第04讲 函数数形分析专题《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》

这是一份第04讲 函数数形分析专题《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》，共27页。
【例题1】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-2mx+m2-m+2的顶点为D．线段AB的两个端点分别为A（-3，m），B（1，m）．
（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）若该抛物线经过点B（1，m），求m的值；
（3）若线段AB与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m的取值范围.



第三问可简化为：∵当x=-3时，有y恒＞m，故只需当x=1时，y≤m即可。
不过解决本道题需要用到用数形结合法求解一元二次不等式的方法。










【例题2】（2019•贵阳）在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线y＝x+上，若抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是___________.

【解析】∵抛物线y＝ax2﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，
∴令x+＝ax2﹣x+1，则2ax2﹣3x+1＝0，∴△＝9﹣8a＞0，∴a＜
①当a＜0时，，解得：a≤﹣2，∴a≤﹣2
②当a＞0时，，解得：a≥1，∴1≤a＜
综上所述：1≤a＜或a≤﹣2

【例题3】如图示，二次函数y＝﹣x2+mx的图象与x轴交于坐标原点和（4，0），若关于x的方程x2﹣mx+t＝0（t为实数）在1＜x＜5的范围内有解，则t的取值范围是___________.

【分析】先利用抛物线的对称轴求出m得到抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，再计算出自变量为1和5对应的函数值，然后利用函数图象写出直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+4x在1≤x≤5时有公共点时t的范围即可．
【解析】∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝2，解得m＝4，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+4x，抛物线的顶点坐标为（2，4），
当x＝1时，y＝﹣x2+4x＝﹣1+4＝3；
当x＝5时，y＝﹣x2+4x＝﹣25+20＝﹣5，
当直线y＝t与抛物线y＝﹣x2+4x在1≤x≤5时有公共点时，﹣5≤t≤4，如图．
所以关于x的一元二次方程﹣x2+mx﹣t＝0（t为实数）在1≤x≤5的范围内有解，
t的取值范围为﹣5≤t≤4．
【例题4】抛物线y＝ax2﹣4ax+4（a≠0）与y轴交于点A．过点B（0，3）作y轴的垂线l，若抛物线y＝ax2﹣4ax+4（a≠0）与直线l有两个交点，设其中靠近y轴的交点的横坐标为m，且|m|＜1，则a的取值范围是　 　．
【分析】分a＞0和a＜0画出图形，求出a的值，由图象可得a的取值范围．
【解析】当a＞0时，临界位置如下图所示：

将点（1，3）代入抛物线解析式得：3＝a﹣4a+4．a＝．
当a＜0时，临界位置如右图所示：
将点（﹣1，3）代入抛物线解析式得：3＝a+4a+4．a＝．
∴a的取值范围为a或a．
故答案为：a或a．


【例题5】（2019•扬州）若反比例函数的图象上有两个不同的点关于轴的对称点都在一次函数的图象上，则的取值范围是_____________.
【解析】反比例函数的图象上有两个不同的点关于轴的对称点在反比例函数的图象上，
解方程组得，
的图象与一次函数有两个不同的交点，
方程有两个不同的实数根，
△，
或，



【例题6】将函数的图象位于轴下方的部分沿轴翻折至其上方，所得的折线是函数的图象，与直线的图象交点的横坐标均满足，则的取值范围为_________.
A． B． C． D．
【解析】如图，所得的折线的函数解析式为，
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即，；
把代入中，可得，
把代入中，可得，把，代入中，可得，
函数的图象与直线的图象交点的横坐标均满足，
，即，

【例题7】已知抛物线，其中是常数，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧）．给出下列4个结论：①不论为何值，该抛物线与轴一定有两个公共点；②不论为何值，该抛物线与轴一定交于正半轴；③抛物线上有一个动点，满足的点有3个时，则；④若时，则；其中，正确的结论个数是　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】，
△，不论为何值，该抛物线与轴一定有两个公共点，故①正确，
令，解得或，，，
时，点在轴的负半轴上，故②错误，
，顶点的纵坐标为，
抛物线上有一个动点，满足的点有3个时，
点是抛物线的顶点时满足条件，此时，故③正确，
时，，，，故④错误，故选：．

1．（2019•台湾）如图，坐标平面上有一顶点为A的抛物线，此抛物线与方程式y＝2的图形交于B、C两点，△ABC为正三角形．若A点坐标为（﹣3，0），则此抛物线与y轴的交点坐标为何？（　　）

A．（0，） B．（0，） C．（0，9） D．（0，19）
【解析】设B（﹣3﹣m，2），C（﹣3+m，2），（m＞0）
∵A点坐标为（﹣3，0），∴BC＝2m，
∵△ABC为正三角形，∴AC＝2m，∠DAO＝60°，
∴m＝，∴C（﹣3+，2），设抛物线解析式y＝a（x+3）2，a（﹣3++3）2＝2，
∴a＝，∴y＝（x+3）2，当x＝0时，y＝；故选：B．
2．（2019•江都区一模）已知二次函数y＝﹣x2+2x+3，截取该函数图象在0≤x≤4间的部分记为图象G，设经过点（0，t）且平行于x轴的直线为l，将图象G在直线l下方的部分沿直线l翻折，图象G在直线上方的部分不变，得到一个新函数的图象M，若函数M的最大值与最小值的差不大于5，则t的取值范围是（　　）
A．﹣1≤t≤0 B．﹣1≤t≤﹣ C．﹣ D．t≤﹣1或t≥0
【分析】找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则t的范围可知．
【解析】如图1所示，当t等于0时，

∵y＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点坐标为（1，4），
当x＝0时，y＝3，∴A（0，3），
当x＝4时，y＝﹣5，∴C（4，﹣5），
∴当t＝0时，D（4，5），
∴此时最大值为5，最小值为0；
如图2所示，当t＝﹣1时，此时最小值为﹣1，最大值为4．综上所述：﹣1≤t≤0，故选：A．
3．（2019秋•泗阳县期末）把抛物线y＝﹣2x2+4x+1的图象绕着其顶点旋转180°，所得抛物线函数关系式是（　　）
A．y＝2x2﹣4x﹣1 B．y＝2x2﹣4x+5
C．y＝﹣2x2+4x﹣1 D．y＝﹣2x2﹣4x+5
【解析】y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x2﹣2x）+1＝﹣2（x2﹣2x+1﹣1）+1＝﹣2（x﹣1）2+3，
所以原抛物线的顶点坐标为（1，3），
因为抛物线y＝﹣2x2+4x+1绕顶点旋转180°后所得抛物线的开口大小不变，顶点坐标不变，只是开口方向相反，
∴旋转后的抛物线解析式为y＝2（x﹣1）2+3＝2x2﹣4x+5．
故选：B．
4．（2019•南平一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，E为AC边上的点且AE＝2EC，点D在BC边上且满足BD＝DE，设BD＝y，S△ABC＝x，则y与x的函数关系式为（　　）

A．y＝x2+ B．y＝x2+
C．y＝x2+2 D．y＝x2+2
【分析】过A作AH⊥BC，过E作EP⊥BC，则AH∥EP，由此得出关于x和y的方程，即可得出关系式．
【解析】过A作AH⊥BC，过E作EP⊥BC，则AH∥EP，

∴HC＝3，PC＝1，BP＝5，PE＝AH，
∵BD＝DE＝y，
∴在Rt△EDP中，y2＝（5﹣y）2+PE2，
∵x＝6AH÷2＝3AH，
∴y2＝（5﹣y）2+，∴y＝x2+，
故选：A．



5．（2016•杭州校级自主招生）如图，分别过点Pi（i，0）（i＝1、2、…、n）作x轴的垂线，交的图象于点Ai，交直线于点Bi．则的值为（　　）

A． B．2 C． D．
【分析】根据Ai的纵坐标与Bi纵坐标的绝对值之和为AiBi的长，分别表示出所求式子的各项，拆项后抵消即可得到结果．
【解析】根据题意得：AiBi＝x2﹣（﹣x）＝x（x+1），
∴＝＝2（﹣），
∴++…+＝2（1﹣+﹣+…+﹣）＝．
故选：A．
6．（2019•天桥区一模）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣1，4），B（2，1），直线AB与x轴和y轴分别交M，N，若抛物线y＝x2﹣bx+2与直线AB有两个不同的交点，其中一个交点在线段AN上（包含A，N两个端点），另一个交点在线段BM上（包含B，M两个端点），则b的取值范围是（　　）

A．1≤b≤ B．b≤1或b≥
C．≤b≤ D．b≤或b≥
【分析】首先由已知求出直线AB的解析式，进而确定M，N点坐标；然后结合函数图象与直线交点在AN、BM上，讨论抛物线经过线段端点A、B、M的特殊情况即可．
【解析】∵已知点A（﹣1，4），B（2，1），
∴设直线AB的表达式为y＝kx+b（k≠0），
将点A（﹣1，4），B（2，1）代入表达式，则有：
，解得：，∴y＝﹣x+3．
∴M（3，0），N（0，3），
∵抛物线y＝x2﹣bx+2必过点（0，2），
∴当抛物线y＝x2﹣bx+2经过点A（﹣1，4）时，b＝1，
∴抛物线y＝x2﹣bx+2与直线y＝﹣x+3交点在线段AN上时，b≥1，
∴当抛物线y＝x2﹣bx+2与BM相交时，只需考虑抛物线过线段BM端点时即可．
当抛物线y＝x2﹣bx+2经过B（2，1）时，b＝，
当抛物线y＝x2﹣bx+2经过M（3，0）时，b＝，
∴≤b≤．综上所述，≤b≤．
故选：C．
7．（2018•长沙）若对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），则符合条件的点P（　　）
A．有且只有1个 B．有且只有2个
C．至少有3个 D．有无穷多个
【分析】根据题意可以得到相应的不等式，然后根据对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），即可求得点P的坐标，从而可以解答本题．
【解析】∵对于任意非零实数a，抛物线y＝ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），
∴x02﹣16≠a（x0﹣3）2+a（x0﹣3）﹣2a
∴（x0﹣4）（x0+4）≠a（x0﹣1）（x0﹣4）
∴（x0+4）≠a（x0﹣1）
∴x0＝﹣4或x0＝1，
∴点P的坐标为（﹣7，0）或（﹣2，﹣15）
故选：B．
8．（2019秋•长兴县期末）如图，抛物线y＝x2+2x与直线y＝x+1交于A，B两点，与直线x＝2交于点D，将抛物线沿着射线AB方向平移2个单位．在整个平移过程中，点D经过的路程为（　　）

A． B． C． D．6
【解析】由题意，抛物线沿着射线AB平移2个单位时，点A向右平移4个单位，向上平移 2个单位，
∵抛物线y＝x2+2x的顶点坐标为（﹣1，﹣1），
∴平移后抛物线的顶点坐标为（3，1），
∵D（2，8），
平移后的抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2+1，
此时D′（2，2），
设直线AB交直线x＝2于M，平移后抛物线与直线x＝2的交点为E，当点E在点M下方时，
ME＝x+1﹣（x2+2x）＝﹣x2﹣x+1，
当x＝﹣＝﹣时，ME有最大值＝﹣（﹣）2++1＝，
此时点D″（2，），
∵点D经过的路径为D→D′→D″，
∴路径长为：（8﹣）+（2﹣）＝，
故选：B．



9．已知点P在函数y1＝﹣x2+x+a（0≤x≤3）图象上，点P关于x轴的对称点在函数y2＝x+1的图象上，则实数a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣2 B．1≤a≤10 C．﹣2≤a≤2 D．﹣1≤a≤2
【解析】设点P（x，﹣x2+x+a），
∴关于x轴的对称点为（x，x2﹣x﹣a），
∵关于x轴的对称点在函数y2＝x+1的图象上，∴x2﹣x﹣a＝x+1，
∴a＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
∵0≤x≤3，∴当x＝0时，a＝﹣1，当x＝3时，a＝2，
∴﹣2≤a≤2，
故选：C．
10．（2019秋•嘉兴期末）一副三角板（△ABC与△DEF）如图放置，点D在AB边上滑动，DE交AC于点G，DF交BC于点H，且在滑动过程中始终保持DG＝DH，若AC＝2，则△BDH面积的最大值是（　　）

A．3 B．3 C． D．
【解析】如图，作HM⊥AB于M，
∵AC＝2，∠B＝30°，∴AB＝2，
∵∠EDF＝90°，∴∠ADG+∠MDH＝90°，
∵∠ADG+∠AGD＝90°，∴∠AGD＝∠MDH，
∵DG＝DH，∠A＝∠DMH＝90°，
∴△ADG≌△MHD（AAS），∴AD＝HM，
设AD＝x，则BD＝2﹣x，
∴S△BDH＝＝BD•AD＝x（2﹣x）＝﹣（x﹣）2+，
∴△BDH面积的最大值是，故选：C．
11．（2019•资阳）如图是函数y＝x2﹣2x﹣3（0≤x≤4）的图象，直线l∥x轴且过点（0，m），将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是（　　）

A．m≥1 B．m≤0 C．0≤m≤1 D．m≥1或m≤0
【解析】如图1所示，当m等于0时，
∵y＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点坐标为（1，﹣4），
当x＝0时，y＝﹣3，∴A（0，﹣3），
当x＝4时，y＝5，∴C（4，5），
∴当m＝0时，D（4，﹣5），
∴此时最大值为0，最小值为﹣5；
如图2所示，当m＝1时，此时最小值为﹣4，最大值为1，
当1＜m＜5时，最大值与最小值之差大于5，不合题意；
综上所述：0≤m≤1，故选：C．
12．（2019秋•镇江期末）如图，抛物线y＝﹣4与x轴交于A、B两点，点P在一次函数y＝﹣x+6的图象上，Q是线段PA的中点，连结OQ，则线段OQ的最小值是（　　）

A． B．1 C． D．2
【解析】∵O为AB的中点、Q为AP的中点，
∴OQ是△ABP的中位线，∴OQ＝BP，
∵抛物线y＝﹣4，
∴当y＝0时，得x1＝﹣4，x2＝4，
∴点A的坐标为（﹣4，0），点B的坐标为（4，0），
∵点P在一次函数y＝﹣x+6的图象上，
∴当y＝0时，x＝6，该一次函数与x轴的夹角是45°，
∴当BP⊥直线y＝﹣x+6时，BP取得最小值，此时BP＝（6﹣4）×sin45°＝，
∴OQ的最小值是，故选：A．
13．（2018•桐梓县一模）如图，抛物线m：y＝ax2+b（a＜0，b＞0）与x轴于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1．若四边形AC1A1C为矩形，则a，b应满足的关系式为（　　）

A．ab＝﹣2 B．ab＝﹣3 C．ab＝﹣4 D．ab＝﹣5
【分析】利用矩形性质得出要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足AB＝BC，即可求出．
【解析】令x＝0，得：y＝b．
∴C（0，b）．令y＝0，得：ax2+b＝0，
∴x＝±，∴A（﹣，0），B（，0），
∴AB＝2，BC＝＝．
要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足AB＝BC，
∴2＝．∴4×（﹣）＝b2﹣，
∴ab＝﹣3．∴a，b应满足关系式ab＝﹣3．
故选：B．
14．（2019•福建）若二次函数y＝|a|x2+bx+c的图象经过A（m，n）、B（0，y1）、C（3﹣m，n）、D（，y2）、E（2，y3），则y1、y2、y3的大小关系是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y3＜y1
【分析】由点A（m，n）、C（3﹣m，n）的对称性，可求函数的对称轴为x＝，再由B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离，即可判断y1＞y3＞y2；
【解析】∵经过A（m，n）、C（3﹣m，n），
∴二次函数的对称轴x＝，
∵B（0，y1）、D（，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离B最远，D最近，
∵|a|＞0，∴y1＞y3＞y2；
故选：D．
15．（2019秋•苏州期末）如图，已知二次函数y＝mx2﹣4mx+3m（m＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，若CA平分∠OCB，则m的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】先表示出OD，进而表示出AD，利用勾股定理建立方程求解即可得出结论．
【解析】如图，由y＝mx2﹣4mx+3m＝m（x﹣1）（x﹣3）知，A（1，0），B（3，0），
∴OA＝1，OB＝3，令x＝0，y＝3m，
∴C（0，3m），∴OC＝3m，
过点A作AD∥BC，
∴＝，∴＝，
∴OD＝m，∴CD＝OC﹣OD＝2m
∵AC是∠OCB的平分线，
∴∠OCA＝∠BCA，
∵AD∥BC，∴∠CAD＝∠BCA，
∴∠OCA＝∠CAD，∴AD＝CD＝2m，
在Rt△OAD中，根据勾股定理得，AD2﹣OD2＝OA2，
∴（2m）2﹣（m2）2＝12，∴m＝﹣（舍）或m＝．
故选：D．

16．（2017秋•诸暨市期末）抛物线y＝x2﹣2x﹣15，y＝4x﹣23，交于A、B点（A在B的左侧），动点P从A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．若使点P动的总路径最短，则点P运动的总路径的长为（　　）
A．10 B．7 C．5 D．8
【解析】如图
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣15与直线y＝4x﹣23交于A、B两点，
∴x2﹣2x﹣15＝4x﹣23，
解得：x＝2或x＝4，
当x＝2时，y＝4x﹣23＝﹣15，
当x＝4时，y＝4x﹣23＝﹣7，
∴点A的坐标为（2，﹣15），点B的坐标为（4，﹣7），
∵抛物线对称轴方程为：x＝﹣作点A关于抛物线的对称轴x＝1的对称点A′，
作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，
则直线A′B′与对称轴（直线x＝1）的交点是E，与x轴的交点是F，
∴BF＝B′F，AE＝A′E，
∴点P运动的最短总路径是AE+EF+FB＝A′E+EF+FB′＝A′B′，
延长BB′，AA′相交于C，
∴A′C＝4，B′C＝7+15＝22，
∴A′B′＝＝10．
∴点P运动的总路径的长为10．
故选：A．
17．（2018秋•工业园区期中）如图，抛物线y＝﹣x2+4x﹣3与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（　　）

A．﹣3＜m＜﹣ B．﹣5＜m＜﹣ C．﹣5＜m＜﹣3 D．﹣3＜m＜﹣
【分析】直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，正好处于l1、l2之间的区域，即可求解．
【解析】令：y＝﹣x2+4x﹣3＝0，可以得到：A（1，0），B（3，0），
∴AB＝2，
∵AB＝BD，∴BD＝2，∴OD＝5，则：D（5，0），
则：右侧抛物线方程为：y＝﹣（x﹣3）（x﹣5），
直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，正好处于l1、l2之间的区域，
其中：l1与抛物线上方相切，l2过点B，
将l1方程和右侧抛物线方程联立得：x+m＝﹣（x﹣3）（x﹣5），
△＝b2﹣4ac＝0，解得：m＝﹣；
点B（3.0）代入y＝x+m中，则：m＝﹣3，
∴﹣3＜m＜﹣，
故选：D．
18．（2018秋•黄石港区校级期中）已知二次函数y＝（x﹣1）（x﹣2），若关于x的方程（x﹣1）（x﹣2）＝m（m＜0）的实数根为a，β，且a＜β，则下列不等式正确的是（　　）
A．a＜1，β＜2 B．1＜a＜β＜2 C．1＜a＜2＜β D．a＜1＜β＜2
【解析】y′＝（x﹣1）（x﹣2）﹣m，相当于抛物线y＝（x﹣1）（x﹣2）向上平移了m个单位，
则α、β在x＝1和x＝2之间，
故选：B．
19．（2019秋•汉阳区期中）我们定义：若点A在某一个函数的图象上，且点A的横纵坐标相等，我们称点A为这个函数的“好点”．若关于x的二次函数y＝ax2+tx﹣2t对于任意的常数t恒有两个“好点”，则a的取值范围为（　　）
A．0＜a＜1 B．0 C． D．
【解析】“好点”A的横纵坐标相等，
即：x＝y＝ax2+tx﹣2t（a≠0），
△＝（t﹣1）2+8at＞0，整理得：t2﹣（2﹣8a）t+1＝0，
△′＝（2﹣8a）2﹣4＞0，解得：0＜a＜，
故选：B．
20．（2019秋•临沭县期中）抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，若关于x的一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（　　）
A．﹣12＜t≤3 B．﹣12＜t＜4 C．﹣12＜t≤4 D．﹣12＜t＜3
【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，将一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看作y＝﹣x2﹣2x+3与函数y＝t的有交点，再由﹣2＜x＜3的范围确定y的取值范围即可求解．
【解析】∵抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴为直线x＝﹣1，
∴b＝﹣2，∴y＝﹣x2﹣2x+3，
∴一元二次方程﹣x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看作y＝﹣x2﹣2x+3与函数y＝t的有交点，
∵方程在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，
当x＝﹣2时，y＝3；当x＝3时，y＝﹣12；
函数y＝﹣x2﹣2x+3在x＝﹣1时有最大值4；
∴﹣12＜t≤4．
故选：C．
21．（2019秋•市中区期末）在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个完美点（，），且当0≤x≤m时，函数y＝ax2+4x+c﹣（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（　　）
A．﹣1≤m≤0 B．2≤m＜ C．2≤m≤4 D．＜m≤
【解析】令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，
由题意，△＝32﹣4ac＝0，即4ac＝9，
又方程的根为＝，解得a＝﹣1，c＝﹣，
故函数y＝ax2+4x+c﹣＝﹣x2+4x﹣3，
如图，该函数图象顶点为（2，1），与y轴交点为（0，﹣3），
由对称性，该函数图象也经过点（4，﹣3）．
由于函数图象在对称轴x＝2左侧y随x的增大而增大，
在对称轴右侧y随x的增大而减小，
且当0≤x≤m时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最小值为﹣3，最大值为1，
∴2≤m≤4，
故选：C．
22．（2018•安徽模拟）已知，平面直角坐标系中，直线y1＝x+3与抛物线y2＝﹣+2x的图象如图，点P是y2上的一个动点，则点P到直线y1的最短距离为（　　）

A． B． C． D．
【解析】设过点P平行直线y1的解析式为y＝x+b，
当直线y＝x+b与抛物线只有一个交点时，点P到直线y1的距离最小，
由，消去y得到：x2﹣2x+2b＝0，
当△＝0时，4﹣8b＝0，∴b＝，∴直线的解析式为y＝x+，
如图设直线y1交x轴于A，交y轴于B，直线y＝x+交x轴于C，作CD⊥AB于D，PE⊥AB于E，则A（﹣3，0），B（0，3），C（﹣，0）
∴OA＝OB＝3，OC＝，AC＝，
∴∠DAC＝45°，
∴CD＝＝，
∵AB∥PC，CD⊥AB，PE⊥AB，
∴PE＝CD＝，
故选：B．
23．（2019春•西湖区校级月考）在平面直角坐标系中，对图形F给出如下定义：若图形F上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度，例如，如图中的矩形ABCD的坐标角度是90°．现将二次函数y＝ax2（1≤a≤3）的图象在直线y＝1下方的部分沿直线y＝1向上翻折，则所得图形的坐标角度α的取值范围是（　　）

A．30°≤α≤60° B．60°≤α≤90°
C．90°≤α≤120° D．120°≤α≤150°
【分析】分a＝1和a＝3两种情形画出图形，根据图形的坐标角度的定义即可解决问题．
【解析】当a＝1时，如图1中，
∵角的两边分别过点A（﹣1，1），B（1，1），作BE⊥x轴于E，
∴BE＝OE，∴∠BOE＝45°，
根据对称性可知∠AOB＝90°∴此时坐标角度m＝90°；
当a＝3时，如图2中，
角的两边分别过点A（﹣，1），B（，1），作BE⊥x轴于E，
∵tan∠BOE＝，∴∠BOE＝60°，
根据对称性可知∠AOB＝60°
∴此时坐标角度α＝60°，
∴60°≤α≤90°；
故选：B．
24．（2020•武汉模拟）如图，直线y＝2x与直线x＝2相交于点A，将抛物线y＝x2沿线段OA从点O运动到点A，使其顶点始终在线段OA上，抛物线与直线x＝2相交于点P，则点P移动的路径长为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1
【解析】∵设抛物线的顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动，
∴y＝2m（0≤m≤2）．
∴当抛物线运动到A点时，顶点M的坐标为（m，2m），
∴抛物线函数解析式为y＝（x﹣m）2+2m．
∴当x＝2时，y＝（2﹣m）2+2m＝m2﹣2m+4（0≤m≤2），
∴点P的坐标是（2，m2﹣2m+4）．
∵对于二次函数y′＝m2﹣2m+4＝（m﹣1）2+3
当0≤m≤2时，
∴m＝1时，y′有最小值3，
当m＝0或2时，y′的值为4，
∴点P移动的路径长为2×（4﹣3）＝2，
故选：C．

25．（2019•资中县一模）如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O、A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD＝AD＝3时，这两个二次函数的最大值之和等于　　．

【解析】过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，
∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，∴BF∥DE∥CM，
∵OD＝AD＝3，DE⊥OA，∴OE＝EA＝OA＝2，
由勾股定理得：DE＝＝，
设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF＝PF＝x，
∵BF∥DE∥CM，
∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，
∴＝，＝，
∵AM＝PM＝（OA﹣OP）＝（4﹣2x）＝2﹣x，
即＝，＝，解得：BF＝x，CM＝﹣x，
∴BF+CM＝．
故答案为：
26．（2013•兰州）如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为（2，0），若抛物线y＝x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是　﹣2＜k＜　．

【解析】由图可知，∠AOB＝45°，
∴直线OA的解析式为y＝x，联立消掉y得，x2﹣2x+2k＝0，
△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×2k＝0，
即k＝时，抛物线与OA有一个交点，此交点的横坐标为1，
∵点B的坐标为（2，0），∴OA＝2，
∴点A的坐标为（，），
∴交点在线段AO上；
当抛物线经过点B（2，0）时，×4+k＝0，解得k＝﹣2，
∴要使抛物线y＝x2+k与扇形OAB的边界总有两个公共点，实数k的取值范围是﹣2＜k＜．
故答案为：﹣2＜k＜．
27．（2019秋•瑶海区期末）已知关于x的二次函数y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点坐标为（m，0）．若2＜m＜5，则a的取值范围是　﹣5＜a＜﹣2或＜a＜　．
【解析】y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a＝（ax﹣1）（x+a），
当y＝0时，x＝﹣a或x＝，∴抛物线与x轴的交点为（﹣a，0），（，0），
∵与x轴的一个交点坐标为（m，0）且2＜m＜5，
当a＞0时，2＜＜5，∴＜a；
当a＜0时，2＜﹣a＜5，﹣5＜a＜﹣2；
故答案为＜a或﹣5＜a＜﹣2．

28．（2019•雅安）已知函数y＝的图象如图所示，若直线y＝x+m与该图象恰有三个不同的交点，则m的取值范围为　0＜m＜　．

【解析】直线y＝x+m与该图象恰有三个不同的交点，
则直线与y＝﹣x有一个交点，∴m＞0，
∵与y＝﹣x2+2x有两个交点，
∴x+m＝﹣x2+2x，
△＝1﹣4m＞0，∴m＜，∴0＜m＜；
故答案为0＜m＜．
29．（2012•百色）如图，已知一动圆的圆心P在抛物线y＝x2﹣3x+3上运动．若⊙P半径为1，点P的坐标为（m，n），当⊙P与x轴相交时，点P的横坐标m的取值范围是　3﹣＜m＜2或4＜m＜3+　．

【解析】∵圆心P在抛物线y＝x2﹣3x+3上运动，点P的坐标为（m，n），
∴n＝m2﹣3m+3，
∵⊙P半径为1，⊙P与x轴相交，
∴|n|＜1，∴|m2﹣3m+3|＜1，
∴﹣1＜m2﹣3m+3＜1，解m2﹣3m+3＜1，得：3﹣＜m＜3+，
解m2﹣3m+3＞﹣1，得：m＜2或m＞4，
∴点P的横坐标m的取值范围是：3﹣＜m＜2或4＜m＜3+．
故答案为：3﹣＜m＜2或4＜m＜3+．
30．（2019秋•开福区校级月考）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②16a+4b+c＜0；③4ac﹣b2＜8a；④；⑤b＜c．其中正确结论有　①③④　．

【解析】①∵函数开口方向向上，∴a＞0；
∵对称轴在y轴右侧∴ab异号，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①正确；
②当x＝4时，y＝16a+4b+c＞0，故②错误；
③∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴的交点在（0，﹣1）的下方，对称轴在y轴右侧，a＞0，
∴最小值：＜﹣2，
∵a＞0，∴4ac﹣b2＜﹣8a，∴4ac﹣b2＜8a，∴③正确；
④∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间，
∴﹣2＜c＜﹣1∴﹣2＜﹣3a＜﹣1，∴；故④正确；
⑤∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，∴a＝b﹣c，
∵a＞0，∴b﹣c＞0，即b＞c；故⑤错误；
综上所述，正确的有①③④，故答案为：①③④．
31．（2017•东胜区三模）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为　3+　．

【解析】连接AC，BC，
∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∴点D的坐标为（0，﹣3），∴OD的长为3，
设y＝0，则0＝x2﹣2x﹣3，解得：x＝﹣1或3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）∴AO＝1，BO＝3，
∵AB为半圆的直径，∴∠ACB＝90°，
∵CO⊥AB，∴CO2＝AO•BO＝3，
∴CO＝，∴CD＝CO+OD＝3+，故答案为：3+．

32．（2019秋•成都校级月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①； ②； ③关于x的方程ax2+bx+c+2＝0无实根，④ac﹣b+1＝0；⑤OA⋅OB＝﹣．其中正确结论的有　④⑤　．

【解析】抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2﹣4ac＞0，
开口向下，a＜0，因此＜0，故①不正确；
抛物线与y轴交于正半轴，因此c＞0，对称轴为x＝1，所以﹣＝1，也就是a＝﹣b，
∴a+b+c＝﹣b+b+c＝c＞0，故②不正确；
当y＝﹣2时，根据图象可得ax2+bx+c＝﹣2有两个不同实数根，
即ax2+bx+c+2＝0有两个不等实根，因此③不正确；
∵OA＝OC，∴A（﹣c，0）代入得：ac2﹣bc+c＝0，即：ac﹣b+1＝0，因此④正确；
设A（x1，0），B（x2，0），有x1、x2是方程ax2+bx+c＝0的两个根，
有x1+x2＝，又∵OA＝﹣x1，OB＝x2，所以OA•OB＝﹣，故⑤正确；
综上所述，正确的有④⑤，
故答案为：④⑤
33．（2020•陕西模拟）二次函数为常数）的图象不经过第三象限，在自变量的值满足时，其对应的函数值的最大值为，则的值是　　
A． B． C．2 D．
【解析】二次函数，该函数的对称轴是直线，
又二次函数为常数）的图象不经过第三象限，，
在自变量的值满足时，其对应的函数值的最大值为，
当时，，解得，，故选：．
34．（2019秋•新罗区期末）已知点，点，若抛物线与线段有两个不同的交点（包含线段端点），则实数的取值范围是　　
A． B． C． D．
【解析】点，点，直线为，
令，则，
若直线与抛物线有两个不同的交点，
则△，解得，（舍去）或，
把点代入解得，
由上可得，
故选：．
35．（2016•下城区模拟）如图，将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，形成新的图象，当直线与此图象有两个公共点时，求的取值范围　或　．

【解析】二次函数与轴的交点坐标为，、，，
当直线与有一个公共点时，，△，解得，所以当时，直线与此图象有两个公共点时，
当直线经过点，与点，之间时，直线与此图象有两个公共点时，解得，
所以的取值范围为或．故答案为或．
36．（2019•东城区二模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点．
（1）试用含的代数式表示抛物线的顶点坐标；
（2）将抛物线沿直线翻折，得到的新抛物线与轴交于点．若，，求的值；
（3）已知，，在（2）的条件下，当线段与抛物线只有一个公共点时，直接写出的取值范围．
【解析】（1），
抛物线的顶点坐标为；
（2）由对称性可知，点到直线的距离为4，，
，
，；
（3），抛物线为，
当抛物线经过点时，或；
当抛物线经过点时，；
线段与抛物线只有一个公共点，
或．
37．（2018秋•房山区期末）在平面直角坐标系中，点，将点向右平移6个单位长度，得到点．
（1）直接写出点的坐标；
（2）若抛物线经过点，，求抛物线的表达式；
（3）若抛物线的顶点在直线上移动，当抛物线与线段有且只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标的取值范围．

【解析】（1）点的坐标为，将点向右平移6个单位长度得到点，
点的坐标为，即．
（2）将，代入，得：，解得：，
抛物线的表达式为．
（3）抛物线的顶点在直线上移动，
抛物线的顶点坐标为，
抛物线的表达式可化为．
将代入，得：，解得：，，
又抛物线与线段有且只有一个公共点，
；
将代入，得：，解得：，，
又抛物线与线段有且只有一个公共点，
．
综上可知，的取值范围为或．