专题12二次函数压轴解答题（共44道）-2020年中考数学真题分项汇编（解析版）【全国通用】

这是一份专题12二次函数压轴解答题（共44道）-2020年中考数学真题分项汇编（解析版）【全国通用】，共92页。试卷主要包含了三点，综合与探究等内容，欢迎下载使用。

2020年中考数学真题分项汇编（全国通用）
专题12二次函数压轴解答题（共44道）
一．解答题（共44小题）
1．（2020•衡阳）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；
（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．

【分析】（1）由二次函数的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，组成方程组再解即可求得二次函数的表达式；
（2）求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当x＝﹣2，函数有最大值4；当x=12是函数有最小值-94，进而求得它们的差；
（3）由题意得x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，因为a＜2＜b，a≠b，△＝（m﹣3）2﹣4×（m﹣4）＝（m﹣5）2＞0，把x＝3代入（2﹣m）x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，解得m＜-12．
【解析】（1）由二次函数y＝x2+px+q的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，
∴1-p+q=04+2p+q=0，解得p=-1q=-2，
∴此二次函数的表达式y＝x2﹣x﹣2；
（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=-1+22=12，
∴在﹣2≤x≤1范围内，当x＝﹣2，函数有最大值为：y＝4+2﹣2＝4；当x=12是函数有最小值：y=14-12-2=-94，
∴的最大值与最小值的差为：4﹣（-94）=254；
（3）∵y＝（2﹣m）x+2﹣m与二次函数y＝x2﹣x﹣2图象交点的横坐标为a和b，
∴x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得
x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0
∵a＜3＜b
∴a≠b
∴△＝（m﹣3）2﹣4×（m﹣4）＝（m﹣5）2＞0
∴m≠5
∵a＜3＜b
当x＝3时，（2﹣m）x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，
把x＝3代入（2﹣m）x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，解得m＜-12
∴m的取值范围为m＜-12．

2．（2020•河南）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点G的坐标；
（2）点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围．

【分析】（1）先求出点B，点A坐标，代入解析式可求c的值，即可求解；
（2）先求出点M，点N坐标，即可求解．
【解析】（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+c与y轴正半轴分别交于点B，
∴点B（0，c），
∵OA＝OB＝c，
∴点A（c，0），
∴0＝﹣c2+2c+c，
∴c＝3或0（舍去），
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点G为（1，4）；
（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴对称轴为直线x＝1，
∵点M，N为抛物线上两点（点M在点N的左侧），且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，
∴点M的横坐标为﹣2或4，点N的横坐标为6，
∴点M坐标为（﹣2，﹣5）或（4，﹣5），点N坐标（6，﹣21），
∵点Q为抛物线上点M，N之间（含点M，N）的一个动点，
∴﹣21≤yQ≤4．
3．（2020•凉山州）如图，二次函数y＝ax2+bx+x的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（32，32）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；
（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．

【分析】（1）将点O、A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）由点B的坐标知，直线BO的倾斜角为30°，则OB中垂线（CD）与x负半轴的夹角为60°，故设CD的表达式为：y=-3x+b，而OB中点的坐标为（34，34），将该点坐标代入CD表达式，即可求解；
（3）过点P作y轴额平行线交CD于点H，PH=-3x+3-（233x2-233x）=-233x2-33x+3，即可求解．
【解析】（1）将点O、A、B的坐标代入抛物线表达式得c=0a+b+c=032=94a+32b+c，解得a=-233b=-233c=0，
故抛物线的表达式为：y=233x2-233x；
（2）由点B的坐标知，直线BO的倾斜角为30°，则OB中垂线（CD）与x负半轴的夹角为60°，
故设CD的表达式为：y=-3x+b，而OB中点的坐标为（34，34），
将该点坐标代入CD表达式并解得：b=3，
故直线CD的表达式为：y=-3x+3；
（3）设点P（x，233x2-233x），则点Q（x，-3x+3），

则PQ=-3x+3-（233x2-233x）=-233x2-33x+3，
∵-233＜0，故PQ有最大值，此时点P的坐标为（-14，27316）．
4．（2020•黑龙江）如图，已知二次函数y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A、B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C，已知△BAC的面积是6．
（1）求a的值；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC．若存在请求出P坐标，若不存在请说明理由．

【分析】（1）由y＝﹣x2+（a+1）x﹣a，令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0，可求出A、B坐标结合三角形的面积，解出a＝﹣3；
（2）根据题意P的纵坐标为±3，分别代入解析式即可求得横坐标，从而求得P的坐标．
【解析】（1）∵y＝﹣x2+（a+1）x﹣a，
令x＝0，则y＝﹣a，
∴C（0，﹣a），
令y＝0，即﹣x2+（a+1）x﹣a＝0
解得x1＝a，x2＝1
由图象知：a＜0
∴A（a，0），B（1，0）
∵S△ABC＝6
∴12（1﹣a）（﹣a）＝6
解得：a＝﹣3，（a＝4舍去）；
（2）∵a＝﹣3，
∴C（0，3），
∵S△ABP＝S△ABC．
∴P点的纵坐标为±3，
把y＝3代入y＝﹣x2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3＝3，解得x＝0或x＝﹣2，
把y＝﹣3代入y＝﹣x2﹣2x+3得﹣x2﹣2x+3＝﹣3，解得x＝﹣1+7或x＝﹣1-7，
∴P点的坐标为（﹣2，3）或（﹣1+7，﹣3）或（﹣1-7，﹣3）．
5．（2020•杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝x2+bx+a，y2＝ax2+bx+1（a，b是实数，a≠0）．
（1）若函数y1的对称轴为直线x＝3，且函数y1的图象经过点（a，b），求函数y1的表达式．
（2）若函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，求证：函数y2的图象经过点（1r，0）．
（3）设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m+n＝0，求m，n的值．
【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，可得r2+br+a＝0，推出1+br+ar2=0，即a（1r）2+b•1r+1＝0，推出1r是方程ax2+bx+1的根，可得结论．
（3）由题意a＞0，∴m=4a-b24，n=4a-b24a，根据m+n＝0，构建方程可得结论．
【解析】（1）由题意，得到-b2=3，解得b＝﹣6，
∵函数y1的图象经过（a，﹣6），
∴a2﹣6a+a＝﹣6，
解得a＝2或3，
∴函数y1＝x2﹣6x+2或y1＝x2﹣6x+3．

（2）∵函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，
∴r2+br+a＝0，
∴1+br+ar2=0，
即a（1r）2+b•1r+1＝0，
∴1r是方程ax2+bx+1的根，
即函数y2的图象经过点（1r，0）．
（3）由题意a＞0，∴m=4a-b24，n=4a-b24a，
∵m+n＝0，
∴4a-b24+4a-b24a=0，
∴（4a﹣b2）（a+1）＝0，
∵a+1＞0，
∴4a﹣b2＝0，
∴m＝n＝0．
6．（2020•安徽）在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（2，3），C（2，1），直线y＝x+m经过点A，抛物线y＝ax2+bx+1恰好经过A，B，C三点中的两点．
（1）判断点B是否在直线y＝x+m上，并说明理由；
（2）求a，b的值；
（3）平移抛物线y＝ax2+bx+1，使其顶点仍在直线y＝x+m上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值．
【分析】（1）根据待定系数法求得直线的解析式，然后即可判断点B（2，3）在直线y＝x+m上；
（2）因为直线经过A、B和点（0，1），所以经过点（0，1）的抛物线不同时经过A、B点，即可判断抛物线只能经过A、C两点，根据待定系数法即可求得a、b；
（3）设平移后的抛物线为y＝﹣x+px+q，其顶点坐标为（p2，p24+q），根据题意得出p24+q=p2+1，由抛物线y＝﹣x+px+q与y轴交点的纵坐标为q，即可得出q=p24-p2-1=-14（p﹣1）2+54，从而得出q的最大值．
【解析】（1）点B是在直线y＝x+m上，理由如下：
∵直线y＝x+m经过点A（1，2），
∴2＝1+m，解得m＝1，
∴直线为y＝x+1，
把x＝2代入y＝x+1得y＝3，
∴点B（2，3）在直线y＝x+m上；
（2）∵直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+bx+1都经过点（0，1），且B、C两点的横坐标相同，
∴抛物线只能经过A、C两点，
把A（1，2），C（2，1）代入y＝ax2+bx+1得a+b+1=24a+2b+1=1，
解得a＝﹣1，b＝2；
（3）由（2）知，抛物线为y＝﹣x2+2x+1，
设平移后的抛物线为y＝﹣x+px+q，其顶点坐标为（p2，p24+q），
∵顶点仍在直线y＝x+1上，
∴p24+q=p2+1，
∴q=p24-p2-1，
∵抛物线y＝﹣x+px+q与y轴的交点的纵坐标为q，
∴q=p24-p2-1=-14（p﹣1）2+54，
∴当p＝1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为54．
7．（2020•陕西）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．

【分析】（1）将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式，即可求解；
（2）由题意得：PD＝DE＝3时，以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，分点P在抛物线对称轴右侧、点P在抛物线对称轴的左侧两种情况，分别求解即可．
【解析】（1）将点（3，12）和（﹣2，﹣3）代入抛物线表达式得12=9+3b+c-3=4-2b+c，解得b=2c=-3，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）抛物线的对称轴为x＝﹣1，令y＝0，则x＝﹣3或1，令x＝0，则y＝﹣3，
故点A、B的坐标分别为（﹣3，0）、（1，0）；点C（0，﹣3），
故OA＝OC＝3，
∵∠PDE＝∠AOC＝90°，
∴当PD＝DE＝3时，以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，
设点P（m，n），当点P在抛物线对称轴右侧时，m﹣（﹣1）＝3，解得：m＝2，
故n＝22+2×2﹣5＝5，故点P（2，5），
故点E（﹣1，2）或（﹣1，8）；
当点P在抛物线对称轴的左侧时，由抛物线的对称性可得，点P（﹣4，5），此时点E坐标同上，
综上，点P的坐标为（2，5）或（﹣4，5）；点E的坐标为（﹣1，2）或（﹣1，8）．
8．（2020•武威）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB．点P是第三象限内抛物线上的一动点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若PC∥AB，求点P的坐标；
（3）连接AC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标．

【分析】（1）抛物线y＝ax2+bx﹣2，则c＝﹣2，故OC＝2，而OA＝2OC＝8OB，则OA＝﹣4，OB=12，确定点A、B、C的坐标；即可求解；
（2）抛物线的对称轴为x=-74，当PC∥AB时，点P、C的纵坐标相同，即可求解；
（3）△PAC的面积S＝S△PHA+S△PHC=12PH×OA，即可求解．
【解析】（1）抛物线y＝ax2+bx﹣2，则c＝﹣2，故OC＝2，
而OA＝2OC＝8OB，则OA＝﹣4，OB=12，
故点A、B、C的坐标分别为（﹣4，0）、（12，0）、（0，﹣2）；
则y＝a（x+4）（x-12）＝a（x2+72x﹣2）＝ax2+bx﹣2，故a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2+72x﹣2；
（2）抛物线的对称轴为x=-74，
当PC∥AB时，点P、C的纵坐标相同，根据函数的对称性得点P（-74，﹣2）；

（3）过点P作PH∥y轴交AC于点H，

由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y=-12x﹣2，
则△PAC的面积S＝S△PHA+S△PHC=12PH×OA=12×4×（-12x﹣2﹣x2-72x+2）＝﹣2（x+2）2+8，
∵﹣2＜0，
∴S有最大值，当x＝﹣2时，S的最大值为8，此时点P（﹣2，﹣5）．
9．（2020•齐齐哈尔）综合与探究
在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AB的函数解析式为　y＝x+4　，点M的坐标为　（﹣2，﹣2）　，cos∠ABO＝　22　；
连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为　（﹣2，2）或（0，4）　；
（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小．具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA'交y轴于点Q，连接AM、AQ，此时△AMQ的周长最小．请求出点Q的坐标；
（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式即可求解；
（2）点A（﹣4，0），OB＝OA＝4，故点B（0，4），即可求出AB的表达式；OP将△AOC的面积分成1：2的两部分，则AP=13AC或23AC，即可求解；
（3）△AMQ的周长＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M最小，即可求解；
（4）分AC是边、AC是对角线两种情况，分别求解即可．
【解析】（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得：12×16-4b+c=012×4+2b+c=6，解得b=2c=0，
故直线AB的表达式为：y=12x2+2x；

（2）点A（﹣4，0），OB＝OA＝4，故点B（0，4），
由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y＝x+4；
则∠ABO＝45°，故cos∠ABO=22；
对于y=12x2+2x，函数的对称轴为x＝﹣2，故点M（﹣2，﹣2）；
OP将△AOC的面积分成1：2的两部分，则AP=13AC或23AC，
则yPyC=13或23，即yP6=13或23，解得：yP＝2或4，
故点P（﹣2，2）或（0，4）；
故答案为：y＝x+4；（﹣2，﹣2）；22；（﹣2，2）或（0，4）；
（3）△AMQ的周长＝AM+AQ+MQ＝AM+A′M最小，
点A′（4，0），
设直线A′M的表达式为：y＝kx+b，则4k+b=0-2k+b=-2，解得k=13b=-43，
故直线A′M的表达式为：y=13x-43，
令x＝0，则y=-43，故点Q（0，-43）；

（4）存在，理由：
设点N（m，n），而点A、C、O的坐标分别为（﹣4，0）、（2，6）、（0，0），
①当AC是边时，
点A向右平移6个单位向上平移6个单位得到点C，同样点O（N）右平移6个单位向上平移6个单位得到点N（O），
即0±6＝m，0±6＝n，解得：m＝n＝±6，
故点N（6，6）或（﹣6，﹣6）；
②当AC是对角线时，
由中点公式得：﹣4+2＝m+0，6+0＝n+0，
解得：m＝﹣2，n＝6，
故点N（﹣2，6）；
综上，点N的坐标为（6，6）或（﹣6，﹣6）或（﹣2，6）．
10．（2020•枣庄）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）PN＝PQsin45°=22（-13m2+43m）=-26（m﹣2）2+223，即可求解；
（3）分AC＝CQ、AC＝AQ、CQ＝AQ三种情况，分别求解即可．
【解析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得9a-3b+4=016a+4b+4=0，解得a=-13b=13，
故抛物线的表达式为：y=-13x2+13x+4；
（2）由抛物线的表达式知，点C（0，4），
由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+4；
设点M（m，0），则点P（m，-13m2+13m+4），点Q（m，﹣m+4），
∴PQ=-13m2+13m+4+m﹣4=-13m2+43m，
∵OB＝OC，故∠ABC＝∠OCB＝45°，
∴∠PQN＝∠BQM＝45°，
∴PN＝PQsin45°=22（-13m2+43m）=-26（m﹣2）2+223，
∵-26＜0，故当m＝2时，PN有最大值为223；

（3）存在，理由：
点A、C的坐标分别为（﹣3，0）、（0，4），则AC＝5，
①当AC＝CQ时，过点Q作QE⊥y轴于点E，

则CQ2＝CE2+EQ2，即m2+[4﹣（﹣m+4）]2＝25，
解得：m＝±522（舍去负值），
故点Q（522，8-522）；
②当AC＝AQ时，则AQ＝AC＝5，
在Rt△AMQ中，由勾股定理得：[m﹣（﹣3）]2+（﹣m+4）2＝25，解得：m＝1或0（舍去0），
故点Q（1，3）；
③当CQ＝AQ时，则2m2＝[m＝（﹣3）]2+（﹣m+4）2，解得：m=252（舍去）；
综上，点Q的坐标为（1，3）或（522，8-522）．
11．（2020•上海）在平面直角坐标系xOy中，直线y=-12x+5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A．
（1）求线段AB的长；
（2）如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC=5，求这条抛物线的表达式；
（3）如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．

【分析】（1）先求出A，B坐标，即可得出结论；
（2）设点C（m，-12m+5），则BC=52|m，进而求出点C（2，4），最后将点A，C代入抛物线解析式中，即可得出结论；
（3）将点A坐标代入抛物线解析式中得出b＝﹣10a，代入抛物线解析式中得出顶点D坐标为（5，﹣25a），即可得出结论．
【解析】（1）针对于直线y=-12x+5，
令x＝0，y＝5，
∴B（0，5），
令y＝0，则-12x+5＝0，
∴x＝10，
∴A（10，0），
∴AB=52+102=55；
（2）设点C（m，-12m+5），
∵B（0，5），
∴BC=m2+(-12m+5-5)2=52|m|，
∵BC=5，
∴52|m|=5，
∴m＝±2，
∵点C在线段AB上，
∴m＝2，
∴C（2，4），
将点A（10，0），C（2，4）代入抛物线y＝ax2+bx（a≠0）中，得100a+10b=04a+2b=4，
∴a=-14b=52，
∴抛物线y=-14x2+52x；
（3）∵点A（10，0）在抛物线y＝ax2+bx中，得100a+10b＝0，
∴b＝﹣10a，
∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣10ax＝a（x﹣5）2﹣25a，
∴抛物线的顶点D坐标为（5，﹣25a），
将x＝5代入y=-12x+5中，得y=-12×5+5=52，
∵顶点D位于△AOB内，
∴0＜﹣25a＜52，
∴-110＜a＜0；
12．（2020•苏州）如图，二次函数y＝x2+bx的图象与x轴正半轴交于点A，平行于x轴的直线l与该抛物线交于B、C两点（点B位于点C左侧），与抛物线对称轴交于点D（2，﹣3）．
（1）求b的值；
（2）设P、Q是x轴上的点（点P位于点Q左侧），四边形PBCQ为平行四边形．过点P、Q分别作x轴的垂线，与抛物线交于点P'（x1，y1）、Q'（x2，y2）．若|y1﹣y2|＝2，求x1、x2的值．

【分析】（1）抛物线的对称轴为x＝2，即12b＝2，解得：b＝﹣4，即可求解；
（2）求出点B、C的坐标分别为（1，﹣3）、（3，﹣3），则BC＝2，而四边形PBCQ为平行四边形，则PQ＝BC＝2，故x2﹣x1＝2，即可求解．
【解析】（1）直线与抛物线的对称轴交于点D（2，﹣3），
故抛物线的对称轴为x＝2，即12b＝2，解得：b＝﹣4，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x；

（2）把y＝﹣3代入y＝x2﹣4x并解得x＝1或3，
故点B、C的坐标分别为（1，﹣3）、（3，﹣3），则BC＝2，
∵四边形PBCQ为平行四边形，
∴PQ＝BC＝2，故x2﹣x1＝2，
又∵y1＝x12﹣4x1，y2＝x22﹣4x2，|y1﹣y2|＝2，
故|（x12﹣4x1）﹣（x22﹣4x2）＝2，|x1+x2﹣4|＝1．
∴x1+x2＝5或x1+x2＝﹣3，
由x2-x1=2x1+x2=5，解得x1=32x2=72；
由x2-x1=2x1+x2=3，解得x1=12x2=52．
13．（2020•台州）用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）．
科学原理：如图2，始终盛满水的圆柱体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单位：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系式为s2＝4h（H﹣h）．

应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连续注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离hcm处开一个小孔．
（1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少？
（2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式；
（3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求垫高的高度及小孔离水面的竖直距离．
【分析】（1）将s2＝4h（20﹣h）写成顶点式，按照二次函数的性质得出s2的最大值，再求s2的算术平方根即可；
（2）设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则4a（20﹣a）＝4b（20﹣b），利用因式分解变形即可得出答案；
（3）设垫高的高度为m，写出此时s2关于h的函数关系式，根据二次函数的性质可得答案．
【解析】（1）∵s2＝4h（H﹣h），
∴当H＝20cm时，s2＝4h（20﹣h）＝﹣4（h﹣10）2+400，
∴当h＝10cm时，s2有最大值400，
∴当h＝10cm时，s有最大值20cm．
∴当h为10cm时，射程s有最大值，最大射程是20cm；
（2）∵s2＝4h（20﹣h），
设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则有：
4a（20﹣a）＝4b（20﹣b），
∴20a﹣a2＝20b﹣b2，
∴a2﹣b2＝20a﹣20b，
∴（a+b）（a﹣b）＝20（a﹣b），
∴（a﹣b）（a+b﹣20）＝0，
∴a﹣b＝0，或a+b﹣20＝0，
∴a＝b或a+b＝20；
（3）设垫高的高度为m，则s2＝4h（20+m﹣h）＝﹣4(h-20+m2)2+（20+m）2，
∴当h=20+m2cm时，smax＝20+m＝20+16，
∴m＝16cm，此时h=20+m2=18cm．
∴垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm．
14．（2020•绍兴）如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m，即BA＝2.88m，这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2．
（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．
（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：2取1.4）

【分析】（1）求出抛物线表达式；再确定x＝9和x＝18时，对应函数的值即可求解；
（2）当y＝0时，y=-150（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），求出PQ＝62=8.4，即可求解．
【解析】（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣7）2+2.88，
将x＝0，y＝1.9代入上式并解得：a=-150，
故抛物线的表达式为：y=-150（x﹣7）2+2.88；
当x＝9时，y=-150（x﹣7）2+2.88＝2.8＞2.24，
当x＝18时，y=-150（x﹣7）2+2.88＝0.46＞0，
故这次发球过网，但是出界了；
（2）如图，分别过点作底线、边线的平行线PQ、OQ交于点Q，

在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17，
当y＝0时，y=-150（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），
∴OP＝19，而OQ＝17，
故PQ＝62=8.4，
∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1，
∴发球点O在底线上且距右边线0.1米处．
15．（2020•宁波）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+4x﹣3图象的顶点是A，与x轴交于B，C两点，与y轴交于点D．点B的坐标是（1，0）．
（1）求A，C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围．
（2）平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．

【分析】（1）利用待定系数法求出a，再求出点C的坐标即可解决问题．
（2）由题意点D平移的A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，由此可得抛物线的解析式．
【解析】（1）把B（1，0）代入y＝ax2+4x﹣3，得0＝a+4﹣3，解得a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴A（2，1），
∵对称轴x＝2，B，C关于x＝2对称，
∴C（3，0），
∴当y＞0时，1＜x＜3．

（2）∵D（0，﹣3），
∴点D平移的A，抛物线向右平移2个单位，向上平移4个单位，可得抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+5．
16．（2020•泸州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）经过点B的直线交y轴于点D，交线段AC于点E，若BD＝5DE．
①求直线BD的解析式；
②已知点Q在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为1，点P是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l右侧，点R是直线BD上的动点，若△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，求点P的坐标．

【分析】（1）根据交点式设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入抛物线交点式中，即可求出a，即可得出结论；
（2）①先利用待定系数法求出直线AC的解析式，再利用相似三角形得出比例式求出BF，进而得出点E坐标，最后用待定系数法，即可得出结论；
②先确定出点Q的坐标，设点P（x，-12x2+x+4）（1＜x＜4），得出PG＝x﹣1，GQ=-12x2+x+3，再利用三垂线构造出△PQG≌△QRH（AAS），得出RH＝GQ=-12x2+x+3，QH＝PG＝x﹣1，进而得出R（-12x2+x+4，2﹣x），最后代入直线BD的解析式中，即可求出x的值，即可得出结论．
【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），
将点C坐标（0，4）代入抛物线的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4）中，得﹣8a＝4，
∴a=-12，
∴抛物线的解析式为y=-12（x+2）（x﹣4）=-12x2+x+4；

（2）①如图1，
设直线AC的解析式为y＝kx+b'，
将点A（﹣2，0），C（0，4），代入y＝kx+b'中，得-2k+b'=0b'=4，
∴k=2b'=4，
∴直线AC的解析式为y＝2x+4，
过点E作EF⊥x轴于F，
∴OD∥EF，
∴△BOD∽△BFE，
∴OBBF=BDBE，
∵B（4，0），
∴OB＝4，
∵BD＝5DE，
∴BDBE=BDBD+DE=5DE5DE+BE=56，
∴BF=BEBD×OB=65×4=245，
∴OF＝BF﹣OB=245-4=45，
将x=-45代入直线AC：y＝2x+4中，得y＝2×（-45）+4=125，
∴E（-45，125），
设直线BD的解析式为y＝mx+n，
∴4m+n=0-45m+n=125，
∴m=-12n=2，
∴直线BD的解析式为y=-12x+2；
②∵抛物线与x轴的交点坐标为A（﹣2，0）和B（4，0），
∴抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴点Q（1，1），如图2，
设点P（x，-12x2+x+4）（1＜x＜4），
过点P作PG⊥l于G，过点R作RH⊥l于H，
∴PG＝x﹣1，GQ=-12x2+x+4﹣1=-12x2+x+3，
∵PG⊥l，∴∠PGQ＝90°，
∴∠GPQ+∠PQG＝90°，
∵△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，
∴PQ＝RQ，∠PQR＝90°，
∴∠PQG+∠RQH＝90°，
∴∠GPQ＝∠HQR，
∴△PQG≌△QRH（AAS），
∴RH＝GQ=-12x2+x+3，QH＝PG＝x﹣1，
∴R（-12x2+x+4，2﹣x），
由①知，直线BD的解析式为y=-12x+2，
∴x＝2或x＝4（舍），
当x＝2时，y=-12x2+x+4=-12×4+2+4＝4，
∴P（2，4）．


17．（2020•天津）已知点A（1，0）是抛物线y＝ax2+bx+m（a，b，m为常数，a≠0，m＜0）与x轴的一个交点．
（Ⅰ）当a＝1，m＝﹣3时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）若抛物线与x轴的另一个交点为M（m，0），与y轴的交点为C，过点C作直线1平行于x轴，E是直线1上的动点，F是y轴上的动点，EF＝22．
①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AE＝EF时，求点F的坐标；
②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是22？
【分析】（Ⅰ）将A（1，0）代入抛物线的解析式求出b＝2，由配方法可求出顶点坐标；
（Ⅱ）①根据题意得出a＝1，b＝﹣m﹣1．求出抛物线的解析式为y＝x2﹣（m+1）x+m．则点C（0，m），点E（m+1，m），过点A作AH⊥l于点H，由点A（1，0），得点H（1，m）．根据题意求出m的值，可求出CF的长，则可得出答案；
②得出CN=12EF=2．求出MC=-2m，当MC≥2，即m≤﹣1时，当MC＜2，即﹣1＜m＜0时，根据MN的最小值可分别求出m的值即可．
【解析】（Ⅰ）当a＝1，m＝﹣3时，抛物线的解析式为y＝x2+bx﹣3．
∵抛物线经过点A（1，0），
∴0＝1+b﹣3，
解得b＝2，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3．
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4）．
（Ⅱ）①∵抛物线y＝ax2+bx+m经过点A（1，0）和M（m，0），m＜0，
∴0＝a+b+m，0＝am2+bm+m，即am+b+1＝0．
∴a＝1，b＝﹣m﹣1．
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣（m+1）x+m．
根据题意得，点C（0，m），点E（m+1，m），
过点A作AH⊥l于点H，由点A（1，0），得点H（1，m）．

在Rt△EAH中，EH＝1﹣（m+1）＝﹣m，HA＝0﹣m＝﹣m，
∴AE=EH2+HA2=-2m，
∵AE＝EF＝22，
∴-2m＝22，
解得m＝﹣2．
此时，点E（﹣1，﹣2），点C（0，﹣2），有EC＝1．
∵点F在y轴上，
∴在Rt△EFC中，CF=EF2-EC2=7．
∴点F的坐标为（0，﹣2-7）或（0，﹣2+7）．
②由N是EF的中点，得CN=12EF=2．
根据题意，点N在以点C为圆心、2为半径的圆上，
由点M（m，0），点C（0，m），得MO＝﹣m，CO＝﹣m，
∴在Rt△MCO中，MC=MO2+CO2=-2m．
当MC≥2，即m≤﹣1时，满足条件的点N在线段MC上．
MN的最小值为MC﹣NC=-2m-2=22，解得m=-32；
当MC＜2，即﹣1＜m＜0时，满足条件的点N落在线段CM的延长线上，MN的最小值为NC﹣MC=2-（-2m）=22，
解得m=-12．
∴当m的值为-32或-12时，MN的最小值是22．
18．（2020•泰安）若一次函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为（3，0），二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A，B，C三点，如图（1）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图（1），过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC恰好平分∠DBE．求直线BE的表达式；
（3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接AP交BC于点F，连接BP，S△BFP＝mS△BAF．
①当m=12时，求点P的坐标；
②求m的最大值．

【分析】（1）函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，则点A、C的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3），将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）证明△BCD≌△BCM（AAS），则CM＝CD＝2，故OM＝3﹣2＝1，故点M（0，﹣1），即可求解；
（3）过点P作PN∥x轴交BC于点N，则△PFN∽△AFB，则AFPF=ABPN，而S△BFP＝mS△BAF，则AFPF=1m=4PN，解得：m=14PN，即可求解．
【解析】（1）一次函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，则点A、C的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3），
将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得0=a-b+c0=9a+3b+cc=-3，解得a=1b=-2c=-3，
故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）设直线BE交y轴于点M，

从抛物线表达式知，抛物线的对称轴为x＝2，
∵CD∥x轴交抛物线于点D，故点D（2，﹣3），
由点B、C的坐标知，直线BC与AB的夹角为45°，即∠MCB＝∠DCD＝45°，
∵BC恰好平分∠DBE，故∠MBC＝∠DBC，
而BC＝BC，
故△BCD≌△BCM（AAS），
∴CM＝CD＝2，故OM＝3﹣2＝1，故点M（0，﹣1），
设直线BE的表达式为：y＝kx+b，则b=-13k+b=0，解得k=13b=-1，
故直线BE的表达式为：y=13x﹣1；
（3）过点P作PN∥x轴交BC于点N，

则△PFN∽△AFB，则AFPF=ABPN，
而S△BFP＝mS△BAF，则AFPF=1m=4PN，解得：m=14PN，
①当m=12时，则PN＝2，
设点P（t，t2﹣2t﹣3），
由点B、C的坐标知，直线BC的表达式为：y＝x﹣3，当x＝t﹣2时，y＝t﹣5，故点N（t﹣2，t﹣5），
故t﹣5＝t2﹣2t﹣3，
解得：t＝1或2，故点P（2，﹣3）或（1，﹣4）；
②m=14PN=14[t﹣（t2﹣2t）]=-14（t-32）2+916，
∵-14＜0，故m的最大值为916．
19．（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（-2，0），直线BC的解析式为y=-23x+2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；
（3）将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移2个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用直线BC的解析式求出点B、C的坐标，则y＝ax2+bx+2＝a（x+2）（x﹣32）＝ax2﹣22a﹣6a，即﹣6a＝2，解得：a=13，即可求解；
（2）四边形BECD的面积S＝S△BCE+S△BCD=12×EF×OB+12×（xD﹣xC）×BH，即可求解；
（3）分AE是平行四边形的边、AE是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．
【解析】（1）直线BC的解析式为y=-23x+2，令y＝0，则x＝32，令x＝0，则y＝2，
故点B、C的坐标分别为（32，0）、（0，2）；
则y＝ax2+bx+2＝a（x+2）（x﹣32）＝a（x2﹣22x﹣6）＝ax2﹣22a﹣6a，
即﹣6a＝2，解得：a=13，
故抛物线的表达式为：y=-13x2+223x+2①；
（2）如图，过点B、E分别作y轴的平行线分别交CD于点H，交BC于点F，

∵AD∥BC，则设直线AD的表达式为：y=-23（x+2）②，
联立①②并解得：x＝42，故点D（42，-103），
由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：y=-223x+2，
当x＝32时，yBC=-23x+2＝﹣2，即点H（32，﹣2），故BH＝2，
设点E（x，-13x2+223x+2），则点F（x，-23x+2），
则四边形BECD的面积S＝S△BCE+S△BCD=12×EF×OB+12×（xD﹣xC）×BH=12×（-13x2+223x+2+23x﹣2）×32+12×42×2=-22x2+3x+42，
∵-22＜0，故S有最大值，当x=322时，S的最大值为2524，此时点E（322，52）；

（3）存在，理由：
y=-13x2+223x+2=-13（x-2）2+83，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移2个单位，
则新抛物线的表达式为：y=-13x2+83，
点A、E的坐标分别为（-2，0）、（322，52）；设点M（2，m），点N（n，s），s=-13n2+83；
①当AE是平行四边形的边时，
点A向右平移522个单位向上平移52个单位得到E，同样点M（N）向右平移522个单位向上平移52个单位得到N（M），
即2±522=n，
则s=-13n2+83=-112或56，
故点N的坐标为（722，-112）或（-322，76）；
②当AE是平行四边形的对角线时，
由中点公式得：-2+322=n+2，解得：n=-22，
s=-13n2+83=156，
故点N的坐标（-22，52）；
综上点N的坐标为：（722，-112）或（-322，76）或（-22，52）．
20．（2020•自贡）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：
①求PD+PC的最小值；
②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+14OQ的最小值．

【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝ax2+2ax﹣3a，即﹣3a＝3，即可求解；
（2）①点C（﹣1，0）关于y轴的对称点为点B（1，0），连接BD交y轴于点P，则点P为所求点，PD+PC＝PD+PB＝DB为最小，即可求解；
②过点O作直线OK，使sin∠NOK=14，过点D作DK⊥OK于点K，交y轴于点Q，则点Q为所求点，则DQ+14OQ＝DQ+QK＝DK为最小，即可求解．
【解析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3）＝ax2+2ax﹣3a，
即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）由抛物线的表达式得，点M（﹣1，4），点N（0，3），
则tan∠MAC=MCAC=2，
则设直线AM的表达式为：y＝2x+b，
将点A的坐标代入上式并解得：b＝6，
故直线AM的表达式为：y＝2x+6，
∵∠EFD＝∠DHA＝90°，∠EDF＝∠ADH，
∴∠MAC＝∠DEF，则tan∠DEF＝2，则cos∠DEF=55，
设点E（x，﹣x2﹣2x+3），则点D（x，2x+6），
则FE＝EDcos∠DEF＝（﹣x2﹣2x+3﹣2x﹣6）×55=55（﹣x2﹣4x﹣3），
∵-55＜0，故EF有最大值，此时x＝﹣2，故点D（﹣2，2）；
①点C（﹣1，0）关于y轴的对称点为点B（1，0），连接BD交y轴于点P，则点P为所求点，

PD+PC＝PD+PB＝DB为最小，
则BD=(1+2)2+(0-2)2=13；
②过点O作直线OK，使sin∠NOK=14，过点D作DK⊥OK于点K，交y轴于点Q，则点Q为所求点，

DQ+14OQ＝DQ+QK＝DK为最小值，
则直线OK的表达式为：y=15x，
∵DK⊥OK，故设直线DK的表达式为：y=-115x+b，
将点D的坐标代入上式并解得：b＝2-215，
则直线DK的表达式为：y=-115x+2-215，
故点Q（0，2-215），
由直线KD的表达式知，QD与x负半轴的夹角（设为α）的正切值为115，则cosα=154，
则DQ=xQ-xDcosα=2154=815，而14OQ=14（2-215），
则DQ+14OQ为最小值=815+14（2-215）=15+12．
21．（2020•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A（点A在对称轴左侧），点B在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB．
（1）如图1，当AC∥x轴时，
①已知点A的坐标是（﹣2，1），求抛物线的解析式；
②若四边形AOBD是平行四边形，求证：b2＝4c．
（2）如图2，若b＝﹣2，BCAC=35，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）①先确定出点C的坐标，再用待定系数法即可得出结论；
②先确定出抛物线的顶点坐标，进而得出DF=b24，再判断出△AFD≌△BCO，得出DF＝OC，即可得出结论；
（2）先判断出抛物线的顶点坐标D（﹣1，c+1），设点A（m，﹣m2﹣2m+c）（m＜0），
判断出△AFD≌△BCO（AAS），得出AF＝BC，DF＝OC，再判断出△ANF∽△AMC，得出ANAM=FNCM=AFAC=BCAC=35，进而求出m的值，得出点A的纵坐标为c-54＜c，进而判断出点M的坐标为（0，c-54），N（﹣1，c-54），进而得出CM=54，
DN=94，FN=94-c，进而求出c=32，即可得出结论．
【解析】（1）①∵AC∥x轴，点A（﹣2，1），
∴C（0，1），
将点A（﹣2，1），C（0，1）代入抛物线解析式中，得-4-2b+c=1c=1，
∴b=-2c=1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+1；

②如图1，过点D作DE⊥x轴于E，交AB于点F，
∵AC∥x轴，
∴EF＝OC＝c，
∵点D是抛物线的顶点坐标，
∴D（b2，c+b24），
∴DF＝DE﹣EF＝c+b24-c=b24，
∵四边形AOBD是平行四边形，
∴AD＝BO，AD∥OB，
∴∠DAF＝∠OBC，
∵∠AFD＝∠BCO＝90°，
∴△AFD≌△BCO（AAS），
∴DF＝OC，
∴b24=c，
即b2＝4c；
（2）如图2，∵b＝﹣2．
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+c，
∴顶点坐标D（﹣1，c+1），
假设存在这样的点A使四边形AOBD是平行四边形，
设点A（m，﹣m2﹣2m+c）（m＜0），
过点D作DE⊥x轴于点E，交AB于F，
∴∠AFD＝∠EFC＝∠BCO，
∵四边形AOBD是平行四边形，
∴AD＝BO，AD∥OB，
∴∠DAF＝∠OBC，
∴△AFD≌△BCO（AAS），
∴AF＝BC，DF＝OC，
过点A作AM⊥y轴于M，交DE于N，
∴DE∥CO，
∴△ANF∽△AMC，
∴ANAM=FNCM=AFAC=BCAC=35，
∵AM＝﹣m，AN＝AM﹣NM＝﹣m﹣1，
∴-m-1-m=35，
∴m=-52，
∴点A的纵坐标为﹣（-52）2﹣2×（-52）+c＝c-54＜c，
∵AM∥x轴，
∴点M的坐标为（0，c-54），N（﹣1，c-54），
∴CM＝c﹣（c-54）=54，
∵点D的坐标为（﹣1，c+1），
∴DN＝（c+1）﹣（c-54）=94，
∵DF＝OC＝c，
∴FN＝DN﹣DF=94-c，
∵FNCM=35，
∴94-c54=35，
∴c=32，
∴c-54=14，
∴点A纵坐标为14，
∴A（-52，14），
∴存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形．


22．（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
（2）△PAB面积S=12×PH×（xB﹣xA）=12（x﹣1﹣x2﹣4x+1）×（0+3）=-32x2-92x，即可求解；
（3）分BC为菱形的边、菱形的的对角线两种情况，分别求解即可．
【解析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得-4=9-3b+cc=-1，解得b=4c=-1，
故抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣1；

（2）设直线AB的表达式为：y＝kx+t，则-4=-3k+tt=-1，解得k=1t=-1，
故直线AB的表达式为：y＝x﹣1，
过点P作y轴的平行线交AB于点H，

设点P（x，x2+4x﹣1），则H（x，x﹣1），
△PAB面积S=12×PH×（xB﹣xA）=12（x﹣1﹣x2﹣4x+1）×（0+3）=-32x2-92x，
∵-32＜0，故S有最大值，当x=-32时，S的最大值为278；

（3）抛物线的表达式为：y＝x2+4x﹣1＝（x+2）2﹣5，
则平移后的抛物线表达式为：y＝x2﹣5，
联立上述两式并解得：x=-1y=-4，故点C（﹣1，﹣4）；

设点D（﹣2，m）、点E（s，t），而点B、C的坐标分别为（0，﹣1）、（﹣1，﹣4）；
①当BC为菱形的边时，
点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D），
即﹣2+1＝s且m+3＝t①或﹣2﹣1＝s且m﹣3＝t②，
当点D在E的下方时，则BE＝BC，即s2+（t+1）2＝12+32③，
当点D在E的上方时，则BD＝BC，即22+（m+1）2＝12+32④，
联立①③并解得：s＝﹣1，t＝2或﹣4（舍去﹣4），故点E（﹣1，3）；
联立②④并解得：s＝1，t＝﹣4±6，故点E（1，﹣4+6）或（1，﹣4-6）；
②当BC为菱形的的对角线时，
则由中点公式得：﹣1＝s﹣2且﹣4﹣1＝m+t⑤，
此时，BD＝BE，即22+（m+1）2＝s2+（t+1）2⑥，
联立⑤⑥并解得：s＝1，t＝﹣3，
故点E（1，﹣3），
综上，点E的坐标为：（﹣1，2）或（﹣3，﹣4+6）或（﹣3，﹣4-6）或（1，﹣3）．
23．（2020•黔西南州）已知抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于点A（6，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD+PE取最大值时，求点P的坐标；
（3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．

【分析】（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论；
（2）先求出OA＝OC＝6，进而得出∠OAC＝45°，进而判断出PD＝PE，即可得出当PE的长度最大时，PE+PD取最大值，设出点E坐标，表示出点P坐标，建立PE＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，即可得出结论；
（3）先判断出NF∥x轴，进而求出点N的纵坐标，即可建立方程求解得出结论．
【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+6经过点A（6，0），B（﹣1，0），
∴a-b+6=036a+6b+6=0，
∴a=-1b=5，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6＝﹣（x-52）2+494，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6，顶点坐标为（52，494）；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣x2+5x+6，
∴C（0，6），
∴OC＝6，
∵A（6，0），
∴OA＝6，
∴OA＝OC，
∴∠OAC＝45°，
∵PD平行于x轴，PE平行于y轴，
∴∠DPE＝90°，∠PDE＝∠DAO＝45°，
∴∠PED＝45°，
∴∠PDE＝∠PED，
∴PD＝PE，
∴PD+PE＝2PE，
∴当PE的长度最大时，PE+PD取最大值，
∵A（6，0），C（0，6），
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6，
设E（t，﹣t+6）（0＜t＜6），则P（t，﹣t2+5t+6），
∴PE＝﹣t2+5t+6﹣（﹣t+6）＝﹣t2+6t＝﹣（t﹣3）2+9，
当t＝3时，PE最大，此时，﹣t2+5t+6＝12，
∴P（3，12）；

（3）如图（2），设直线AC与抛物线的对称轴l的交点为F，连接NF，
∵点F在线段MN的垂直平分线AC上，
∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC，
∵l∥y轴，
∴∠MFC＝∠OCA＝45°，
∴∠MFN＝∠NFC+∠MFC＝90°，
∴NF∥x轴，
由（2）知，直线AC的解析式为y＝﹣x+6，
当x=52时，y=72，
∴F（52，72），
∴点N的纵坐标为72，
设N的坐标为（m，﹣m2+5m+6），
∴﹣m2+5m+6=72，解得，m=5+352或m=5-352，
∴点N的坐标为（5+352，72）或（5-352，72）．

24．（2020•德州）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，﹣2），在x轴上任取一点M，连接AM，分别以点A和点M为圆心，大于12AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线GH于点P．根据以上操作，完成下列问题．
探究：
（1）线段PA与PM的数量关系为　PA＝PM　，其理由为：　线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等　．
（2）在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格：
M的坐标
…
（﹣2，0）
（0，0）
（2，0）
（4，0）
…
P的坐标
…
　（﹣2，﹣2）　
（0，﹣1）
（2，﹣2）
　（4，﹣5）　
…
猜想：
（3）请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是　抛物线　．
验证：
（4）设点P的坐标是（x，y），根据图1中线段PA与PM的关系，求出y关于x的函数解析式．
应用：
（5）如图3，点B（﹣1，3），C（1，3），点D为曲线L上任意一点，且∠BDC＜30°，求点D的纵坐标yD的取值范围．

【分析】（1）由题意可得GH是AM的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可求解；
（2）由（1）可知：PA＝PM，利用两点距离公式可求点P坐标；
（3）依照题意，画出图象；
（4）由两点距离公式可得﹣y=(x-0)2+(y+2)2，可求y关于x的函数解析式；
（5）由两点距离公式可求BC＝OB＝OC，可证△BOC是等边三角形，可得∠BOC＝60°，以O为圆心，OB为半径作圆O，交抛物线L与点E，连接BE，CE，可得∠BEC＝30°，则当点D在点E下方时，∠BDC＜30°，求出点E的纵坐标即可求解．
【解析】（1）∵分别以点A和点M为圆心，大于12AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，
∴GH是AM的垂直平分线，
∵点P是GH上一点，
∴PA＝PM（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等），
故答案为：PA＝PM，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
（2）当点M（﹣2，0）时，设点P（﹣2，a），（a＜0）
∵PA＝PM，
∴﹣a=(-2-0)2+(a+2)2，
∴a＝﹣2，
∴点P（﹣2，﹣2），
当点M（4，0）时，设点P（4，b），（b＜0）
∵PA＝PM，
∴﹣b=(4-0)2+(b+2)2，
∴b＝﹣5，
∴点P（4，﹣5），
故答案为：（﹣2，﹣2），（4，﹣5）；
（3）依照题意，画出图象，

猜想曲线L的形状为抛物线，
故答案为：抛物线；
（4）∵PA＝PM，点P的坐标是（x，y），（y＜0），
∴﹣y=(x-0)2+(y+2)2，
∴y=-14x2﹣1；
（5）∵点B（﹣1，3），C（1，3），
∴BC＝2，OB=(-1-0)2+(3-0)2=2，OC=(1-0)2+(3-0)2=2，
∴BC＝OB＝OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
如图3，以O为圆心，OB为半径作圆O，交抛物线L与点E，连接BE，CE，

∴∠BEC＝30°，
设点E（m，n），
∵点E在抛物线上，
∴n=-14m2﹣1，
∵OE＝OB＝2，
∴(m-0)2+(n-0)2=2，
∴n1＝2﹣23，n2＝2+23（舍去），
如图3，可知当点D在点E下方时，∠BDC＜30°，
∴点D的纵坐标yD的取值范围为yD＜2﹣23．
25．（2020•成都）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求S1S2的最大值；
（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）设抛物线的解析式为为y＝a（x﹣1）（x﹣4），将点C的坐标代可求得a的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）过点D作DG⊥x轴于点G，交BC于点F，过点A作AK⊥x轴交BC的延长线于点K，证明△AKE∽△DFE，得出DFAK=DEAE，则S1S2=S△BDES△ABE=DEAE=DFAK，求出直线BC的解析式为y=12x﹣2，设D（m，12m2-32m﹣2），则F（m，12m﹣2），可得出S1S2的关系式，由二次函数的性质可得出结论；
（3）设P（a，a2），①当点P在直线BQ右侧时，如图2，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥直线PN于点M，得出Q（34a，a﹣2），将点Q的坐标代入抛物线的解析式求得a的值即可，②当点P在直线BQ左侧时，由①的方法同理可得点Q的坐标为（54a，2），代入抛物线的解析可得出答案．
【解析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4）．
∵将C（0，﹣2）代入得：4a＝2，解得a=12，
∴抛物线的解析式为y=12（x+1）（x﹣4），即y=12x2-32x﹣2．
（2）过点D作DG⊥x轴于点G，交BC于点F，过点A作AK⊥x轴交BC的延长线于点K，

∴AK∥DG，
∴△AKE∽△DFE，
∴DFAK=DEAE，
∴S1S2=S△BDES△ABE=DEAE=DFAK，
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴4k+b=0b=-2，解得k=12b=-2，
∴直线BC的解析式为y=12x﹣2，
∵A（﹣1，0），
∴y=-12-2=-52，
∴AK=52，
设D（m，12m2-32m﹣2），则F（m，12m﹣2），
∴DF=12m-2-12m2+32m+2=-12m2+2m．
∴S1S2=-12m2+2m52=-15m2+45m=-15(m-2)2+45．
∴当m＝2时，S1S2有最大值，最大值是45．
（3）符合条件的点P的坐标为（689，349）或（6+2415，3+415）．
∵l∥BC，
∴直线l的解析式为y=12x，
设P（a，a2），
①当点P在直线BQ右侧时，如图2，过点P作PN⊥x轴于点N，过点Q作QM⊥直线PN于点M，

∵A（﹣1，0），C（0，﹣2），B（4，0），
∴AC=5，AB＝5，BC＝25，
∵AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∵△PQB∽△CAB，
∴PQPB=ACBC=12，
∵∠QMP＝∠BNP＝90°，
∴∠MQP+∠MPQ＝90°，∠MPQ+∠PBN＝90°，
∴∠MQP＝∠PBN，
∴△QPM∽△PBN，
∴QMPN=PMBN=PQPB=12，
∴QM=a4，PM=12（a﹣4）=12a﹣2，
∴MN＝a﹣2，BN﹣QM＝a﹣4-a4=34a﹣4，
∴Q（34a，a﹣2），
将点Q的坐标代入抛物线的解析式得12×(34a)2-32×34a﹣2＝a﹣2，
解得a＝0（舍去）或a=689．
∴P（689，349）．
②当点P在直线BQ左侧时，
由①的方法同理可得点Q的坐标为（54a，2）．
此时点P的坐标为（6+2415，3+415）．
26．（2020•乐山）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，且tan∠CBD=43，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连结FB、FC，求△BCF的面积的最大值；
②连结PB，求35PC+PB的最小值．

【分析】（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣5），可得对称轴为直线x＝2，由锐角三角函数可求点C坐标，代入解析式可求解析式；
（2）①先求出直线BC解析式，设P（2，t），可得点E（5-34t，t），点F(5-34t，2t-14t2)，可求EF的长，由三角形面积公式和二次函数性质可求解；
②根据图形的对称性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，过点P作PG⊥AC于G，可得PG=35PC，可得35PC+PB=PG+PB，过点B作BH⊥AC于点H，则PG+PH≥BH，即BH是35PC+PB的最小值，由三角形面积公式可求解．
【解析】（1）根据题意，可设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）（x﹣5），
∵抛物线的对称轴为直线x＝2，
∴D（2，0），
又∵tan∠CBD=43=CDDB，
∴CD＝BD•tan∠CBD＝4，
即C（2，4），
代入抛物线的解析式，得4＝a（2+1）（2﹣5），
解得 a=-49，
∴二次函数的解析式为 y=-49(x+1)(x-5)=-49x2+169x+209；
（2）①设P（2，t），其中0＜t＜4，
设直线BC的解析式为 y＝kx+b，
∴0=5k+b，4=2k+b.，
解得 k=-43，b=203.
即直线BC的解析式为 y=-43x+203，
令y＝t，得：x=5-34t，
∴点E（5-34t，t），
把x=5-34t 代入y=-49(x+1)(x-5)，得 y=t(2-t4)，
即F(5-34t，2t-14t2)，
∴EF=(2t-14t2)-t=t-t24，
∴△BCF的面积=12×EF×BD=32（t-t24）=-38(t2-4t)=-38(t-2)2+32，
∴当t＝2时，△BCF的面积最大，且最大值为32；
②如图，连接AC，根据图形的对称性可知∠ACD＝∠BCD，AC＝BC＝5，

∴sin∠ACD=ADAC=35，
过点P作PG⊥AC于G，则在Rt△PCG中，PG=PC⋅sin∠ACD=35PC，
∴35PC+PB=PG+PB，
过点B作BH⊥AC于点H，则PG+PH≥BH，
∴线段BH的长就是35PC+PB的最小值，
∵S△ABC=12×AB×CD=12×6×4=12，
又∵S△ABC=12×AC×BH=52BH，
∴52BH=12，
即BH=245，
∴35PC+PB的最小值为245．
27．（2020•铜仁市）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；
（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．

【分析】（1）根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）过点P作PF∥y轴，交BC于点F，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点C的坐标，根据点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线BC的解析式，设点P的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），则点F的坐标为（m，﹣2m+6），进而可得出PF的长度，利用三角形的面积公式可得出S△PBC＝﹣3m2+9m，配方后利用二次函数的性质即可求出△PBC面积的最大值；
（3）分两种不同情况，当点M位于点C上方或下方时，画出图形，由相似三角形的性质得出方程，求出点M，点N的坐标即可．
【解析】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+6，
得：a-b+6=09a+3b+6=0，解得：a=-2b=4，
∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2+4x+6．
（2）过点P作PF∥y轴，交BC于点F，如图1所示．

当x＝0时，y＝﹣2x2+4x+6＝6，
∴点C的坐标为（0，6）．
设直线BC的解析式为y＝kx+c，
将B（3，0）、C（0，6）代入y＝kx+c，得：
3k+c=0c=6，解得：k=-2c=6，
∴直线BC的解析式为y＝﹣2x+6．
∵点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
∴点P的坐标为（m，﹣2m2+4m+6），则点F的坐标为（m，﹣2m+6），
∴PF＝﹣2m2+4m+6﹣（﹣2m+6）＝﹣2m2+6m，
∴S△PBC=12PF•OB＝﹣3m2+9m＝﹣3（m-32）2+274，
∴当m=32时，△PBC面积取最大值，最大值为274．
∵点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，
∴0＜m＜3．
（3）存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似．
如图2，∠CMN＝90°，当点M位于点C上方，过点M作MD⊥y轴于点D，

∵∠CDM＝∠CMN＝90°，∠DCM＝∠NCM，
∴△MCD∽△NCM，
若△CMN与△OBC相似，则△MCD与△OBC相似，
设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），
∴DC＝﹣2a2+4a，DM＝a，
当DMCD=OBOC=36=12时，△COB∽△CDM∽△CMN，
∴a-2a2+4a=12，
解得，a＝1，
∴M（1，8），
此时ND=12DM=12，
∴N（0，172），
当CDDM=OBOC=12时，△COB∽△MDC∽△NMC，
∴-2a2+4aa=12，
解得a=74，
∴M（74，558），
此时N（0，838）．
如图3，当点M位于点C的下方，

过点M作ME⊥y轴于点E，
设M（a，﹣2a2+4a+6），C（0，6），
∴EC＝2a2﹣4a，EM＝a，
同理可得：2a2-4aa=12或2a2-4aa=2，△CMN与△OBC相似，
解得a=94或a＝3，
∴M（94，398）或M（3，0），
此时N点坐标为（0，38）或（0，-32）．
综合以上得，M（1，8），N（0，172）或M（74，558），N（0，838）或M（94，398），N（0，38）或M（3，0），N（0，-32），使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似．
28．（2020•嘉兴）在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图1所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点B．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D，CD＝2.6m．
①求OD的长．
②东东抢到球后，因遭对方防守无法投篮，他在点D处垂直起跳传球，想将球沿直线快速传给队友华华，目标为华华的接球点E（4，1.3）．东东起跳后所持球离地面高度h1（m）（传球前）与东东起跳后时间t（s）满足函数关系式h1＝﹣2（t﹣0.5）2+2.7（0≤t≤1）；小戴在点F（1.5，0）处拦截，他比东东晚0.3s垂直起跳，其拦截高度h2（m）与东东起跳后时间t（s）的函数关系如图2所示（其中两条抛物线的形状相同）．东东的直线传球能否越过小戴的拦截传到点E？若能，东东应在起跳后什么时间范围内传球？若不能，请说明理由（直线传球过程中球运动时间忽略不计）．

【分析】（1）设y＝a（x﹣0.4）2+3.32（a≠0），将A（0，3）代入求解即可得出答案；
（2）①把y＝2.6代入y＝﹣2（x﹣0.4）2+3.32，解方程求出x，即可得出OD＝1m；
②东东在点D跳起传球与小戴在点F处拦截的示意图如图2，设MD＝h1，NF＝h2，当点M，N，E三点共线时，过点E作EG⊥MD于点G，交NF于点H，过点N作NP⊥MD于点P，证明△MPN∽△NEH，得出MPPN=NHHE，则NH＝5MP．分不同情况：（Ⅰ）当0≤t≤0.3时，（Ⅱ）当0.3＜t≤0.65时，（Ⅲ）当0.65＜t≤1时，分别求出t的范围可得出答案．
【解析】（1）设y＝a（x﹣0.4）2+3.32（a≠0），
把x＝0，y＝3代入，解得a＝﹣2，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣2（x﹣0.4）2+3.32．
（2）①把y＝2.6代入y＝﹣2（x﹣0.4）2+3.32，
化简得（x﹣0.4）2＝0.36，
解得x1＝﹣0.2（舍去），x2＝1，
∴OD＝1m．
②东东的直线传球能越过小戴的拦截传到点E．
由图1可得，当0≤t≤0.3时，h2＝2.2．

当0.3＜t≤1.3时，h2＝﹣2（t﹣0.8）2+2.7．
当h1﹣h2＝0时，t＝0.65，
东东在点D跳起传球与小戴在点F处拦截的示意图如图2，
设MD＝h1，NF＝h2，
当点M，N，E三点共线时，过点E作EG⊥MD于点G，交NF于点H，过点N作NP⊥MD于点P，

∴MD∥NF，PN∥EG，
∴∠M＝∠HEN，∠MNP＝∠NEH，
∴△MPN∽△NEH，
∴MPPN=NHHE，
∵PN＝0.5，HE＝2.5，
∴NH＝5MP．
（Ⅰ）当0≤t≤0.3时，
MP＝﹣2（t﹣0.5）2+2.7﹣2.2＝﹣2（t﹣0.5）2+0.5，
NH＝2.2﹣1.3＝0.9．
∴5[﹣2（t﹣0.5）2+0.5]＝0.9，
整理得（t﹣0.5）2＝0.16，
解得t1=910（舍去），t2=110，
当0≤t≤0.3时，MP随t的增大而增大，
∴110＜t≤310．
（Ⅱ）当0.3＜t≤0.65时，MP＝MD﹣NF＝﹣2（t﹣0.5）2+2.7﹣[﹣2（t﹣0.8）2+2.7]＝﹣1.2t+0.78，
NH＝NF﹣HF＝﹣2（t﹣0.8）2+2.7﹣1.3＝﹣2（t﹣0.8）2+1.4，
∴﹣2（t﹣0.8）2+1.4＝5×（﹣1.2t+0.78），
整理得t2﹣4.6t+1.89＝0，
解得，t1=23+28510（舍去），t2=23-28510，
当0.3＜t≤0.65时，MP随t的增大而减小，
∴310＜t＜23-28510．
（Ⅲ）当0.65＜t≤1时，h1＜h2，不可能．
给上所述，东东在起跳后传球的时间范围为110＜t＜23-28510．
29．（2020•黔东南州）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．
（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式，再将点C坐标代入求解，即可得出结论；
（2）先求出点A，C坐标，设出点E坐标，表示出AE，CE，AC，再分三种情况建立方程求解即可；
（3）利用平移先确定出点Q的纵坐标，代入抛物线解析式求出点Q的横坐标，即可得出结论．
【解析】（1）∵抛物线的顶点为（1，﹣4），
∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
将点C（0，﹣3）代入抛物线y＝a（x﹣1）2﹣4中，得a﹣4＝﹣3，
∴a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；

（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
∴x＝﹣1或x＝3，
∴B（3，0），A（﹣1，0），
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴AC=10，
设点E（0，m），则AE=m2+1，CE＝|m+3|，
∵△ACE是等腰三角形，
∴①当AC＝AE时，10=m2+1，
∴m＝3或m＝﹣3（点C的纵坐标，舍去），
∴E（0，3），
②当AC＝CE时，10=|m+3|，
∴m＝﹣3±10，
∴E（0，﹣3+10）或（0，﹣3-10），
③当AE＝CE时，m2+1=|m+3|，
∴m=-43，
∴E（0，-43），
即满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，﹣3+10）、（0，﹣3-10）、（0，-43）；
（3）如图，存在，∵D（1，﹣4），
∴将线段BD向上平移4个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点B的对应点落在抛物线上，这样便存在点Q，此时点D的对应点就是点P，
∴点Q的纵坐标为4，
设Q（t，4），
将点Q的坐标代入抛物线y＝x2﹣2x﹣3中得，t2﹣2t﹣3＝4，
∴t＝1+22或t＝1﹣22，
∴Q（1+22，4）或（1﹣22，4），
分别过点D，Q作x轴的垂线，垂足分别为F，G，
∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的右边的交点B的坐标为（3，0），且D（1，﹣4），
∴FB＝PG＝3﹣1＝2，
∴点P的横坐标为（1+22）﹣2＝﹣1+22或（1﹣22）﹣2＝﹣1﹣22，
即P（﹣1+22，0）、Q（1+22，4）或P（﹣1﹣22，0）、Q（1﹣22，4）．

30．（2020•南充）已知二次函数图象过点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）．
（1）求二次函数的解析式．
（2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC＝90°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角θ，且tanθ=53，求点K的坐标．

【分析】（1）设二次函数的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），将点C坐标代入可求解；
（2）利用中点坐标公式可求P（﹣1，2），点Q（2，2），由勾股定理可求BC的长，由待定系数法可求PB解析式，设点M（c，-25c+85），由两点距离公式可得（c﹣2）2+（-25c+85-2）2＝8，可求c＝4或-2429，即可求解；
（3）过点D作DE⊥BC于点E，设直线DK与BC交于点N，先求出DE＝BE=BD2=322，由锐角三角函数可求NE=DEtanθ=9210，分DK与射线EC交于点N（m，4﹣m）和DK与射线EB交于N（m，4﹣m）两种情况讨论，求出直线DK解析式，联立方程组可求点K坐标．
【解析】（1）∵二次函数图象过点B（4，0），点A（﹣2，0），
∴设二次函数的解析式为y＝a（x+2）（x﹣4），
∵二次函数图象过点C（0，4），
∴4＝a（0+2）（0﹣4），
∴a=-12，
∴二次函数的解析式为y=-12（x+2）（x﹣4）=-12x2+x+4；
（2）存在，
理由如下：如图1，取BC中点Q，连接MQ，

∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点P是AC中点，点Q是BC中点，
∴P（﹣1，2），点Q（2，2），BC=(4-0)2+(0-4)2=42，
设直线BP解析式为：y＝kx+b，
由题意可得：2=-k+b0=4k+b，
解得：k=-25b=85
∴直线BP的解析式为：y=-25x+85，
∵∠BMC＝90°
∴点M在以BC为直径的圆上，
∴设点M（c，-25c+85），
∵点Q是Rt△BCM的中点，
∴MQ=12BC＝22，
∴MQ2＝8，
∴（c﹣2）2+（-25c+85-2）2＝8，
∴c＝4或-2429，
当c＝4时，点B，点M重合，即c＝4，不合题意舍去，
∴c=-2429，则点M坐标（-2429，5629），
故线段PB上存在点M（-2429，5629），使得∠BMC＝90°；
（3）如图2，过点D作DE⊥BC于点E，设直线DK与BC交于点N，

∵点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4），点D是AB中点，
∴点D（1，0），OB＝OC＝4，AB＝6，BD＝3，
∴∠OBC＝45°，
∵DE⊥BC，
∴∠EDB＝∠EBD＝45°，
∴DE＝BE=BD2=322，
∵点B（4，0），C（0，4），
∴直线BC解析式为：y＝﹣x+4，
设点E（n，﹣n+4），
∴﹣n+4=32，
∴n=52，
∴点E（52，32），
在Rt△DNE中，NE=DEtanθ=32253=9210，
①若DK与射线EC交于点N（m，4﹣m），
∵NE＝BN﹣BE，
∴9210=2（4﹣m）-322，
∴m=85，
∴点N（85，125），
∴直线DK解析式为：y＝4x﹣4，
联立方程组可得：y=4x-4y=-12x2+x+4，
解得：x1=2y1=4或x2=-8y2=-36，
∴点K坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）；
②若DK与射线EB交于N（m，4﹣m），
∵NE＝BE﹣BN，
∴9210=322-2（4﹣m），
∴m=175，
∴点N（175，35），
∴直线DK解析式为：y=14x-14，
联立方程组可得：y=14x-14y=-12x2+x+4，
解得：x3=3+1454y3=-1+14516或x4=3-1454y4=-1-14516，
∴点K坐标为（3+1454，-1+14516）或（3-1454，-1-14516），
综上所述：点K的坐标为（2，4）或（﹣8，﹣36）或（3+1454，-1+14516）或（3-1454，-1-14516）．
31．（2020•遂宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．
（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3），把点C坐标代入解析式，可求解；
（2）先求出点M，点N坐标，利用待定系数法可求AD解析式，联立方程组可求点D坐标，可求S△ABD=12×2×6＝6，设点E（m，2m﹣2），分两种情况讨论，利用三角形面积公式可求解；
（3）分两种情况讨论，利用平行四边形的性质可求解．
【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），
∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣3），
∵抛物线y＝a（x﹣1）（x﹣3）（a≠0）的图象经过点C（0，6），
∴6＝a（0﹣1）（0﹣3），
∴a＝2，
∴抛物线解析式为：y＝2（x﹣1）（x﹣3）＝2x2﹣8x+6；
（2）∵y＝2x2﹣8x+6＝2（x﹣2）2﹣2，
∴顶点M的坐标为（2，﹣2），
∵抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，
∴点N（2，2），
设直线AN解析式为：y＝kx+b，
由题意可得：0=k+b2=2k+b，
解得：k=2b=-2，
∴直线AN解析式为：y＝2x﹣2，
联立方程组得：y=2x-2y=2x2-8x+6，
解得：x1=1y1=0，x2=4y2=6，
∴点D（4，6），
∴S△ABD=12×2×6＝6，
设点E（m，2m﹣2），
∵直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，
∴S△ABE=13S△ABD＝2或S△ABE=23S△ABD＝4，
∴12×2×（2m﹣2）＝2或12×2×（2m﹣2）＝4，
∴m＝2或3，
∴点E（2，2）或（3，4）；
（3）若AD为平行四边形的边，
∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴AD＝PQ，
∴xD﹣xA＝xP﹣xQ或xD﹣xA＝xQ﹣xP，
∴xP＝4﹣1+2＝5或xP＝2﹣4+1＝﹣1，
∴点P坐标为（5，16）或（﹣1，16）；
若AD为平行四边形的对角线，
∵以A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴AD与PQ互相平分，
∴xA+xD2=xP+xQ2，
∴xP＝3，
∴点P坐标为（3，0），
综上所述：当点P坐标为（5，16）或（﹣1，16）或（3，0）时，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形．
32．（2020•泰州）如图，二次函数y1＝a（x﹣m）2+n，y2＝6ax2+n（a＜0，m＞0，n＞0）的图象分别为C1、C2，C1交y轴于点P，点A在C1上，且位于y轴右侧，直线PA与C2在y轴左侧的交点为B．

（1）若P点的坐标为（0，2），C1的顶点坐标为（2，4），求a的值；
（2）设直线PA与y轴所夹的角为α．
①当α＝45°，且A为C1的顶点时，求am的值；
②若α＝90°，试说明：当a、m、n各自取不同的值时，PAPB的值不变；
（3）若PA＝2PB，试判断点A是否为C1的顶点？请说明理由．
【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）①如图1中，过点A作AN⊥x轴于N，过点P作PM⊥AN于M．证明AM＝PM＝m，根据AM+MN＝AM+OP＝AN，构建关系式即可解决问题．
②如图2中，由题意AB⊥y中，求出PA，PB的长即可解决问题．
（3））如图3中，过点A作AH⊥x轴于H，过点P作PK⊥AH于K，过点B作BE⊥KP交KP的延长线于E．设B（b，6ab2+n），由PA＝2PB，推出A[﹣2b，a（﹣2b﹣m）2+n]，由BE∥AK，推出BEAK=PBPA=12，推出AK＝2BE，由此构建关系式，证明m＝﹣2b即可解决问题．
【解析】（1）由题意m＝2，n＝4，
∴y1＝a（x﹣2）2+4，
把（0，2）代入得到a=-12．

（2）①如图1中，过点A作AN⊥x轴于N，过点P作PM⊥AN于M．

∵y1＝a（x﹣m）2+n＝ax2﹣2amx+am2+n，
∴P（0，am2+n），
∵A（m，n），
∴PM＝m，AN＝n，
∵∠APM＝45°，
∴AM＝PM＝m，
∴m+am2+n＝n，
∵m＞0，
∴am＝﹣1．
②如图2中，由题意AB⊥y中，

∵P（0，am2+n），
当y＝am2+n时，am2+n＝6ax2+n，
解得x＝±66m，
∴B（-66m，am2+n），
∴PB=66m，
∵AP＝2m，
∴PAPB=2m66m=26．
（3）如图3中，过点A作AH⊥x轴于H，过点P作PK⊥AH于K，过点B作BE⊥KP交KP的延长线于E．

设B（b，6ab2+n），
∵PA＝2PB，
∴A[﹣2b，a（﹣2b﹣m）2+n]，
∵BE∥AK，
∴BEAK=PBPA=12，
∴AK＝2BE，
∴a（﹣2b﹣m）2+n﹣am2﹣n＝2（am2+n﹣6ab2﹣n），
整理得：m2﹣2bm﹣8b2＝0，
∴（m﹣4b）（m+2b）＝0，
∵m﹣4b＞0，
∴m+2b＝0，
∴m＝﹣2b，
∴A（m，n），
∴点A是抛物线C1的顶点．
33．（2020•连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y=12x2-32x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．
（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；
（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；
（3）设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ与△ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．

【分析】（1）由题意设抛物线L2的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），利用待定系数法求出a即可解决问题．
（2）由题意BP＝AP，如图1中，当A，C，P共线时，BP﹣PC的值最大，此时点P为直线AC与直线x=32的交点．
（3）由题意，顶点D（32，-258），∠PDQ不可能是直角，第一种情形：当∠DPQ＝90°时，①如图3﹣1中，当△QDP∽△ABC时．②如图3﹣2中，当△DQP∽△ABC时．第二种情形：当∠DQP＝90°．①如图3﹣3中，当△PDQ∽△ABC时．②当△DPQ∽△ABC时，分别求解即可解决问题．
【解析】（1）当y＝0时，12x2-32x﹣2＝0，解得x＝﹣1或4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），
由题意设抛物线L2的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），
把（2，﹣12）代入y＝a（x+1）（x﹣4），
﹣12＝﹣6a，
解得a＝2，
∴抛物线的解析式为y＝2（x+1）（x﹣4）＝2x2﹣6x﹣8．

（2）∵抛物线L2与L1是“共根抛物线”，A（﹣1，0），B（4，0），
∴抛物线L1，L2的对称轴是直线x=32，
∴点P在直线x=32上，
∴BP＝AP，如图1中，当A，C，P共线时，BP﹣PC的值最大，
此时点P为直线AC与直线x=32的交点，
∵直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2，
∴P（32，﹣5）


（3）由题意，AB＝5，CB＝25，CA=5，
∴AB2＝BC2+AC2，
∴∠ACB＝90°，CB＝2CA，
∵y=12x2-32x﹣2=12（x-32）2-258，
∴顶点D（32，-258），
由题意，∠PDQ不可能是直角，
第一种情形：当∠DPQ＝90°时，
①如图3﹣1中，当△QDP∽△ABC时，QPDP=ACBC=12，

设Q（x，12x2-32x﹣2），则P（32，12x2-32x﹣2），
∴DP=12x2-32x﹣2﹣（-258）=12x2-32x+98，QP＝x-32，
∵PD＝2QP，
∴2x﹣3=12x2-32x+98，解得x=112或32（舍弃），
∴P（32，398）．

②如图3﹣2中，当△DQP∽△ABC时，同法可得QO＝2PD，

x-32=x2﹣3x+94，
解得x=52或32（舍弃），
∴P（32，-218）．
第二种情形：当∠DQP＝90°．
①如图3﹣3中，当△PDQ∽△ABC时，PQDQ=ACBC=12，

过点Q作QM⊥PD于M．则△QDM∽△PDQ，
∴QMMD=PQDQ=12，由图3﹣1可知，M（32，398），Q（112，398），
∴MD＝8，MQ＝4，
∴DQ＝45，
由DQDM=PDDQ，可得PD＝10，
∵D（32，-258）
∴P（32，558）．

②当△DPQ∽△ABC时，过点Q作QM⊥PD于M．

同法可得M（32，-218），Q（52，-218），
∴DM=12，QM＝1，QD=52，
由QDDM=PDDQ，可得PD=52，
∴P（32，-58）．
34．（2020•达州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=12x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MN+12ON的最小值．

【分析】（1）先求出点A，点B坐标，利用待定系数法可求解析式；
（2）分两种情况讨论，利用平行线之间的距离相等，可求OP解析式，EP''的解析式，联立方程组可求解；
（3）过点M作MF⊥AC，交AB于F，设点M（m，12m2-32m﹣2），则点F（m，12m﹣2），可求MF的长，由三角形面积公式可求△MAB的面积＝﹣（m﹣2）2+4，利用二次函数的性质可求点M坐标，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MR⊥OK于R，延长MF交直线KO于Q，由直角三角形的性质可得KN=12ON，可得MN+12ON＝MN+KN，则当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN+12ON有最小值，即最小值为MP，由直角三角形的性质可求解．
【解析】（1）∵直线y=12x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点A（4，0），点B（0，﹣2），
设抛物线解析式为：y＝a（x+1）（x﹣4），
∴﹣2＝﹣4a，
∴a=12，
∴抛物线解析式为：y=12（x+1）（x﹣4）=12x2-32x﹣2；
（2）如图，当点P在直线AB上方时，过点O作OP∥AB，交抛物线与点P，

∵OP∥AB，
∴△ABP和△ABP是等底等高的两个三角形，
∴S△PAB＝S△ABO，
∵OP∥AB，
∴直线PO的解析式为y=12x，
联立方程组可得y=12xy=12x2-32x-2，
解得：x=2+22y=1+2或x=2-22y=1-2，
∴点P（2+22，1+2）或（2﹣22，1-2）；
当点P''在直线AB下方时，在OB的延长线上截取BE＝OB＝2，过点E作EP''∥AB，交抛物线于点P''，
∴AB∥EP''∥OP，OB＝BE，
∴S△ABP''＝S△ABO，
∵EP''∥AB，且过点E（0，﹣4），
∴直线EP''解析式为y=12x﹣4，
联立方程组可得y=12x-4y=12x2-32x-2，
解得x=2y=-3，
∴点P''（2，﹣3），
综上所述：点P坐标为（2+22，1+2）或（2﹣22，1-2）或（2，﹣3）；
（3）如图2，过点M作MF⊥AC，交AB于F，

设点M（m，12m2-32m﹣2），则点F（m，12m﹣2），
∴MF=12m﹣2﹣（12m2-32m﹣2）=-12（m﹣2）2+2，
∴△MAB的面积=12×4×[-12（m﹣2）2+2]＝﹣（m﹣2）2+4，
∴当m＝2时，△MAB的面积有最大值，
∴点M（2，﹣3），
如图3，过点O作∠KOB＝30°，过点N作KN⊥OK于K点，过点M作MR⊥OK于R，延长MF交直线KO于Q，

∵∠KOB＝30°，KN⊥OK，
∴KN=12ON，
∴MN+12ON＝MN+KN，
∴当点M，点N，点K三点共线，且垂直于OK时，MN+12ON有最小值，即最小值为MP，
∵∠KOB＝30°，
∴直线OK解析式为y=3x，
当x＝2时，点Q（2，23），
∴QM＝23+3，
∵OB∥QM，
∴∠PQM＝∠PON＝30°，
∴PM=12QM=3+32，
∴MN+12ON的最小值为3+32．
35．（2020•滨州）如图，抛物线的顶点为A（h，﹣1），与y轴交于点B（0，-12），点F（2，1）为其对称轴上的一个定点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）已知直线l是过点C（0，﹣3）且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P（m，n）到直线l的距离为d，求证：PF＝d；
（3）已知坐标平面内的点D（4，3），请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标．

【分析】（1）由题意抛物线的顶点A（2，﹣1），可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，把点B坐标代入求出a即可．
（2）由题意P（m，18m2-12m-12），求出d2，PF2（用m表示）即可解决问题．
（3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．因为△DFQ的周长＝DF+DQ+FQ，DF是定值=22+22=22，推出DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，再根据垂线段最短解决问题即可．
【解答】（1）解：由题意抛物线的顶点A（2，﹣1），可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，
∵抛物线经过B（0，-12），
∴-12=4a﹣1，
∴a=18，
∴抛物线的解析式为y=18（x﹣2）2﹣1．

（2）证明：∵P（m，n），
∴n=18（m﹣2）2﹣1=18m2-12m-12，
∴P（m，18m2-12m-12），
∴d=18m2-12m-12-（﹣3）=18m2-12m+52，
∵F（2，1），
∴PF=(m-2)2+(18m2-12m-12-1)2=164m4-18m3+78m2-52m+254，
∵d2=164m4-18m3+78m2-52m+254，PF2=164m4-18m3+78m2-52m+254，
∴d2＝PF2，
∴PF＝d．

（3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．
∵△DFQ的周长＝DF+DQ+FQ，DF是定值=22+22=22，
∴DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，
∵QF＝QH，
∴DQ+DF＝DQ+QH，
根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQ+QH的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段DN上，
∴DQ+QH的最小值为3，
∴△DFQ的周长的最小值为22+3，此时Q（4，-12）

36．（2020•济宁）我们把方程（x﹣m）2+（y﹣n）2＝r2称为圆心为（m，n）、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为（1，﹣2）、半径长为3的圆的标准方程是（x﹣1）2+（y+2）2＝9．在平面直角坐标系中，⊙C与轴交于点A，B，且点B的坐标为（8，0），与y轴相切于点D（0，4），过点A，B，D的抛物线的顶点为E．
（1）求⊙C的标准方程；
（2）试判断直线AE与⊙C的位置关系，并说明理由．

【分析】（1）如图，连接CD，CB，过点C作CM⊥AB于M．设⊙C的半径为r．在Rt△BCM中，利用勾股定理求出半径以及等C的坐标即可解决问题．
（2）结论：AE是⊙C的切线．连接AC，CE．求出抛物线的解析式，推出点E的坐标，求出AC，AE，CE，利用勾股定理的逆定理证明∠CAE＝90°即可解决问题．
【解析】（1）如图，连接CD，CB，过点C作CM⊥AB于M．设⊙C的半径为r．
∵与y轴相切于点D（0，4），
∴CD⊥OD，
∵∠CDO＝∠CMO＝∠DOM＝90°，
∴四边形ODCM是矩形，
∴CM＝OD＝4，CD＝OM＝r，
∵B（8，0），
∴OB＝8，
∴BM＝8﹣r，
在Rt△CMB中，∵BC2＝CM2+BM2，
∴r2＝42+（8﹣r）2，
解得r＝5，
∴C（5，4），
∴⊙C的标准方程为（x﹣5）2+（y﹣4）2＝25．

（2）结论：AE是⊙C的切线．
理由：连接AC，CE．
∵CM⊥AB，
∴AM＝BM＝3，
∴A（2，0），B（8，0）
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）（x﹣8），
把D（0，4）代入y＝a（x﹣2）（x﹣8），可得a=14，
∴抛物线的解析式为y=14（x﹣2）（x﹣8）=14x2-52x+4=14（x﹣5）2-94，
∴抛物线的顶点E（5，-94），
∵AE=32+(94)2=154，CE＝4+94=254，AC＝5，
∴EC2＝AC2+AE2，
∴∠CAE＝90°，
∴CA⊥AE，
∴AE是⊙C的切线．

37．（2020•甘孜州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为线段AB上一点，∠APO＝∠ACB，求AP的长；
（3）在（2）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）求出AB，OA，AC，利用相似三角形的性质求解即可．
（3）分两种情形：①PA为平行四边形的边时，点M的横坐标可以为±2，求出点M的坐标即可解决问题．②当AP为平行四边形的对角线时，点M″的横坐标为﹣4，求出点M″的坐标即可解决问题．
【解析】（1）由题意抛物线经过B（0，3），C（1，0），
∴c=3-1+b+c=0，
解得b=-2c=3，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3

（2）对于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，令y＝0，解得x＝﹣3或1，
∴A（﹣3，0），
∵B（0，3），C（1，0），
∴OA＝OB＝3OC＝1，AB＝32，
∵∠APO＝∠ACB，∠PAO＝∠CAB，
∴△PAO∽△CAB，
∴APAC=AOAB，
∴AP4=332，
∴AP＝22．

（3）由（2）可知，P（﹣1，2），AP＝22，
①当AP为平行四边形的边时，点N的横坐标为2或﹣2，
∴N（﹣2，3），N′（2，﹣5），
②当AP为平行四边形的对角线时，点N″的横坐标为﹣4，
∴N″（﹣4，﹣5），
综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣2，3）或（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）．

38．（2020•聊城）如图，二次函数y═ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．
（1）求出二次函数y＝ax2+bx+4和BC所在直线的表达式；
（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；
（3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【分析】（1）由题意得出方程组，求出二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4，则C（0，4），由待定系数法求出BC所在直线的表达式即可
（2）证DE∥PF，只要DE＝PF，四边形DEFP即为平行四边形，由二次函数解析式求出点D的坐标，由直线BC的解析式求出点E的坐标，则DE=154，设点P的横坐标为t，则P的坐标为：（t，﹣t2+3t+4），F的坐标为：（t，﹣t+4），由DE＝PF得出方程，解方程进而得出答案；
（3）由平行线的性质得出∠CED＝∠CFP，当∠PCF＝∠CDE时，△PCF∽△CDE，则PFCE=CFDE，得出方程，解方程即可．
【解析】（1）将点A（﹣1，0），B（4，0），代入y═ax2+bx+4，
得：0=a-b+40=16a+4b+4，
解得：a=-1b=3，
∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+3x+4，
当x＝0时，y＝4，
∴C（0，4），
设BC所在直线的表达式为：y＝mx+n，
将C（0，4）、B（4，0）代入y＝mx+n，
得：4=n0=4m+n，
解得：m=-1n=4，
∴BC所在直线的表达式为：y＝﹣x+4；
（2）∵DE⊥x轴，PF⊥x轴，
∴DE∥PF，
只要DE＝PF，四边形DEFP即为平行四边形，
∵y＝﹣x2+3x+4＝﹣（x-32）2+254，
∴点D的坐标为：（32，254），
将x=32代入y＝﹣x+4，即y=-32+4=52，
∴点E的坐标为：（32，52），
∴DE=254-52=154，
设点P的横坐标为t，
则P的坐标为：（t，﹣t2+3t+4），F的坐标为：（t，﹣t+4），
∴PF＝﹣t2+3t+4﹣（﹣t+4）＝﹣t2+4t，
由DE＝PF得：﹣t2+4t=154，
解得：t1=32（不合题意舍去），t2=52，
当t=52时，﹣t2+3t+4＝﹣（52）2+3×52+4=214，
∴点P的坐标为（52，214）；
（3）存在，理由如下：
如图2所示：
由（2）得：PF∥DE，
∴∠CED＝∠CFP，
又∵∠PCF与∠DCE有共同的顶点C，且∠PCF在∠DCE的内部，
∴∠PCF≠∠DCE，
∴只有∠PCF＝∠CDE时，△PCF∽△CDE，
∴PFCE=CFDE，
∵C（0，4）、E（32，52），
∴CE=(32)2+(4-52)2=322，
由（2）得：DE=154，PF＝﹣t2+4t，F的坐标为：（t，﹣t+4），
∴CF=t2+[4-(-t+4)]2=2t，
∴-t2+4t322=2t154，
∵t≠0，
∴154（﹣t+4）＝3，
解得：t=165，
当t=165时，﹣t2+3t+4＝﹣（165）2+3×165+4=8425，
∴点P的坐标为：（165，8425）．

39．（2020•常德）如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，94）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知直线l过点A，M（32，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；
（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．

【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）构建方程组确定点B的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．
（3）如图2中，设P（t，14t2），根据PD＝CD构建方程求出t即可解决问题．
【解析】（1）把点A（﹣3，94）代入y＝ax2，
得到94=9a，
∴a=14，
∴抛物线的解析式为y=14x2．

（2）设直线l的解析式为y＝kx+b，则有94=-3k+b0=32k+b，
解得k=-12b=34，
∴直线l的解析式为y=-12x+34，
令x＝0，得到y=34，
∴C（0，34），
由y=14x2y=-12x+34，解得x=1y=14或x=-3y=94，
∴B（1，14），
如图1中，过点A作AA1⊥x轴于A1，过B作BB1⊥x轴于B1，则BB1∥OC∥AA1，

∴BMMC=MB1MO=32-132=13，MCMA=MOMA1=3232-(-3)=13，
∴BMMC=MCMA，
即MC2＝MA•MB．

（3）如图2中，设P（t，14t2）

∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，
∴PD∥OC，PD＝OC，
∴D（t，-12t+34），
∴|14t2﹣（-12t+34）|=34，
整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0，
解得t＝﹣1-7或﹣1+7或﹣2或0（舍弃），
∴P（﹣1-7，2+72）或（﹣1+7，2-72）或（﹣2，1）．
40．（2020•无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数y=14x2的图象于点A，∠AOB＝90°，点B在该二次函数的图象上，设过点（0，m）（其中m＞0）且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN．
（1）若点A的横坐标为8．
①用含m的代数式表示M的坐标；
②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
（2）当m＝2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．

【分析】（1）①求出点A的坐标，直线直线OA的解析式即可解决问题．
②求出直线OB的解析式，求出点N的坐标，利用矩形的性质求出点P的坐标，再利用待定系数法求出m的值即可．
（2）分两种情形：①当点A在y轴的右侧时，设A（a，14a2），求出点P的坐标利用待定系数法构建方程求出a即可．
②当点A在y轴的左侧时，即为①中点B的位置，利用①中结论即可解决问题．
【解析】（1）①∵点A在y=14x2的图象上，横坐标为8，
∴A（8，16），
∴直线OA的解析式为y＝2x，
∵点M的纵坐标为m，
∴M（12m，m）．

②假设能在抛物线上，
∵∠AOB＝90°，
∴直线OB的解析式为y=-12x，
∵点N在直线OB上，纵坐标为m，
∴N（﹣2m，m），
∴MN的中点的坐标为（-34m，m），
∴P（-32m，2m），把点P坐标代入抛物线的解析式得到m=329．

（2）①当点A在y轴的右侧时，设A（a，14a2），
∴直线OA的解析式为y=14ax，
∴M（8a，2），
∵OB⊥OA，
∴直线OB的解析式为y=-4ax，可得N（-a2，2），
∴P（8a-a2，4），代入抛物线的解析式得到，8a-a2=4，
解得a＝42±4，
∴直线OA的解析式为y＝（2±1）x．

②当点A在y轴的左侧时，即为①中点B的位置，
∴直线OA 的解析式为y=-4ax＝﹣（2±1）x，
综上所述，满足条件的直线OA的解析式为y＝（2±1）x或y＝﹣（2±1）x．

41．（2020•金华）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=-12（x﹣m）2+4图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C（1，n）在该函数图象上．
（1）当m＝5时，求n的值．
（2）当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2时，自变量x的取值范围．
（3）作直线AC与y轴相交于点D．当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．

【分析】（1）利用待定系数法求解即可．
（2）求出y＝2时，x的值即可判断．
（3）由题意点B的坐标为（0，-12m2+4），求出几个特殊位置m的值即可判断．
【解析】（1）当m＝5时，y=-12（x﹣5）2+4，
当x＝1时，n=-12×42+4＝﹣4．

（2）当n＝2时，将C（1，2）代入函数表达式y=-12（x﹣m）2+4，得2=-12（1﹣m）2+4，
解得m＝3或﹣1（舍弃），
∴此时抛物线的对称轴x＝3，
根据抛物线的对称性可知，当y＝2时，x＝1或5，
∴x的取值范围为1≤x≤5．

（3）∵点A与点C不重合，
∴m≠1，
∵抛物线的顶点A的坐标是（m，4），
∴抛物线的顶点在直线y＝4上，
当x＝0时，y=-12m2+4，
∴点B的坐标为（0，-12m2+4），
抛物线从图1的位置向左平移到图2的位置，m逐渐减小，点B沿y轴向上移动，
当点B与O重合时，-12m2+4＝0，
解得m＝22或﹣22，
当点B与点D重合时，如图2，顶点A也与B，D重合，点B到达最高点，
∴点B（0，4），
∴-12m2+4＝4，解得m＝0，
当抛物线从图2的位置继续向左平移时，如图3点B不在线段OD上，
∴B点在线段OD上时，m的取值范围是：0≤m＜1或1＜m＜22．

42．（2020•遵义）如图，抛物线y＝ax2+94x+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，3）与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出⊙M的半径．

【分析】（1）把点A（﹣1，0）和点C （0，3）代入y＝ax2+94x+c求出a与c的值即可得出抛物线的解析式；
（2）①当点Q在y轴右边时，假设△QCO为等边三角形，过点Q作QH⊥OC于H，OC＝3，则OH=32，tan60°=QHOH，求出Q（332，32），把x=332代入y=-34x2+94x+3，得y=2738-3316≠32，则假设不成立；
②当点Q在y轴的左边时，假设△QCO为等边三角形，过点Q作QT⊥OC于T，OC＝3，则OT=32，tan60°=QTOT，求出Q（-332，32），把x=-332代入y=-34x2+94x+3，得y=-2738-3316≠32，则假设不成立；
（3）求出B（4，0），待定系数法得出BC直线的解析式y=-34x+3，当M在线段BC上，⊙M与x轴相切时，延长PM交AB于点D，则点D为⊙M与x轴的切点，即PM＝MD，设P（x，-34x2+94x+3），M（x，-34x+3），则PD=-34x2+94x+3，MD=-34x+3，由PD﹣MD＝MD，求出x＝1，即可得出结果；当M在线段BC上，⊙M与y轴相切时，延长PM交AB于点D，过点M作ME⊥y轴于E，则点E为⊙M与y轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，设P（x，-34x2+94x+3），M（x，-34x+3），则PD=-34x2+94x+3，MD=-34x+3，代入即可得出结果；当M在BC延长线，⊙M与x轴相切时，点P与A重合，M的纵坐标的值即为所求；当M在CB延长线，⊙M与y轴相切时，延长PD交x轴于D，过点M作ME⊥y轴于E，则点E为⊙M与y轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，设P（x，-34x2+94x+3），M（x，-34x+3），则PD=34x2-94x﹣3，MD=34x﹣3，代入即可得出结果．
【解析】（1）把点A（﹣1，0）和点C （0，3）代入y＝ax2+94x+c得：0=a-94+c3=c，
解得：a=-34c=3，
∴抛物线的解析式为：y=-34x2+94x+3；
（2）不存在，理由如下：
①当点Q在y轴右边时，如图1所示：
假设△QCO为等边三角形，
过点Q作QH⊥OC于H，
∵点C （0，3），
∴OC＝3，
则OH=12OC=32，tan60°=QHOH，
∴QH＝OH•tan60°=32×3=332，
∴Q（332，32），
把x=332代入y=-34x2+94x+3，
得：y=2738-3316≠32，
∴假设不成立，
∴当点Q在y轴右边时，不存在△QCO为等边三角形；
②当点Q在y轴的左边时，如图2所示：
假设△QCO为等边三角形，
过点Q作QT⊥OC于T，
∵点C （0，3），
∴OC＝3，
则OT=12OC=32，tan60°=QTOT，
∴QT＝OT•tan60°=32×3=332，
∴Q（-332，32），
把x=-332代入y=-34x2+94x+3，
得：y=-2738-3316≠32，
∴假设不成立，
∴当点Q在y轴左边时，不存在△QCO为等边三角形；
综上所述，在抛物线上不存在一点Q，使得△QCO是等边三角形；
（3）令-34x2+94x+3＝0，
解得：x1＝﹣1，x2＝4，
∴B（4，0），
设BC直线的解析式为：y＝kx+b，
把B、C的坐标代入则0=4k+b3=b，
解得：k=-34b=3，
∴BC直线的解析式为：y=-34x+3，
当M在线段BC上，⊙M与x轴相切时，如图3所示：
延长PM交AB于点D，
则点D为⊙M与x轴的切点，即PM＝MD，
设P（x，-34x2+94x+3），M（x，-34x+3），
则PD=-34x2+94x+3，MD=-34x+3，
∴（-34x2+94x+3）﹣（-34x+3）=-34x+3，
解得：x1＝1，x2＝4（不合题意舍去），
∴⊙M的半径为：MD=-34+3=94；
当M在线段BC上，⊙M与y轴相切时，如图4所示：
延长PM交AB于点D，过点M作ME⊥y轴于E，
则点E为⊙M与y轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，
设P（x，-34x2+94x+3），M（x，-34x+3），
则PD=-34x2+94x+3，MD=-34x+3，
∴（-34x2+94x+3）﹣（-34x+3）＝x，
解得：x1=83，x2＝0（不合题意舍去），
∴⊙M的半径为：EM=83；
当M在BC延长线，⊙M与x轴相切时，如图5所示：

点P与A重合，
∴M的横坐标为﹣1，
∴⊙M的半径为：M的纵坐标的值，
即：-34×（﹣1）+3=154；
当M在CB延长线，⊙M与y轴相切时，如图6所示：

延长PD交x轴于D，过点M作ME⊥y轴于E，
则点E为⊙M与y轴的切点，即PM＝ME，PD﹣MD＝EM＝x，
设P（x，-34x2+94x+3），M（x，-34x+3），
则PD=34x2-94x﹣3，MD=34x﹣3，
∴（34x2-94x﹣3）﹣（34x﹣3）＝x，
解得：x1=163，x2＝0（不合题意舍去），
∴⊙M的半径为：EM=163；
综上所述，⊙M的半径为94或83或154或163．




43．（2020•新疆）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（1，3），将OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB，点B恰好在抛物线上，OB与抛物线的对称轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是线段AC上一动点，且不与点A，C重合，过点P作平行于x轴的直线，与△OAB的边分别交于M，N两点，将△AMN以直线MN为对称轴翻折，得到△A′MN，设点P的纵坐标为m．
①当△A′MN在△OAB内部时，求m的取值范围；
②是否存在点P，使S△A′MN=56S△OA′B，若存在，求出满足条件m的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（1，3），可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3，求出点B的坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）①根据△A′MN在△OAB内部，构建不等式即可解决问题．
②求出直线OA，AB的解析式，求出MN，利用面积关系构建方程即可解决问题．
【解析】（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（1，3），
∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3，
∴OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB，
∴B（3，﹣1），
把B（3，﹣1）代入y＝a（x﹣1）2+3可得a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+3，即y＝﹣x2+2x+2，

（2）①如图1中，

∵B（3，﹣1），
∴直线OB的解析式为y=-13x，
∵A（1，3），
∴C（1，-13），
∵P（1，m），AP＝PA′，
∴A′（1，2m﹣3），
由题意3＞2m﹣3＞-13，
∴3＞m＞43．

②当点P在x轴上方时，∵直线OA的解析式为y＝3x，直线AB的解析式为y＝﹣2x+5，
∵P（1，m），
∴M（m3，m），N（5-m2，m），
∴MN=5-m2-m3=15-5m6，
∵S△A′MN=56S△OA′B，
∴12•（m﹣2m+3）•15-5m6=56×12×|2m﹣3+13|×3，
整理得m2﹣6m+9＝|6m﹣8|
解得m＝6+19（舍弃）或6-19，
当点P在x轴下方时，同法可得12•（3﹣m）•（5-m2+3m）=56×12×[-13-（2m﹣3）]×3，
整理得：3m2﹣12m﹣1＝0，
解得m=6-393或6+393（舍弃），
∴满足条件的m的值为6-19或6-393．
44．（2020•遂宁）阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：
定义：如果二次函数y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0，a1、b1、c1是常数）与y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0，a2、b2、c2是常数）满足a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y＝2x2﹣3x+1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y＝2x2﹣3x+1可知，a1＝2，b1＝﹣3，c1＝1，根据a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，求出a2，b2，c2就能确定这个函数的旋转函数．
请思考小明的方法解决下面问题：
（1）写出函数y＝x2﹣4x+3的旋转函数．
（2）若函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为旋转函数，求（m+n）2020的值．
（3）已知函数y＝2（x﹣1）（x+3）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1，试求证：经过点A1、B1、C1的二次函数与y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
【分析】（1）由二次函数的解析式可得出a1，b1，c1的值，结合“旋转函数”的定义可求出a2，b2，c2的值，此问得解；
（2）由函数y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，可求出m，n的值，将其代入（m+n）2020即可求出结论；
（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B，C的坐标，结合对称的性质可求出点A1，B1，C1的坐标，由点A1，B1，C1的坐标，利用交点式可求出过点A1，B1，C1的二次函数解析式，由两函数的解析式可找出a1，b1，c1，a2，b2，c2的值，再由a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0可证出经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．
【解析】（1）由y＝x2﹣4x+3函数可知，a1＝1，b1＝﹣4，c1＝3，
∵a1+a2＝0，b1＝b2，c1+c2＝0，
∴a2＝﹣1，b2＝﹣4，c2＝﹣3，
∴函数y＝x2﹣4x+3的“旋转函数”为y＝﹣x2﹣4x﹣3；
（2）∵y＝5x2+（m﹣1）x+n与y＝﹣5x2﹣nx﹣3互为“旋转函数”，
∴m-1=-nn-3=0，
解得：m=-2n=3，
∴（m+n）2020＝（﹣2+3）2020＝1．
（3）证明：当x＝0时，y＝2（x﹣1）（x+3））＝﹣6，
∴点C的坐标为（0，﹣6）．
当y＝0时，2（x﹣1）（x+3）＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（﹣3，0）．
∵点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，
∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）．
设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
将C1（0，6）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得：6＝﹣3a，
解得：a＝﹣2，
过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即y＝﹣2x2+4x+6．
∵y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，
∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6，
∴a1+a2＝2+（﹣2）＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+（﹣6）＝0，
∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．