D）当m≥0时，原式＝m，
当m＜0时，原式无意义，故D不是最简二次根式；
故选：B．
2．（3分）以下列各组数为边长，不能构成直角三角形的是（ ）
A．5，12，13B．1，2，C．1，，2D．4，5，6
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、∵52+122＝132，∴能构成直角三角形，故本选项错误；
B、∵12+22＝（）2，∴能构成直角三角形，故本选项错误；
C、∵12+（）2＝22，∴能构成直角三角形，故本选项错误；
D、∵52+42≠62，∴不能构成直角三角形，故本选项正确．
故选：D．
3．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（1，y2）都在直线y＝﹣2x+2上，则y1、y2的大小关系是（ ）
A．y1＝y2B．y1＜y2C．y1＞y2D．y1≥y2
【分析】先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据﹣2＜1即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x+2中，k＝﹣2＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵﹣2＜1，
∴y1＞y2．
故选：C．
4．（3分）下面给出了四边形ABCD中∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．1：2：3：4B．2：2：3：3C．2；3：2：3D．2：3：3：2
【分析】根据题意可得出∠A与∠C是对角，故∠A＝∠C，据此可得出结论．
【解答】解：∵∠A与∠C是对角，
∴∠A＝∠C，
∴C符合题意．
故选：C．
5．（3分）“龟兔赛跑”这则寓言故事讲述的是比赛中兔子开始领先，但它因为骄傲在途中睡觉，而乌龟一直坚持爬行最终赢得比赛，下列函数图象可以体现这一故事过程的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据兔子的路程在一段时间内保持不变、乌龟比兔子所用时间少逐一判断即可得．
【解答】解：由于兔子在途中睡觉，所以兔子的路程在一段时间内保持不变，而且乌龟是在兔子睡醒后才到达终点的，所以D选项错误；
因为乌龟最终赢得比赛，即乌龟比兔子所用时间少，所以A、C均错误；
故选：B．
6．（3分）实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（ ）
A．2a+bB．﹣2a+bC．bD．2a﹣b
【分析】现根据数轴可知a＜0，b＞0，而|a|＞|b|，那么可知a+b＜0，再结合二次根式的性质、绝对值的计算进行化简计算即可．
【解答】解：根据数轴可知，a＜0，b＞0，
则a+b＜0，
原式＝﹣a﹣[﹣（a+b）]＝﹣a+a+b＝b．
故选：C．
7．（3分）如图，菱形ABCD中，AB＝4，E、F分别是AB、BC的中点，P是AC上一动点，则PF+PE的最小值是（ ）
A．3B．C．4D．
【分析】先根据菱形的性质求出其边长，再作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF的最小值，再根据菱形的性质求出E′F的长度即可
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴直线AC是菱形的对称轴，
作E关于AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为PE+PF的最小值，
∵AC是∠DAB的平分线，E是AB的中点，
∴E′在AD上，且E′是AD的中点，
∵AD＝AB，
∴AE＝AE′，
∵F是BC的中点，
∴E′F＝AB＝4．
∴PE+PF的最小值为4，
故选：C．
8．（3分）如图，正方形ABCD的边长为3，将正方形折叠，使点A落在边CD上的点A′处，点B落在点B′处，折痕为EF．若A'C＝2，则DF的长是（ ）
A．1B．C．D．2
【分析】由正方形的性质得出AD＝CD＝3，∠D＝90°，由折叠的性质得出AF＝A′F，设DF＝x，则AF＝A′F＝3﹣x，DA′＝CD﹣A′C＝1，在Rt△FDA′中，A′F2＝DF2+DA′2，即（3﹣x）2＝x2+12，解方程即可得出结果．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝3，∠D＝90°，
由折叠可得：AF＝A′F，
设DF＝x，则AF＝A′F＝3﹣x，
DA′＝CD﹣A′C＝1，
在Rt△FDA′中，A′F2＝DF2+DA′2，
即（3﹣x）2＝x2+12，
解得：x＝，
∴DF＝，
故选：B．
9．（3分）如图，直线y1＝mx经过P（2，1）和Q（﹣4，﹣2）两点，且与直线y2＝kx+b交于点P，则不等式kx+b＞mx的解集为（ ）
A．x＞2B．x＜2C．x＞﹣4D．x＜﹣4
【分析】从图象确定kx+b＞mx时，x的取值范围即可．
【解答】解：从图象可以看出，当x＜2时，kx+b＞mx，
故选：B．
10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2，…按照此规律继续下去，则S9的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得出S2+S2＝S1，写出部分Sn的值，根据数的变化找出变化规律“Sn＝（）n﹣3”，依此规律即可得出结论．
【解答】解：在图中标上字母E，如图所示．
∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，
∴DE2+CE2＝CD2，DE＝CE，
∴S2+S2＝S1．
观察，发现规律：S1＝22＝4，S2＝S1＝2，S3＝S2＝1，S4＝S3＝，…，
∴Sn＝（）n﹣3．
当n＝9时，S9＝（）9﹣3＝（）6，
故选：A．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
11．（3分）直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为7cm2，8cm2，则以斜边为边长的正方形的面积为 15 cm2．
【分析】设直角三角形ABC的两直角边是a和b，斜边是c，由勾股定理得出a2+b2＝c2，求出以ab为边长的两个正方形的面积之和是a2+b2＝15cm2，以斜边c为边长的正方形的面积是S＝c2＝a2+b2，代入求出即可．
【解答】解：设直角三角形ABC的两直角边是a和b，斜边是c，
则由勾股定理得：a2+b2＝c2，
则分别以ab为边长的两个正方形的面积之和是a2+b2＝7cm2+8cm2＝15cm2，
以斜边c为边长的正方形的面积是S＝c2＝a2+b2＝15cm2，
故答案为：15．
12．（3分）已知|2019﹣a|+＝a，求a﹣20192的值是 2020 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件以及绝对值的性质即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：a≥2020，
∴2019﹣a＜0，
∴a﹣2019+＝a，
∴＝2019，
∴a﹣2020＝20192，
∴a﹣20192＝2020，
故答案为：2020
13．（3分）如图，正方形ABCD的对角线长为8，E为AB上一点，若EF⊥AC于点F，EG⊥BD于点G，则EF+EG＝ 4 ．
【分析】连接EO，可得S△ABO＝S△AEO+S△BEO，再把AO＝BO＝4代入可求EF+EG的值．
【解答】解：连接EO
∵ABCD为正方形
∴AC⊥BD，AO＝BO＝CO＝DO且AC＝BD＝8
∴AO＝CO＝BO＝4
∵S△ABO＝S△AEO+S△BEO
∴+
∴EF+EG＝4
故答案为4．
14．（3分）直线y＝2x﹣1沿y轴平移3个单位，则平移后直线与y轴的交点坐标为 （0，2）或（0，﹣4） ．
【分析】由直线y＝2x﹣1沿y轴平移3个单位可得y＝2x﹣1+3或y＝2x﹣1﹣3，然后再根据一次函数y＝kx+b与y轴交点为（0，b）可得答案．
【解答】解：直线y＝2x﹣1沿y轴平移3个单位可得y＝2x﹣1+3或y＝2x﹣1﹣3，
即y＝2x+2或y＝2x﹣4，
则平移后直线与y轴的交点坐标为：（0，2）或（0，﹣4）．
故答案为：（0，2）或（0，﹣4）．
15．（3分）如图，长方形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm．点E是BC边上一点，连接AE并将△AEB沿AE折叠，得到△AEB′，以C，E，B′为顶点的三角形是直角三角形时，BE的长为 3或6 cm．
【分析】分①∠B′EC＝90°时，根据翻折变换的性质求出∠AEB＝45°，然后判断出△ABE是等腰直角三角形，从而求出BE＝AB；②∠EB′C＝90°时，∠AB′E＝90°，判断出A、B′、C在同一直线上，利用勾股定理列式求出AC，再根据翻折变换的性质可得AB′＝AB，BE＝B′E，然后求出B′C，设BE＝B′E＝x，表示出EC，然后利用勾股定理列出方程求解即可．
【解答】解：①∠B′EC＝90°时，如图1，∠BEB′＝90°，
由翻折的性质得∠AEB＝∠AEB′＝×90°＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴BE＝AB＝6cm；
②∠EB′C＝90°时，如图2，
由翻折的性质∠AB′E＝∠B＝90°，
∴A、B′、C在同一直线上，
AB′＝AB，BE＝B′E，
由勾股定理得，AC＝＝＝10cm，
∴B′C＝10﹣6＝4cm，
设BE＝B′E＝x，则EC＝8﹣x，
在Rt△B′EC中，B′E2+B′C2＝EC2，
即x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3，
即BE＝3cm，
综上所述，BE的长为3或6cm．
故答案为：3或6．
三、解答题。（本大题共8小题，共75分）
16．（8分）计算．
（1）；
（2）．
【分析】（1）利用二次根式的乘法法则和完全平方公式计算，然后化简后合并即可；
（2）根据积的乘方得到原式＝[（4﹣）（4+）]2018，然后根据平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式＝2﹣﹣（3+2+1）
＝4﹣3﹣4﹣2
＝2﹣3﹣4；
（2）原式＝[（4﹣）（4+）]2018
＝（16﹣15）2018
＝1．
17．（8分）先化简，后求值：（1﹣）÷，其中a＝+1．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝•
＝，
当a＝+1时，
原式＝＝．
18．（9分）如图，长4m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，求调整后的楼梯AC的长．
【分析】先在Rt△ABD中利用正弦的定义计算出AD，然后在Rt△ACD中利用正弦的定义计算AC即可．
【解答】解：在Rt△ABD中，∵sin∠ABD＝，
∴AD＝4sin60°＝2（m），
在Rt△ACD中，∵sin∠ACD＝，
∴AC＝（m）．
19．（9分）如图，在四边形ABFC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且CF＝AE，
（1）求证：四边形BECF是菱形；
（2）若四边形BECF为正方形，求∠A的度数．
【分析】（1）根据中垂线的性质：中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE＝EC，BF＝FC，根据四边相等的四边形是菱形即可判断；
（2）正方形的性质知，对角线平分一组对角，即∠ABC＝45°，进而求出∠A＝45度．
【解答】（1）证明：∵EF垂直平分BC，
∴CF＝BF，BE＝CE，∠BDE＝90°，BD＝CD，
又∵∠ACB＝90°，
∴EF∥AC，
又∵D为BC中点，
∴E为AB中点，
即BE＝AE，
∵CF＝AE，
∴CF＝BE，
∴CF＝FB＝BE＝CE，
∴四边形BECF是菱形．
（2）解：∵四边形BECF是正方形，
∴∠CBA＝45°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A＝45°．
20．（10分）先阅读解题过程，再回答后面的问题．
如果m、n是正整数，且和在二次根式的加减法中可以合并成一项，求m、n的值．
解：∵和可以合并，
∴，即，解得．
∵m、n是正整数，
∴此题无解．
问：（1）以上解法是否正确？如果不正确，错在哪里？
（2）给出正确的解答过程．
【分析】（1）要知道，同类二次根式是化简后被开方数相同．
（2）先把转化为最简二次根式，然后再根据两个二根式能合并列出相应方程组进行求解即可．
【解答】解：（1）不正确，
原因是没有把转化为最简二次根式；
（2）正确解答过程如下：
∵，和可以合并，
∴，
解得：，
经检验m＝5，n＝2符合题意，
∴m＝5，n＝2．
21．（10分）正比例函数与一次函数的图象如图所示，其中交点坐标为A（4，3），B为一次函数与y轴交点，且OA＝2OB．
（1）求正比例函数与一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
【分析】（1）先把A（4，3）代入正比例函数y＝kx可求出k的值，再利用勾股定理计算出OA的长，则可得到OB的长，确定B点坐标，然后利用待定系数法确定直线AB的解析式；
（2）根据三角形的面积公式计算．
【解答】解：（1）设正比例函数为y＝kx，
把A（4，3）代入得3＝4k，解得k＝，
故正比例函数的解析式为y＝x；
又∵OA＝2OB，
而OA＝＝5，
∴OB＝，
∴B点坐标为（0，﹣），
设直线AB的解析式为：y＝mx﹣，
把A（4，3）代入得3＝4m﹣，
∴m＝，
∴一次函数解析式为y＝x﹣；
（2）S△AOB＝×OB×|xA|＝××4＝5．
22．（10分）如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．
（1）如图①，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并加以证明；
（2）如图②，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并证明你的猜想．
【分析】（1）结论：PB＝PQ，如图①中，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F．只要证明Rt△PQF≌Rt△PBE即可．
（2）结论不变，证明方法类似．
【解答】解：（1）结论：PB＝PQ，
理由：如图①中，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F．
∵P为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，
∴PF＝PE，
∴四边形PECF为正方形．
∵∠BPE+∠QPE＝90°，∠QPE+∠QPF＝90°，
∴∠BPE＝∠QPF，
在△PQF和△PBE中，
，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB＝PQ；
（2）结论：PB＝PQ．
理由：如图②，过P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F，
∵P为正方形对角线AC上的点，
∴PC平分∠DCB，∠DCB＝90°，
∴PF＝PE，
∴四边形PECF为正方形，
∵∠BPF+∠QPF＝90°，∠BPF+∠BPE＝90°，
∴∠BPE＝∠QPF，
在△PQF和△PBE中，
，
∴Rt△PQF≌Rt△PBE，
∴PB＝PQ．
23．（11分）某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）个羽毛球，供社区居民免费借用，该社区附近A，B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销活动：
A超市：所有商品均打九折（按标价的90%销售）；
B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．
设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB（元）．请解答下列问题：
（1）分别写出yA，yB与x之间的关系式；
（2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？
【分析】（1）根据购买费用＝单价×数量建立关系就可以表示出yA、yB的解析式；
（2）分三种情况进行讨论，当yA＝yB时，当yA＞yB时，当yA＜yB时，分别求出购买划算的方案；
【解答】解：（1）由题意，得yA＝（10×30+3×10x）×0.9＝27x+270；
yB＝10×30+3（10x﹣20）＝30x+240；
（2）当yA＝yB时，27x+270＝30x+240，得x＝10；
当yA＞yB时，27x+270＞30x+240，得x＜10；
当yA＜yB时，27x+270＜30x+240，得x＞10；
∴当2≤x＜10时，到B超市购买划算，当x＝10时，两家超市一样划算，当x＞10时在A超市购买划算．