初中数学中考复习 第08讲 三角形的存在性-2020年中考数学《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》(全国通用)原卷板

这是一份初中数学中考复习 第08讲 三角形的存在性-2020年中考数学《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》(全国通用)原卷板，共15页。试卷主要包含了等腰三角形与直角三角形的存在性，相似三角形的存在性等内容，欢迎下载使用。
   硬核：狙击2020中考数学重点/难点/热点     一、两点间距离公式二、等腰三角形“三线合一”三、勾股定理四、锐角三角函数五、全等三角形的判定六、相似三角形的性质与判定 一、等腰三角形与直角三角形的存在性（1）“两圆一中垂”——满足等腰三角形的点的存在性的作图方法探究1: 如图，在坐标轴上找出所有的点C，使ΔABC 为等腰三角形。方法：分类讨论：①当A为顶点时，即AB=AC时，以A为圆心，AB为半径画圆，得目标点C1，C2，C3，C4②当B为顶点时，即BA=BC时，以B为圆心，BA为半径画圆，得目标点C5，C6，C7，C8③当C为顶点时，即CA=CB时，作线段AB的垂直平分线，得目标点C9，C10故，满足条件的点C共有10个.      （2）“一圆两垂直”——满足直角三角形的点的存在性的作图方法探究2: 如图，在坐标轴上找出所有的点C，使ΔABC 为直角三角形。方法：分类讨论：①当∠A=90°时，过点A作线段AB的垂线，得目标点C1，C2②当∠B=90°时，过点B作线段AB的垂线，得目标点C3，C4③当∠C=90°时，以AB为直径作圆，得目标点C5，C6，C7，C8故，满足条件的点C共有8个.   （3）“代数求值解法”——满足等腰/直角三角形的点的坐标计算方法①写出或设出三角形三个顶点的坐标；②利用两点间距离公式，计算三角形三条边长的平方；③若是等腰三角形，则由等腰三角形的三边长（的平方）可以两两相等，需分三类，列方程求解；若是直角三角形，则表示出三边的平方，利用勾股定理列出方程即可求解.④检验求出的点是否符合题意，即能否构成三角形。  二、相似三角形的存在性（1）导边法，（“SAS”法）①先找到一组关键的等角，有时明显，有时隐蔽；②以这两个相等角的两邻边分两种情形对应成比例列方程如图，在△ABC和△DEF中，若已确定∠A=∠D, 则要使△ABC与△DEF相似，需要分两种情形讨论：或，再列方程求解即可. （1）导角法，（AA”法）①先找到一组关键的等角；②另两个内角分两类对应相如图，在△ABC和△DEF中，若已确定∠A=∠D, 则要使△ABC与△DEF相似，需要分两种情形讨论：∠B=∠E或∠B=∠F，再进行分析处理即可. 【例题1】在平面直角坐标系中，点A坐标为（﹣2，1），点B坐标为（2，3），点C为x轴上的一个动点，记作（a，0）．（1）求AC+BC的最小值，并求AC+BC的最小值时点C的坐标．（2）若△ABC为等腰三角形，求点C坐标．（3）若△ABC为直角三角形，求点C坐标．（4）若点D坐标为（a+1，0），求四边形ACDB的周长的最小值，并求出C点坐标．               【例题2】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，点P是这个菱形内部或边上的一点，若以点P、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则P、D（P、D两点不重合）两点间的最短距离为　　．          【例题3】已知：在矩形ABCD中，AB＝6，点E为边AB上一点，满足AE＝2，连接DE，在矩形内部作∠DEF＝45°，交边BC于点F（不与端点重合），交边DC的延长线于点G．（1）如果DF⊥EG，求△DEG的面积；（2）设AD＝x，BF＝y，①请用含有x，y的式子表示线段DG的长；②求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果△DEF是等腰三角形，试求此时AD的长．                            【例题4】（2020•沈阳一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C．已知点D的坐标为（﹣1，0），点P为第二象限内抛物线上的一个动点，连接AP、PC、CD．（1）求这个抛物线的表达式．（2）当四边形ADCP面积等于4时，求点P的坐标．（3）①点M在平面内，当△CDM是以CM为斜边的等腰直角三角形时，直接写出满足条件的所有点M的坐标；②在①的条件下，点N在抛物线对称轴上，当∠MNC＝45°时，直接写出满足条件的所有点N的坐标．                            【例题5】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），对称轴x＝1，与x轴交于点H．（1）求抛物线的函数表达式；（2）直线y＝kx+1（k≠0）与y轴交于点E，与抛物线交于点P，Q（点P在y轴左侧，点Q在y轴右侧），连接CP，CQ，若△CPQ的面积为，求点P，Q的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC交PQ于G，在对称轴上是否存在一点K，连接GK，将线段GK绕点G顺时针旋转90°，使点K恰好落在抛物线上？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由．                          【例题6】如图，直线y＝x+3交x轴于点A，交y轴于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A、C，与x轴交于另一点B（1，0），顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）过A点作射线AE交直线AC下方的抛物线上于点E，使∠DAE＝45°，求点E的坐标；（3）若（2）中AE交y轴于点F，N是线段AC上一点，在抛物线上是否存在点M，使△AMN与△ACF相似？若存在，请直接写出点M及相应的N点的坐标；若不存在，请说明理由．                            【例题7】如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线C1：y＝ax2﹣bx（a＜0）经过点A和x轴上的点B，AO＝OB＝2，∠AOB＝120°．（1）求该抛物线的表达式；（2）联结AM，求S△AOM；（3）将抛物线C1向上平移得到抛物线C2，抛物线C2与x轴分别交于点E、F（点E在点F的左侧），如果△MBF与△AOM相似，求所有符合条件的抛物线C2的表达式．                            1．如图，∠A＝∠B＝90°，AB＝7，BC＝3，AD＝2，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则满足条件的AP长为　　．2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+b交x轴、y轴于B、A两点，且B点坐标为（8，0），将直线AB沿y轴翻折交x轴于点C．（1）直接写出A、C两点的坐标；（2）设点P为BC上一点，作∠APD＝∠C，交AB于点D，在点P移动的过程中，当△APD为直角三角形时，求点P的坐标．    3．已知，A（4，0），B（8，0），C（0，4）．动直线EF（EF∥x轴）从点C出发，以每秒1个单位的速度沿y轴负方向平移，且分别交y轴、线段BC于E、F两点，动点P同时从点B出发，在线段OB上以每秒2个单位的速度向原点O运动．（1）请分别用t表示BF，BP；（2）是否存在t的值，使得△BPF与△ABC相似？若存在，求出t的值．    4．（2020•历下区校级模拟）如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣4，0）、B（2，0），在y轴上有一点E（0，﹣2），连接AE．（1）求二次函数的表达式；（2）点D是第二象限内的抛物线上一动点．若tan∠AED＝，求此时点D坐标；（3）连接AC，点P是线段CA上的动点，连接OP，把线段PO绕着点P顺时针旋转90°至PQ，点Q是点O的对应点．当动点P从点C运动到点A时，判断动点Q的轨迹并求动点Q所经过的路径长．      5. 如图，二次函数y＝a（x2﹣2mx﹣3m2）（其中a，m是常数，且a＞0，m＞0）的图象与x轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于C（0，﹣3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD，过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．（1）用含m的代数式表示a；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F，探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．   6．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）C（8，0）D（8，8）抛物线y＝ax2+bx过A，C两点，动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，过点P作PE⊥AB交AC于点E（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式．（2）过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G，当t为何值时，线段EG最长？（3）连接EQ，在点P，Q运动的过程中，是否存在某个时刻，使得以C，E，Q为顶点的△CEQ为等腰三角形？如果存在，请直接写出相应的t值；如果不存在，请说明理由．     7．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P以每秒1个单位的速度从A向C运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从A→B→C方向运动，它们到C点后都停止运动，设点P，Q运动的时间为t秒．（1）在运动过程中，求P，Q两点间距离的最大值；（2）经过t秒的运动，求△ABC被直线PQ扫过的面积S与时间t的函数关系式；（3）P，Q两点在运动过程中，是否存在时间t，使得△PQC为等腰三角形？若存在，求出此时的t值；若不存在，请说明理由（≈2.24，结果保留一位小数）         8．数学活动﹣﹣求重叠部分的面积．问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，将两块全等的直角三角形纸片△ABC和△DEF叠放在一起，其中∠ACB＝∠E＝90°，BC＝DE＝6，AC＝FE＝8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C，DF交AC于点C．求重叠部分（△DCG）的面积．（1）独立思考：请解答老师提出的问题．（2）合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将△DEF绕点D旋转，使DE⊥AB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，求出重叠部分（△DGH）的面积，请写出解答过程．（3）提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，将△DEF绕点D旋转，再提出一个求重叠部分面积的问题．“爱心”小组提出的问题是：如图3，将△DEF绕点D旋转，DE，DF分别交AC于点M，N，使DM＝MN，求重叠部分（△DMN）的面积．任务：请解决“爱心”小组所提出的问题，直接写出△DMN的面积是　　．      9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一个动点（不与点A、点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB于点E．①当PE＝2ED时，求P点坐标；②是否存在点P使△BEC为等腰三角形？若存在请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．   10．如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．（1）求抛物线的函数解析式．（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，若四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．（3）联接BC交x轴于点F．y轴上是否存在点P，使得△POC与△BOF相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．      11．如图，二次函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴相交于点A（﹣1，0）、B（4，0），与y轴相交于点C．（1）求该函数的表达式；（2）点P为该函数在第一象限内的图象上一点，过点P作PQ⊥BC，垂足为点Q，连接PC．①求线段PQ的最大值；②若以点P、C、Q为顶点的三角形与△ABC相似，求点P的坐标．           12．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx（a＞0），经过点A和x轴正半轴上的点B，AO＝OB＝2，∠AOB＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连接OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．         13．（2020•碑林区校级二模）设抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于两个不同的点A（﹣1，0）、B（m，0），与y轴交于点 C．且∠ACB＝90°．（1）求抛物线的解析式（2）已知过点A的直线y＝x+1交抛物线于另一点E，且点D（1，﹣3）在抛物线上问：在x轴上是否存在点P，使以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似？若存在，请求出所有符合要求的点P的坐标；若不存在，请说明理由．