第03讲 最值问题专题《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》

这是一份第03讲 最值问题专题《二轮冲刺核心重点难点热点15讲》，共31页。

最值的种类你是否都提前总结过？
1. 垂线段最值类型：
2. 点与点之间，线段最短类型；
3. 轴对称最值类型（也称将军饮马型）；
4. 二次函数最值类型；
5. 辅助圆中最值类型；
6. 费马点最值类型；
7. 胡不归最值类型；
8. 阿波罗尼斯圆最值类型.















【例题1】 （2019•鸡西）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且
S△PAB＝S△PCD，则PC+PD的最小值为　　．

【分析】本题属于“将军饮马最值类型”
【解析】如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM＝x．
∵四边形ABC都是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD＝4，BC＝AD＝6，
∵S△PAB＝S△PCD，
∴×4×x＝××4×（6﹣x），
∴x＝2，
∴AM＝2，DM＝EM＝4，
在Rt△ECD中，EC＝＝4，
∵PM垂直平分线段DE，
∴PD＝PE，
∴PC+PD＝PC+PE≥EC，
∴PD+PC≥4，
∴PD+PC的最小值为4．



【例题2】在四边形中，是边的中点．
（1）如图（1），若平分，，则线段、、的长度满足的数量关系为
　　；（直接写出答案）
（2）如图（2），平分，平分，若，则线段、、、的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明；
（3）如图（3），，，，若，求线段长度的最大值．

【分析】本题属于“两点之间，线段最短类型”
【解析】（1）；
理由：在上取一点，使．易得
（2）猜想：．
证明：在上取点，使，连结，在上取点，使，连结．
是边的中点，
．
平分，
．
在和中，
，
，
，．
同理可证：，．
，
，
．
．
．
是等边三角形．
．
．
．
（3）作关于的对称点，关于的对称点，连接，，，，．
是边的中点，
．
，
，．
同理可证：，
，
，
．
．
．
是等腰直角三角形．
．
，
，
．
．
，，
．
当、、、共线时的值最大2，最大值为．
故答案为：．
【例题3】（2019•普洱一模）已知菱形ABCD中，AB＝5，∠B＝60°，⊙A的半径为2，⊙B的半径为3，点E、F分别为⊙A、⊙B上的动点，点P为DC边上的动点，则PE+PF的最小值为　5　．

【分析】本题属于“轴对称最值类型”
【解析】当P与C重合时，F点在BC上，E点在AC上，此时PE+PF的值最小；
连接AC，
∵菱形ABCD，AB＝5，∠B＝60°，
∴AC＝5，
∵⊙A的半径为2，
∴EC＝3，
∵⊙B的半径为3，
∴FC＝2，
∴PE+PF＝5；
故答案为5；


【例题4】（2019•玉林）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（　　）

A．5 B．6 C．7 D．8
【分析】本题属于“圆中常规最值类型”
【解析】如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，
此时垂线段OP最短，PF最小值为OP﹣OF，
∵AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5
∵∠OPB＝90°，
∴OP∥AC
∵点O是AB的三等分点，
∴OB＝×5＝，＝＝，
∴OP＝，
∵⊙O与AC相切于点D，
∴OD⊥AC，
∴OD∥BC，
∴＝＝，
∴OD＝1，
∴MN最小值为OP﹣OF＝﹣1＝，
如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，
MN最大值＝+1＝，
∴MN长的最大值与最小值的和是6．
故选：B．

【例题5】如图，四边形的两条对角线、相交所成的锐角为，当时，四边形的面积的最大值是　　．


【分析】本题属于“二次函数最值类型”
【解析】与所成的锐角为，
根据四边形面积公式，得四边形的面积，
设，则，
所以，
所以当，有最大值．
故答案为：．

【例题6】（2019•上虞区一模）如图，已知，均为等腰直角三角形，，顶点，分别在边，上滑动．则在滑动过程中，点，间距离的最大值为　　．


【分析】本题属于“辅助圆最值类型”
【解析】均为等腰直角三角形，，
，
是等腰直角三角形，
以为直角作等腰直角三角形，以为圆心，为半径作圆，
随着、点运动，始终在圆上，
当、、三点共线时，最大；
，
，
，
，
，
，
故答案为．


【例题7】（2019•武汉）问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC＝PE．
问题解决：如图2，在△MNG中，MN＝6，∠M＝75°，MG＝．点O是△MNG内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是　　．

【分析】本题属于“费马点最值类型”
【解析】（1）证明：如图1，在BC上截取BG＝PD，
在△ABG和△ADP中
，
∴△ABG≌△ADP（SAS），
∴AG＝AP，BG＝DP，
∴GC＝PE，
∵∠GAP＝∠BAD＝60°，
∴△AGP是等边三角形，
∴AP＝GP，
∴PA+PC＝GP+PC＝GC＝PE
∴PA+PC＝PE；
（2）解：如图2：以MG为边作等边三角形△MGD，以OM为边作等边△OME．连接ND，作DF⊥NM，交NM的延长线于F．
∵△MGD和△OME是等边三角形
∴OE＝OM＝ME，∠DMG＝∠OME＝60°，MG＝MD，
∴∠GMO＝∠DME
在△GMO和△DME中

∴△GMO≌△DME（SAS），
∴OG＝DE
∴NO+GO+MO＝DE+OE+NO
∴当D、E、O、M四点共线时，NO+GO+MO值最小，
∵∠NMG＝75°，∠GMD＝60°，
∴∠NMD＝135°，
∴∠DMF＝45°，
∵MG＝．
∴MF＝DF＝4，
∴NF＝MN+MF＝6+4＝10，
∴ND＝＝＝2，
∴MO+NO+GO最小值为2，
故答案为2



【例题8】如图，在中，，，经过点，且圆的直径在线段上．
（1）试说明是的切线；
（2）若中边上的高为，试用含的代数式表示的直径；
（3）设点是线段上任意一点（不含端点），连接，当的最小值为6时，求的直径的长．

【分析】本题属于“胡不归最值类型”
【解析】（1）连接，如图1，
，，
，，
，
是的切线；

（2）过点作于，连接，如图2，
由题可得．
在中，，
，
，；
（3）作平分，交于，连接、、，如图3，
则．
，
、是等边三角形，
，
四边形是菱形，
根据对称性可得．
过点作于，
，，
，
．
根据垂线段最短可得：
当、、三点共线时，（即最小，
此时，
则，．
当的最小值为6时，的直径的长为．


【例题9】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
已知平面上两点、，则所有符合且的点会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．
阿氏圆基本解法：构造三角形相似．
【问题】如图1，在平面直角坐标中，在轴，轴上分别有点，，点是平面内一动点，且，设，求的最小值．

阿氏圆的关键解题步骤：
第一步：如图1，在上取点，使得；
第二步：证明；第三步：连接，此时即为所求的最小值．
下面是该题的解答过程（部分）
解：在上取点，使得，
又，……
任务：
（1）将以上解答过程补充完整．
（2）如图2，在中，，，，为内一动点，满足，利用（1）中的结论，请直接写出的最小值．
【分析】本题属于“阿波罗尼斯圆最值类型”
【解析】解（1）在上取点，使得，
又，
．
，
，
，当取最小值时，有最小值，
即，，三点共线时有最小值，
利用勾股定理得．

（2），，在上取一点，使得，

的最小值为．













1．（2019•乐山）如图，抛物线y＝x2﹣4与x轴交于A、B两点，P是以点C（0，3）为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段PA的中点，连结OQ．则线段OQ的最大值是（　　）

A．3 B． C． D．4
【解析】连接BP，如图，
当y＝0时，x2﹣4＝0，解得x1＝4，x2＝﹣4，则A（﹣4，0），B（4，0），
∵Q是线段PA的中点，
∴OQ为△ABP的中位线，
∴OQ＝BP，
当BP最大时，OQ最大，
而BP过圆心C时，PB最大，如图，点P运动到P′位置时，BP最大，
∵BC＝＝5，
∴BP′＝5+2＝7，
∴线段OQ的最大值是．
故选：C．

2．（2019•泰安）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是（　　）

A．2 B．4 C． D．
【解析】如图：
当点F与点C重合时，点P在P1处，CP1＝DP1，
当点F与点E重合时，点P在P2处，EP2＝DP2，
∴P1P2∥CE且P1P2＝CE
当点F在EC上除点C、E的位置处时，有DP＝FP
由中位线定理可知：P1P∥CE且P1P＝CF
∴点P的运动轨迹是线段P1P2，
∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值
∵矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，
∴△CBE、△ADE、△BCP1为等腰直角三角形，CP1＝2
∴∠ADE＝∠CDE＝∠CP1B＝45°，∠DEC＝90°
∴∠DP2P1＝90°
∴∠DP1P2＝45°
∴∠P2P1B＝90°，即BP1⊥P1P2，
∴BP的最小值为BP1的长
在等腰直角BCP1中，CP1＝BC＝2
∴BP1＝2
∴PB的最小值是2
故选：D．
3．（2019•黄石）如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点E，AD：AB＝：1，将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，连接AF交BC于点G，且BG＝2，在AD边上有一点H，使得BH+EH的值最小，此时＝（　　）

A． B． C． D．
【解析】如图，设BD与AF交于点M．设AB＝a，AD＝a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB＝90°，tan∠ABD＝＝，
∴BD＝AC＝＝2a，∠ABD＝60°，
∴△ABE、△CDE都是等边三角形，
∴BE＝DE＝AE＝CE＝AB＝CD＝a．
∵将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，
∴BM垂直平分AF，BF＝AB＝a，DF＝DA＝a．
在△BGM中，∵∠BMG＝90°，∠GBM＝30°，BG＝2，
∴GM＝BG＝1，BM＝GM＝，
∴DM＝BD﹣BM＝2a﹣．
∵矩形ABCD中，BC∥AD，
∴△ADM∽△GBM，
∴＝，即＝，
∴a＝2，
∴BE＝DE＝AE＝CE＝AB＝CD＝2，AD＝BC＝6，BD＝AC＝4．
易证∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝∠ADB＝∠BDF＝∠CDF＝30°，
∴△ADF是等边三角形，
∵AC平分∠DAF，
∴AC垂直平分DF，
∴CF＝CD＝2．
作B点关于AD的对称点B′，连接B′E，设B′E与AD交于点H，则此时BH+EH＝B′E，值最小．
如图，建立平面直角坐标系，则A（3，0），B（3，2），B′（3，﹣2），E（0，），
易求直线B′E的解析式为y＝﹣x+，
∴H（1，0），
∴BH＝＝4，
∴＝＝．
故选：B．

4．（2019•包头）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣3，﹣2），B（0，﹣2），C（﹣3，0），M是线段AB上的一个动点，连接CM，过点M作MN⊥MC交y轴于点N，若点M、N在直线y＝kx+b上，则b的最大值是（　　）

A．﹣ B．﹣ C．﹣1 D．0
【解析】连接AC，则四边形ABOC是矩形，∴∠A＝∠ABO＝90°，
又∵MN⊥MC，
∴∠CMN＝90°，
∴∠AMC＝∠MNB，
∴△AMC∽△NBM，
∴，
设BN＝y，AM＝x．则MB＝3﹣x，ON＝2﹣y，
∴，即：y＝x2+x
∴当x＝﹣＝﹣时，y最大＝×（）2+＝，
∵直线y＝kx+b与y轴交于N（0，b）
当BN最大，此时ON最小，点N （0，b）越往上，b的值最大，
∴ON＝OB﹣BN＝2﹣＝，
此时，N（0，）
b的最大值为．
故选：A．









5．如图，正三角形ABC的边长为3+，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和EFPH，使得D、E、F在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，这两个正方形面积和的最小值是　　，最大值是　99﹣54　．

【解析】设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n，它们的面积和为S，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，AB＝3+，
在Rt△ADN中，AD＝DN＝m，
在Rt△BPF中，BF＝PF＝n，
∵AD+DE+EF+BF＝AB，
∴m+m+n+n＝3+，
∴m+n＝3，
∴n＝3﹣m，
∴S＝m2+n2＝m2+（3﹣m）2＝2（m﹣）2+
当点M落在BC上，则正方形DEMN的边长最小，正方形EFPH的边长最大，如图，
在Rt△ADN中，AD＝DN，AN＝DN，
∴DN+DN＝3+，解得DN＝3﹣3，
在Rt△BPF中，BF＝PF，
∴（3﹣3）+3﹣3+EF+PF＝3+，解得PF＝6﹣9，
∴6﹣3≤m≤3﹣3，
∴当m＝时，S最小，S的最小值为；当m＝3﹣3时，S最大，S的最大值＝2（3﹣3﹣）2+＝99﹣54．
故答案为；99﹣54．









6．如图，平面直角坐标系中，A、B在x轴上，A（2，0）、B（8，0），点C为y轴上一动点，当∠ACB最大时，C点坐标为　（0，4）或（0，﹣4）　．

【解析】当过A、B两点的⊙P与y轴正半轴相切于C时，∠ACB最大时，
作PH⊥AB于H，连结PC、PA，如图，
∵A（2，0）、B（8，0），
∴OA＝2，AB＝6，
∵PH⊥AB，
∴AH＝BH＝3，
∴OH＝OA+AH＝5，
∵⊙P与y轴相切，
∴PC⊥y轴，
∴四边形PHOC为矩形，
∴OC＝PH，PC＝OH＝5，
在Rt△PAH中，∵AH＝3，PA＝5，
∴PH＝＝4，
∴OC＝4，
∴C点坐标为（0，4），
当⊙P与y轴的负半轴相切时，C点坐标为（0，﹣4）．
故答案为（0，4）或（0，﹣4）．
7．（2019•威海）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上运动，且始终保持线段AB＝4的长度不变．M为线段AB的中点，连接OM．则线段OM长度的最小值是　　（用含k的代数式表示）．

【解析】如图，因为反比例函数关于直线y＝x对称，观察图象可知：当线段AB与直线y＝x垂直时，垂足为M，此时AM＝BM，OM的值最小，
∵M为线段AB的中点，
∴OA＝OB，
∵点A，B在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴点A与点B关于直线y＝x对称，
∵AB＝4，
∴可以假设A（m，），则B（m+4，﹣4），
∴（m+4）（﹣4）＝k，整理得k＝m2+4m，
∴A（m，m+4），B（m+4，m），
∴M（m+2，m+2），
∴OM＝＝＝，
∴OM的最小值为．
故答案为．
8．（2019•凉山州）如图，正方形ABCD中，AB＝12，AE＝AB，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作PQ⊥EP，交CD于点Q，则CQ的最大值为　4　．

【解析】∵∠BEP+∠BPE＝90°，∠QPC+∠BPE＝90°，
∴∠BEP＝∠CPQ．
又∠B＝∠C＝90°，
∴△BPE∽△CQP．∴．
设CQ＝y，BP＝x，则CP＝12﹣x．
∴，化简得y＝﹣（x2﹣12x），
整理得y＝﹣（x﹣6）2+4，所以当x＝6时，y有最大值为4．
故答案为4．
9．（2019•东营）如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是　　．

【解析】∵点M，N分别是BC，AC的中点，
∴MN＝AB，
∴当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB是直径时，AB最大，
连接AO并延长交⊙O于点B′，连接CB′，
∵AB′是⊙O的直径，
∴∠ACB′＝90°．
∵∠ABC＝45°，AC＝5，
∴∠AB′C＝45°，
∴AB′＝＝＝5，
∴MN最大＝．故答案为：．
10．（2019•乐山）如图，点P是双曲线C：y＝（x＞0）上的一点，过点P作x轴的垂线交直线AB：y＝x﹣2于点Q，连结OP，OQ．当点P在曲线C上运动，且点P在Q的上方时，△POQ面积的最大值是　3　．

【解析】∵PQ⊥x轴，
∴设P（x，），则Q（x，x﹣2），
∴PQ＝﹣x+2，
∴S△POQ＝（﹣+2）•x＝﹣（x﹣2）2+3，
∵﹣＜0，
∴△POQ面积有最大值，最大值是3，
故答案为3．

11．（2019•宿迁）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE＝1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为　　．

【解析】由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动
将△EFB绕点E旋转60°，使EF与EG重合，得到△EFB≌△EHG
从而可知△EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上
作CM⊥HN，则CM即为CG的最小值
作EP⊥CM，可知四边形HEPM为矩形，
则CM＝MP+CP＝HE+EC＝1+＝
故答案为．








12．（2019•北仑区模拟）如图，菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，E是边AD的中点，F是边BC上的一个动点，EG＝EF，且∠GEF＝60°，则GB+GC的最小值为　2　．

【解析】取AB与CD的中点M，N，连接MN，作点B关于MN的对称点E'，连接E'C，E'B，
此时CE的长就是GB+GC的最小值；
∵MN∥AD，
∴HM＝AE，
∵HB⊥HM，AB＝4，∠A＝60°，
∴MB＝2，∠HMB＝60°，
∴HM＝1，
∴AE'＝2，
∴E点与E'点重合，
∵∠AEB＝∠MHB＝90°，
∴∠CBE＝90°，
在Rt△EBC中，EB＝2，BC＝4，
∴EC＝2，
故答案为2；


13．（2019•成都）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为　　．

【解析】∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，
∴AB＝CD＝1，∠ABD＝30°，
∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，
∴A′B′＝AB＝1，A′B′∥AB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAD＝120°，
∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，
∴四边形A′B′CD是平行四边形，
∴A′D＝B′C，
∴A'C+B'C的最小值＝A′C+A′D的最小值，
∵点A′在过点A且平行于BD的定直线上，
∴作点D关于定直线的对称点E，连接CE交定直线于A′，
则CE的长度即为A'C+B'C的最小值，
∵∠A′AD＝∠ADB＝30°，AD＝1，
∴∠ADE＝60°，DH＝EH＝AD＝，
∴DE＝1，
∴DE＝CD，
∵∠CDE＝∠EDB′+∠CDB＝90°+30°＝120°，
∴∠E＝∠DCE＝30°，
∴CE＝2×CD＝．
故答案为：．

14．（2019•广元）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，点P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是　6+3　．

【解析】过O作OM⊥AC于M，延长MO交⊙O于P，
则此时，点P到AC的距离最大，且点P到AC距离的最大值＝PM，
∵OM⊥AC，∠A＝∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，
∴OP＝OA＝6，
∴OM＝OA＝×6＝3，
∴PM＝OP+OM＝6+3，
∴则点P到AC距离的最大值是6+3，
故答案为：6+3．

15．（2019•眉山）如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝4．⊙O的半径为2，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ长的最小值为　2　．

【解析】连接OQ．
∵PQ是⊙O的切线，
∴OQ⊥PQ；
根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，
∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，
∵在Rt△AOB中，OA＝OB＝4，
∴AB＝OA＝8，
∴OP＝＝4，
∴PQ＝＝2．
故答案为2．

16．（2019•通辽）如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的一点，且AM＝AD，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则A′C长度的最小值是　﹣1　．

【解析】过点M作MH⊥CD交CD延长线于点H，连接CM，
∵AM＝AD，AD＝CD＝3
∴AM＝1，MD＝2
∵CD∥AB，
∴∠HDM＝∠A＝60°
∴HD＝MD＝1，HM＝HD＝
∴CH＝4
∴MC＝＝
∵将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，
∴AM＝A'M＝1，
∴点A'在以M为圆心，AM为半径的圆上，
∴当点A'在线段MC上时，A'C长度有最小值
∴A'C长度的最小值＝MC﹣MA'＝﹣1
故答案为：﹣1

17（2019•营口）如图，△ABC是等边三角形，点D为BC边上一点，BD＝DC＝2，以点D为顶点作正方形DEFG，且DE＝BC，连接AE，AG．若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为　8　．

【解析】过点A作AM⊥BC于M，
∵BD＝DC＝2，
∴DC＝4，
∴BC＝BD+DC＝2+4＝6，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝BC＝6，
∵AM⊥BC，
∴BM＝BC＝×6＝3，
∴DM＝BM﹣BD＝3﹣2＝1，
在Rt△ABM中，AM＝＝＝3，
当点E在DA延长线上时，AE＝DE﹣AD．
此时AE取最小值，
在Rt△ADM中，AD＝＝＝2，
∴在Rt△ADG中，AG＝＝＝8；
故答案为：8．

18．（2019•舟山）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上，边AC与EF重合，AC＝12cm．当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动．当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为　（24﹣12）　cm；连接BD，则△ABD的面积最大值为　（24+36﹣12）　cm2．

【解析】∵AC＝12cm，∠A＝30°，∠DEF＝45°
∴BC＝4cm，AB＝8cm，ED＝DF＝6cm
如图，当点E沿AC方向下滑时，得△E'D'F'，过点D'作D'N⊥AC于点N，作D'M⊥BC于点M

∴∠MD'N＝90°，且∠E'D'F'＝90°
∴∠E'D'N＝∠F'D'M，且∠D'NE'＝∠D'MF'＝90°，E'D'＝D'F'
∴△D'NE'≌△D'MF'（AAS）
∴D'N＝D'M，且D'N⊥AC，D'M⊥CM
∴CD'平分∠ACM
即点E沿AC方向下滑时，点D'在射线CD上移动，
∴当E'D'⊥AC时，DD'值最大，最大值＝ED﹣CD＝（12﹣6）cm
∴当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长＝2×（12﹣6）＝（24﹣12）cm
如图，连接BD'，AD'，

∵S△AD'B＝S△ABC+S△AD'C﹣S△BD'C
∴S△AD'B＝BC×AC+×AC×D'N﹣×BC×D'M＝24+（12﹣4）×D'N
当E'D'⊥AC时，S△AD'B有最大值，
∴S△AD'B最大值＝24+（12﹣4）×6＝（24+36﹣12）cm2．
故答案为：（24﹣12），（24+36﹣12）
19．（2019•十堰）如图，正方形ABCD和Rt△AEF，AB＝5，AE＝AF＝4，连接BF，DE．若△AEF绕点A旋转，当∠ABF最大时，S△ADE＝　6　．

【解析】作DH⊥AE于H，如图，
∵AF＝4，当△AEF绕点A旋转时，点F在以A为圆心，4为半径的圆上，
∴当BF为此圆的切线时，∠ABF最大，即BF⊥AF，
在Rt△ABF中，BF＝＝3，
∵∠EAF＝90°，
∴∠BAF+∠BAH＝90°，
∵∠DAH+∠BAH＝90°，
∴∠DAH＝∠BAF，
在△ADH和△ABF中
，
∴△ADH≌△ABF（AAS），
∴DH＝BF＝3，
∴S△ADE＝AE•DH＝×3×4＝6．
故答案为6．


20．（2019•黄冈）如图，AC，BD在AB的同侧，AC＝2，BD＝8，AB＝8，点M为AB的中点，若∠CMD＝120°，则CD的最大值是　14　．

【解析】如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′．
∵∠CMD＝120°，
∴∠AMC+∠DMB＝60°，
∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，
∴∠A′MB′＝60°，
∵MA′＝MB′，
∴△A′MB′为等边三角形
∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝2+4+8＝14，
∴CD的最大值为14，
故答案为14．



21．（2019•嘉兴）如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为　　．

【解析】连接OD，如图，
∵CD⊥OC，
∴∠DCO＝90°，
∴CD＝＝，
当OC的值最小时，CD的值最大，
而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，
∴CD＝CB＝AB＝×1＝，
即CD的最大值为，
故答案为：．

22．（2019•连云港）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是　3　．

【解析】方法1、解：如图，过点A作AG⊥BD于G，
∵BD是矩形的对角线，
∴∠BAD＝90°，
∴BD＝＝5，
∵AB•AD＝BD•AG，
∴AG＝，
∵BD是⊙C的切线，
∴⊙C的半径为
过点P作PE⊥BD于E，
∴∠AGT＝∠PET，
∵∠ATG＝∠PTE，
∴△AGT∽△PET，
∴，
∴＝×PE
∵＝＝1+，要最大，则PE最大，
∵点P是⊙C上的动点，BD是⊙C的切线，
∴PE最大为⊙C的直径，即：PE最大＝，
∴最大值为1+＝3，
故答案为3．
方法2、解：如图，
过点P作PE∥BD交AB的延长线于E，
∴∠AEP＝∠ABD，△APE∽△ATB，
∴，
∵AB＝4，
∴AE＝AB+BE＝4+BE，
∴，
∴BE最大时，最大，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝3，CD＝AB＝4，
过点C作CH⊥BD于H，交PE于M，并延长交AB于G，
∵BD是⊙C的切线，
∴∠GME＝90°，
在Rt△BCD中，BD＝＝5，
∵∠BHC＝∠BCD＝90°，∠CBH＝∠DBC，
∴△BHC∽△BCD，
∴，
∴，
∴BH＝，CH＝，
∵∠BHG＝∠BAD＝90°，∠GBH＝∠DBA，
∴△BHG∽△BAD，
∴＝，
∴，
∴HG＝，BG＝，
在Rt△GME中，GM＝EG•sin∠AEP＝EG×＝EG，
而BE＝GE﹣BG＝GE﹣，
∴GE最大时，BE最大，
∴GM最大时，BE最大，
∵GM＝HG+HM＝+HM，
即：HM最大时，BE最大，
延长MC交⊙C于P'，此时，HM最大＝HP'＝2CH＝，
∴GP'＝HP'+HG＝，
过点P'作P'F∥BD交AB的延长线于F，
∴BE最大时，点E落在点F处，
即：BE最大＝BF，
在Rt△GP'F中，FG＝＝＝＝，
∴BF＝FG﹣BG＝8，
∴最大值为1+＝3，
故答案为：3．



23．（2019•无锡）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为　8　．

【解析】过点C作CG⊥BA于点G，作EH⊥AB于点H，作AM⊥BC于点M．
∵AB＝AC＝5，BC＝4，
∴BM＝CM＝2，
易证△AMB∽△CGB，
∴，
即
∴GB＝8，
设BD＝x，则DG＝8﹣x，
易证△EDH≌△DCG（AAS），
∴EH＝DG＝8﹣x，
∴S△BDE＝＝＝，
当x＝4时，△BDE面积的最大值为8．
故答案为8．




24．（2019秋•嘉兴期末）一副三角板与如图放置，点在边上滑动，交于点，交于点，且在滑动过程中始终保持，若，则面积的最大值是　　

A．3 B． C． D．
【解析】如图，作于，
，，，
，
，
，
，
，，
，，
设，则，
，
面积的最大值是，故选：．

25．如图，已知矩形，，，点为矩形内一点，点为边上任意一点，则的最小值为　　．

【解析】将绕点逆时针旋转得到△，

由性质的性质可知：，和均为等边三角形，
，
，
、、共线时最短，
由于点也为动点，
当时最短，此时易求得，
的最小值为．
26．（2012•金牛区校级二模）如图，在△AOB中，OA＝OB＝8，∠AOB＝90°，矩形CDEF的顶点C、D、F分别在边AO、OB、AB上，若tanCDO＝，则矩形CDEF面积的最大值s＝　　．

【解析】设CD＝x，CF＝y．过F作FH⊥AO于H．在 Rt△COD中，
∵，∴．∴．
∵∠FCH+∠OCD＝90°，∴∠FCH＝∠CDO．
∴．∴．
∵△AHF是等腰直角三角形，∴．
∴AO＝AH+HC+CO．
∴．∴．
易知，
∴当x＝5时，矩形CDEF面积的最大值为．
故答案为：．
27．（2019•雁塔区校级一模）问题提出：
（1）如图1，在四边形中，，，，，则四边形的面积为　　；
问题探究：
（2）如图2，在四边形中，，，，，在、上分别找一点、，使得的周长最小，并求出的最小周长；
问题解决：
（3）如图3，在四边形中，，，，，则在四边形中（包含其边沿）是否存在一点，使得，且使四边形的面积最大．若存在，找出点的位置，并求出四边形的最大面积；若不存在，请说明理由．

【解析】（1），，

，且
，且

四边形的面积
故答案为：
（2）如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，交于点，交于点，过点作，交的延长线于点，
点，点关于对称
，，

点，点关于对称
，
的周长
，
，且，

，且，
，
，
在中，
的最小周长为
（3）作的外接圆，交于点，连接，，过点作于点，作于点，
四边形是圆内接四边形

，
，，，
四边形是矩形
，，，
，
，且
，
，
，
，，
，

点在垂直平分线上，
，且是定值，长度是定值，点在的外接圆上，
当点在的垂直平分线上时，最大

28．（2010•滨州模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形是等腰梯形，、在轴上，在轴上，，，，，抛物线过、两点．
（1）求、；
（2）设是轴上方抛物线上的一动点，它到轴与轴的距离之和为，求的最大值；
（3）当（2）中点运动到使取最大值时，此时记点为，设线段与轴交于点，为线段上一动点，求到点与到轴的距离之和的最小值，并求此时点的坐标．

【解析】（1）易得，，，
把，；
，分别代入，
得，解得．（3分）
（2）设点坐标为，
．
①当时，，
所以，当时，取最大值，值为4；
②当时，
所以，当时，取最大值，最大值为8；
综合①、②得，的最大值为8．
（不讨论的取值情况得出正确结果的得2分）

（3）点的坐标为，
过作轴的平行线，过作轴交于点，过作轴于，
，平分，

，
所以，当、、在一条直线上时，最小，最小值为5．
易求直线的函数关系式为，把代入得，
所以点的坐标为．


29．（2019•淮安）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝100°，D是BC的中点．
小明对图①进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB．将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80°，点B的对应点是点E，连接BE，得到△BPE．小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧．
请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：
（1）当点E在直线AD上时，如图②所示．
①∠BEP＝　50　°；
②连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是　EC∥AB　．
（2）请在图③中画出△BPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE．试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由．
（3）当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值．

【解析】（1）①如图②中，
∵∠BPE＝80°，PB＝PE，
∴∠PEB＝∠PBE＝50°，
②结论：AB∥EC．
理由：∵AB＝AC，BD＝DC，
∴AD⊥BC，
∴∠BDE＝90°，
∴∠EBD＝90°﹣50°＝40°，
∵AE垂直平分线段BC，
∴EB＝EC，
∴∠ECB＝∠EBC＝40°，
∵AB＝AC，∠BAC＝100°，
∴∠ABC＝∠ACB＝40°，
∴∠ABC＝∠ECB，
∴AB∥EC．
故答案为50，AB∥EC．

（2）如图③中，以P为圆心，PB为半径作⊙P．
∵AD垂直平分线段BC，
∴PB＝PC，
∴∠BCE＝∠BPE＝40°，
∵∠ABC＝40°，
∴AB∥EC．

（3）如图④中，作AH⊥CE于H，
∵点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，
∴当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值＝AB＝3．